corrcoef

상관 계수(Correlation Coefficient)

구문

R = corrcoef(A)

R = corrcoef(A,B)

[R,P] = corrcoef(___)

[R,P,RL,RU] = corrcoef(___)

___ = corrcoef(___,Name,Value)

설명

R = corrcoef(A)는 A에 대한 상관 계수 행렬을 반환합니다. 여기서 A의 열은 확률 변수를 나타내며 행은 관측값을 나타냅니다.

R = corrcoef(A,B)는 두 확률 변수 A와 B 간의 계수를 반환합니다.

[R,P] = corrcoef(___)는 관측한 현상 간에 관계가 없다는 가설(귀무가설)을 테스트하기 위한 p-값 행렬과 상관 계수 행렬을 반환합니다. 이 구문을 위에 열거된 구문의 입력 인수와 함께 사용하십시오. P의 어떤 비대각선 요소가 유의수준보다 작으면(디폴트 값은 0.05임) 그 요소에 대응하여 상관관계를 나타내는 R의 값은 유의미한 것으로 간주됩니다. R에 복소수 요소가 포함되면 구문이 유효하지 않은 걸로 봐야 합니다.

[R,P,RL,RU] = corrcoef(___)는 각 계수의 95% 신뢰구간에 대한 하한 및 상한이 포함된 행렬을 포함합니다. R에 복소수 요소가 포함되면 구문이 유효하지 않은 걸로 봐야 합니다.

___ = corrcoef(___,Name,Value)는 하나 이상의 Name,Value 쌍 인수를 추가 옵션으로 지정하여 위에 열거된 구문에 나와 있는 출력 인수를 반환합니다. 예를 들어, corrcoef(A,'Alpha',0.1)은 90% 신뢰구간을 지정하고, corrcoef(A,'Rows','complete')는 NaN 값이 하나 이상 포함된 A의 모든 행을 생략합니다.

예제

난수 열로 구성된 행렬

정규분포된 두 개의 난수 열과, 그 열과의 상대적인 관계로 정의된 하나의 열로 구성된 행렬의 상관 계수를 구합니다. A의 세 번째 열이 두 번째 열의 배수이므로 이들 두 변수 간에는 직접적인 상관관계가 있습니다. 따라서 R의 (2,3) 요소와 (3,2) 요소의 상관 계수는 1입니다.

x = randn(6,1);
y = randn(6,1);
A = [x y 2*y+3];
R = corrcoef(A)

R = 3×3

    1.0000   -0.6237   -0.6237
   -0.6237    1.0000    1.0000
   -0.6237    1.0000    1.0000

두 개의 확률 변수

각각 10개 관측값으로 구성된, 정규분포된 두 개의 확률 벡터 사이의 상관 계수 행렬을 구합니다.

A = randn(10,1);
B = randn(10,1);
R = corrcoef(A,B)

R = 2×2

    1.0000    0.4518
    0.4518    1.0000

행렬의 P-값

추가된 네 번째 열이 다른 세 열의 합과 같은, 정규분포된 확률 행렬의 상관 계수와 p-값을 구합니다. A의 마지막 열이 다른 열의 선형 결합이므로 네 번째 변수와 각각의 세 변수 간에는 상관관계가 생깁니다. 따라서 P의 네 번째 행과 네 번째 열에는 매우 작은 p-값이 포함되게 되며 그들 행과 열 간의 유의미한 상관관계를 나타냅니다.

A = randn(50,3);       
A(:,4) = sum(A,2); 
[R,P] = corrcoef(A)

R = 4×4

    1.0000    0.1135    0.0879    0.7314
    0.1135    1.0000   -0.1451    0.5082
    0.0879   -0.1451    1.0000    0.5199
    0.7314    0.5082    0.5199    1.0000

P = 4×4

    1.0000    0.4325    0.5438    0.0000
    0.4325    1.0000    0.3146    0.0002
    0.5438    0.3146    1.0000    0.0001
    0.0000    0.0002    0.0001    1.0000

상관관계의 경계값

추가된 네 번째 열이 다른 세 열의 합계와 같은, 정규분포된 확률 행렬을 만들고 상관 계수, p-값, 계수의 하한과 상한을 계산합니다.

A = randn(50,3);       
A(:,4) = sum(A,2); 
[R,P,RL,RU] = corrcoef(A)

R = 4×4

    1.0000    0.1135    0.0879    0.7314
    0.1135    1.0000   -0.1451    0.5082
    0.0879   -0.1451    1.0000    0.5199
    0.7314    0.5082    0.5199    1.0000

P = 4×4

    1.0000    0.4325    0.5438    0.0000
    0.4325    1.0000    0.3146    0.0002
    0.5438    0.3146    1.0000    0.0001
    0.0000    0.0002    0.0001    1.0000

RL = 4×4

    1.0000   -0.1702   -0.1952    0.5688
   -0.1702    1.0000   -0.4070    0.2677
   -0.1952   -0.4070    1.0000    0.2825
    0.5688    0.2677    0.2825    1.0000

RU = 4×4

    1.0000    0.3799    0.3575    0.8389
    0.3799    1.0000    0.1388    0.6890
    0.3575    0.1388    1.0000    0.6974
    0.8389    0.6890    0.6974    1.0000

행렬 RL과 RU는 기본적으로 95% 신뢰구간에 따라 각 상관 계수에 대해 하한과 상한을 각기 제공합니다. 신뢰율 100*(1-Alpha)%를 정의하는 Alpha 값을 지정하여 신뢰수준을 변경할 수 있습니다. 예를 들어, 99% 신뢰구간을 경계값 RL과 RU에 반영하여 계산하려면 Alpha 값으로 0.01을 사용하십시오. 신뢰가 높을수록 잠재적인 상관관계 값의 범위는 좀 더 포괄적이어야 하므로 RL과 RU의 상관 계수 경계값으로 정의된 신뢰구간은 95%와 비교했을 때 99% 신뢰에서 더 큽니다.

[R,P,RL,RU] = corrcoef(A,'Alpha',0.01)

R = 4×4

    1.0000    0.1135    0.0879    0.7314
    0.1135    1.0000   -0.1451    0.5082
    0.0879   -0.1451    1.0000    0.5199
    0.7314    0.5082    0.5199    1.0000

P = 4×4

    1.0000    0.4325    0.5438    0.0000
    0.4325    1.0000    0.3146    0.0002
    0.5438    0.3146    1.0000    0.0001
    0.0000    0.0002    0.0001    1.0000

RL = 4×4

    1.0000   -0.2559   -0.2799    0.5049
   -0.2559    1.0000   -0.4792    0.1825
   -0.2799   -0.4792    1.0000    0.1979
    0.5049    0.1825    0.1979    1.0000

RU = 4×4

    1.0000    0.4540    0.4332    0.8636
    0.4540    1.0000    0.2256    0.7334
    0.4332    0.2256    1.0000    0.7407
    0.8636    0.7334    0.7407    1.0000

NaN 값

NaN 값이 들어 있는 정규분포 행렬을 만들고 나서, NaN이 들어 있는 행을 계산에서 제외하여 상관 계수 행렬을 구합니다.

A = randn(5,3);
A(1,3) = NaN;
A(3,2) = NaN;
A

A = 5×3

    0.5377   -1.3077       NaN
    1.8339   -0.4336    3.0349
   -2.2588       NaN    0.7254
    0.8622    3.5784   -0.0631
    0.3188    2.7694    0.7147

R = corrcoef(A,'Rows','complete')

R = 3×3

    1.0000   -0.8506    0.8222
   -0.8506    1.0000   -0.9987
    0.8222   -0.9987    1.0000

계산에 NaN 값을 모두 포함시키려면 'all'을 사용하십시오.

R = corrcoef(A,'Rows','all')

R = 3×3

     1   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN

각 쌍별(Pairwise)로 2열 상관 계수를 구하려면 'pairwise'를 사용하십시오. 2열 중 하나에 NaN이 포함된 경우 해당 행은 생략됩니다.

R = corrcoef(A,'Rows','pairwise')

R = 3×3

    1.0000   -0.3388    0.4649
   -0.3388    1.0000   -0.9987
    0.4649   -0.9987    1.0000

입력 인수

A — 입력 배열

행렬

입력 배열로, 행렬로 지정됩니다.

• A가 스칼라인 경우 corrcoef(A)는 NaN을 반환합니다.

• A가 벡터인 경우 corrcoef(A)는 1을 반환합니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

B — 추가 입력 배열

벡터 | 행렬 | 다차원 배열

추가 입력 배열로, 벡터, 행렬, 다차원 배열 중 하나로 지정됩니다.

• A와 B는 크기가 동일해야 합니다.

• A와 B가 스칼라이면 corrcoef(A,B)는 1을 반환합니다. 그러나 A와 B가 같은 경우 corrcoef(A,B)는 NaN을 반환합니다.

• A와 B가 행렬이나 다차원 배열이면 corrcoef(A,B)는 각 입력값을 해당 벡터 표현으로 변환하며 이는 corrcoef(A(:),B(:))나 corrcoef([A(:) B(:)])와 동일합니다.

• A와 B가 0×0의 빈 배열이면 corrcoef(A,B)는 NaN 값으로 구성된 2×2 행렬을 반환합니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

R2021a 이전 릴리스에서는 쉼표를 사용하여 각 이름과 값을 구분하고 Name을 따옴표로 묶으십시오.

예: R = corrcoef(A,'Alpha',0.03)

Alpha — 유의수준

0.05 (디폴트 값) | 0과 1 사이의 숫자

유의수준으로, 0과 1 사이의 숫자로 지정됩니다. 'Alpha' 파라미터의 값은 상관 계수에 대해 신뢰율 100*(1-Alpha)%를 정의하며 이 값이 RL과 RU의 경계를 결정합니다.

데이터형: single | double

Rows — NaN 옵션의 사용

'all' (디폴트 값) | 'complete' | 'pairwise'

NaN 옵션의 사용으로, 다음 값 중 하나로 지정됩니다.

• 'all' — 입력값의 모든 NaN 값을 계산에 포함시켜 상관 계수를 구합니다.

• 'complete' — NaN 값이 있는 입력값 행을 모두 제외하고 상관 계수를 구합니다. 이 옵션은 항상 양의 준정부호 행렬을 반환합니다.

• 'pairwise' — 각 쌍별(Pairwise)로 NaN이 들어 있는 행을 제외하고 2열의 상관 계수를 구합니다. 이 옵션은 양의 준정부호가 아닌 행렬을 반환할 수 있습니다.

데이터형: char

출력 인수

R — 상관 계수(Correlation Coefficient)

행렬

상관 계수로, 행렬로 반환됩니다.

• 하나의 행렬 입력값의 경우, R의 크기는 [size(A,2) size(A,2)]이며, A가 나타내는 확률 변수(열)의 개수를 기반으로 합니다. 대각선 요소는 일반적으로 1로 설정되고 비대각선 요소가 변수 쌍의 상관 계수를 나타냅니다. 상관 계수 값의 범위는 -1에서 1 사이일 수 있는데 -1은 직접적인 음의 상관관계를 나타내고 0은 상관관계가 없음을 나타내며 1은 직접적인 양의 상관관계를 나타냅니다. R은 대칭 행렬입니다.

• 입력 인수가 두 개인 경우, R은 2×2 행렬이 됩니다. R의 대각선 요소는 1로 설정되고 비대각선 요소가 상관 계수를 나타냅니다.

• 확률 변수가 상수인 경우 다른 모든 변수와의 상관관계는 정의되지 않으며 각각의 행 값과 열 값은 NaN이 됩니다.

상관 계수를 정렬하거나 시각화하는 방법에 대한 자세한 내용은 Identify and Visualize Correlated Variables 항목을 참조하십시오.

P — P-값

행렬

P-값으로, 행렬로 반환됩니다. P는 대칭 행렬이며, R과 크기가 같습니다. 대각선 요소는 모두 1이며, 비대각선 요소가 각 변수 쌍에 대한 p-값입니다. P-값의 범위는 0에서 1 사이입니다. 0에 인접한 값은 R에서의 유의미한 상관관계를 나타내며 귀무가설(Null Hypothesis)을 따를 확률이 낮음을 나타냅니다.

유의미한 상관관계를 확인하는 방법에 대한 자세한 내용은 Identify and Visualize Correlated Variables 항목을 참조하십시오.

RL — 상관 계수의 하한

행렬

상관 계수의 하한으로, 행렬로 반환됩니다. RL은 대칭 행렬이며, R과 크기가 같습니다. 대각선 요소는 모두 1이며, 비대각선 요소는 R에 있는 상관 계수에 대응하는 값으로써 그 계수의 95% 신뢰구간에 대한 하한을 나타냅니다. R에 복소수 요소가 포함되면 RL을 반환하는 구문이 유효하지 않은 걸로 봐야 합니다.

RU — 상관 계수의 상한

행렬

상관 계수의 상한으로, 행렬로 반환됩니다. RU는 대칭 행렬이며, R과 크기가 같습니다. 대각선 요소는 모두 1이며, 비대각선 요소는 R에 있는 상관 계수에 대응하는 값으로써 그 계수의 95% 신뢰구간에 대한 상한을 나타냅니다. R에 복소수 요소가 포함되면 RL을 반환하는 구문이 유효하지 않은 걸로 봐야 합니다.

세부 정보

상관 계수(Correlation Coefficient)

두 확률 변수에 대한 상관 계수는 두 변수 간 선형 관계를 나타내는 척도입니다. 각 변수에 N개 스칼라 관측값이 있으면 피어슨(Pearson) 상관 계수가

$$\rho (A,B)=\frac{1}{N-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\frac{A_i-{\mu }_A}{{\sigma }_A}\right)\left(\frac{B_i-{\mu }_B}{{\sigma }_B}\right)},$$

로 정의됩니다. 여기서 $${\mu }_A$$와 $${\sigma }_A$$는 각각 A의 평균값과 표준편차이며, $${\mu }_B$$와 $${\sigma }_B$$는 B의 평균값과 표준편차입니다. 또는 A와 B의 공분산을 이용해 다음과 같이 상관 계수를 정의할 수 있습니다.

$$\rho (A,B)=\frac{\mathrm{cov}(A,B)}{{\sigma }_A{\sigma }_B}.$$

두 확률 변수의 상관 계수 행렬은 각 쌍별 변수 조합의 상관 계수 행렬입니다.

$$R=\left(\begin{array}{cc}\rho (A,A)& \rho (A,B)\\ \rho (B,A)& \rho (B,B)\end{array}\right).$$

A와 B는 자신에 대해 항상 직접 상관이 있으므로 대각선 항목은 1이 됩니다. 즉, 다음과 같습니다.

$$R=\left(\begin{array}{cc}1& \rho (A,B)\\ \rho (B,A)& 1\end{array}\right).$$

참고 문헌

[1] Fisher, R.A. Statistical Methods for Research Workers, 13th Ed., Hafner, 1958.

[2] Kendall, M.G. The Advanced Theory of Statistics, 4th Ed., Macmillan, 1979.

[3] Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., and Flannery, B.P. Numerical Recipes in C, 2nd Ed., Cambridge University Press, 1992.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

corrcoef 함수는 tall형 배열을 지원하지만 다음과 같은 사용법 관련 참고 및 제한 사항이 있습니다.

• A와 B는 동일한 크기의 tall형 배열이어야 합니다. 둘 다 벡터인 경우에도 마찬가지입니다.

• corrcoef(A,B)에서 입력값 A와 B는 스칼라일 수 없습니다.

• 두 번째 입력값 B는 2차원이어야 합니다.

• 'pairwise' 옵션은 지원되지 않습니다.

자세한 내용은 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 행 벡터 입력은 처음 2개 입력값이 벡터와 비 스칼라인 경우에만 지원됩니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

corrcoef 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. GPU에서 이 함수를 실행하려면 입력 데이터를 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)로 지정하십시오. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

cov | mean | std | heatmap | barh | plotmatrix

도움말 항목

• Identify and Visualize Correlated Variables