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보간 방법

보간은 알려진 데이터 점들 사이에 있는 값을 추정하는 프로세스입니다.

보간에서는 주어진 데이터 지점 xi데이터 값 yi를 매핑하는 함수 f 가 생성됩니다. 즉, f(xi) = yi (모든 i에 대해).

일반적으로 보간 함수 f는 주어진 데이터와 일치하는 다음과 같은 형식의 고유한 함수로 생성됩니다.

f(x)=jfj(x)aj

여기에는 “적절히” 선택된 함수 fj가 포함되어 있습니다.

스플라인 보간에서 fj는 매듭 시퀀스 t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn + k에 대해 위수가 k인 n개 연속 B-스플라인 Bj(x) = B(x|tj,...,tj+k)(이때 j = 1:n임)가 되도록 선택됩니다.

보간 방법 소개

방법

설명

선형

선형 보간. 이 방법은 곡선의 경우 각 데이터 점 쌍 사이에, 곡면의 경우 각 3점 집합 사이에 각기 다른 1차 다항식을 피팅합니다.

최근접이웃

최근접이웃 보간. 이 방법은 보간되는 점의 값을 최근접 데이터 점의 값으로 설정합니다. 따라서 이 방법은 새로운 데이터 점을 생성하지 않습니다.

3차 스플라인

3차 스플라인 보간. 이 방법은 곡선의 경우 각 데이터 점 사이에, 곡면의 경우 3점 집합 사이에 각기 다른 3차 다항식을 피팅합니다.

형태 보존

조각별 3차 에르미트 보간(PCHIP). 이 방법은 단조성과 데이터의 형태를 보존합니다.

곡선에만 사용합니다.

쌍조화(v4)

MATLAB® 4 griddata 방법.

곡면에만 사용합니다.

박판 스플라인

박판 스플라인 보간. 이 방법은 외삽도 잘 되는 매끄러운 곡면을 피팅합니다.

곡면에만 사용합니다.

곡면의 경우, 보간 피팅 유형은 선형 및 최근접 방법에 대해 MATLAB scatteredInterpolant 함수를 사용하고 3차 및 쌍조화 방법에 대해 MATLAB griddata 함수를 사용합니다. 박판 스플라인 방법은 tpaps 함수를 사용합니다.

사용해야 하는 보간 유형은 피팅 대상 데이터의 특징, 곡선에서 요구되는 매끄러움 정도, 속도 고려 사항, 피팅 후 분석 요구 사항 등에 따라 달라집니다. 선형 및 최근접이웃 방법은 속도는 빠르지만 결과로 생성되는 곡선은 그다지 매끄럽지 않습니다. 3차 스플라인, 형태 보존 및 v4 방법은 속도는 느리지만 결과로 생성되는 곡선은 매우 매끄럽습니다.

예를 들어, 아래에는 carbon12alpha.mat 파일의 핵반응 데이터에 최근접이웃 보간 피팅과 형태 보존(PCHIP) 보간 피팅이 적용된 결과가 표시되어 있습니다. 최근접이웃 보간은 형태 보존 보간만큼 데이터를 잘 따라가지 못하는 것을 알 수 있습니다. 보간을 수행할 때는 이 두 피팅 간의 차이가 중요할 수 있습니다. 그러나 총 반응 강도를 대략적으로 파악하기 위해 데이터를 적분하려는 경우에는 두 피팅 모두 적절한 적분 Bin 너비에서 거의 동일한 답을 제공합니다.

참고

적합도 통계량, 예측한계 및 가중치는 보간에 대해 정의되지 않습니다. 또한, 보간이 데이터 점을 통과하므로 피팅 잔차는 항상 0입니다(컴퓨터 정밀도 내에서).

피팅된 곡선은 여러 “조각”으로부터 생성되기 때문에(방사형 기저 함수 보간인 곡면에 대한 쌍조화 제외) 보간 함수는 조각별 다항식으로 정의됩니다. 3차 스플라인 및 PCHIP 보간의 경우 각 조각은 4개의 계수로 설명되며, 이 툴박스는 3차 다항식을 사용하여 이를 계산합니다.

  • 3차 스플라인 보간에 대한 자세한 내용은 spline 함수를 참조하십시오.

  • 형태 보존 보간에 대한 자세한 내용과 두 방법의 비교는 pchip 함수를 참조하십시오.

  • 곡면 보간에 대한 자세한 내용은 scatteredInterpolant, griddatatpaps 함수를 참조하십시오.

데이터 점의 개수보다 하나 낮은 차수를 갖는 하나의 “전역” 다항식 보간 함수를 데이터에 피팅하는 것이 가능합니다. 그러나 이러한 피팅은 데이터 점 사이에서 몹시 변덕스러운 움직임을 보일 수 있습니다. 반면에 여기에서 설명한 조각별 다항식은 항상 유순한 형태의 피팅을 생성하므로 모수적 다항식보다 유연하며 다양한 데이터 세트에서 효과적으로 사용할 수 있습니다.

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