bsplinepolytraj

B-스플라인을 사용하여 다항식 궤적 생성

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구문

[q,qd,qdd,pp] = bsplinepolytraj(controlPoints,tInterval,tSamples)

설명

[q,qd,qdd,pp] = bsplinepolytraj(controlPoints,tInterval,tSamples)는 controlPoints에 의해 정의된 제어 다각형 안에 조각별 3차 B-스플라인 궤적을 생성합니다. 궤적은 tInterval에 지정된 시작 시간과 종료 시간 사이에서 균일하게 샘플링됩니다. 이 함수는 입력 시간 샘플 tSamples에서의 위치, 속도, 가속도를 반환합니다. 또한 시간에 대한 다항식 궤적의 조각별 다항식 pp 형식을 반환합니다.

예제

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주어진 일련의 2차원 xy 제어점과 함께 bsplinepolytraj 함수를 사용합니다. B-스플라인은 이러한 제어점을 사용하여 다각형 내부에 궤적을 만듭니다. 궤적에 대한 시작 시간과 종료 시간도 주어집니다.

cpts = [1 4 4 3 -2 0; 0 1 2 4 3 1];
tpts = [0 5];

B-스플라인 궤적을 계산합니다. 이 함수는 제어점을 사용하여 웨이포인트를 구현하는 다항식의 궤적 위치(q), 속도(qd), 가속도(qdd), 시간 벡터(tvec), 다항식 계수(pp)를 출력합니다.

tvec = 0:0.01:5;
[q,qd,qdd,pp] = bsplinepolytraj(cpts,tpts,tvec);

결과를 플로팅합니다. 제어점을 표시하고 제어점 내부에 결과 궤적을 표시합니다.

figure
plot(cpts(1,:),cpts(2,:),'*--')
hold on
plot(q(1,:),q(2,:))
xlabel("X")
ylabel("Y")
legend("Control Points","B-Spline Trajectory")
axis padded
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel X, ylabel Y contains 2 objects of type line. These objects represent Control Points, B-Spline Trajectory.

B-스플라인 궤적의 각 요소 위치를 플로팅합니다. 이 궤적은 시간으로 파라미터화된 3차 조각별 다항식입니다.

figure
plot(tvec,q);
hold on
ax = gca;
ax.ColorOrderIndex = 1;
scatter([0:length(cpts)-1],cpts,'*')
xlabel("Time")
ylabel("Position")
title("X- and Y-Trajectories and Control Points")
axis padded
legend("X-positions","Y-positions","X-control points","Y-control points",Location="southwest")
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with title X- and Y-Trajectories and Control Points, xlabel Time, ylabel Position contains 4 objects of type line, scatter. These objects represent X-positions, Y-positions, X-control points, Y-control points.

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B-스플라인으로 보간할 웨이포인트를 생성합니다.

wpts1 = [0 1 2.1 8 4 3];
wpts2 = [0 1 1.3 .8 .3 .3];
wpts = [wpts1; wpts2];
L = length(wpts) - 1;

제어 다각형의 내점을 계산하는 데 사용되는 행렬을 생성합니다.

r = zeros(L+1, size(wpts,1));
A = eye(L+1);
for i= 1:(L-1)
    A(i+1,(i):(i+2)) = [1 4 1];
    r(i+1,:) = 6*wpts(:,i+1)';
end

끝점을 재정의하고 r0과 rL을 선택합니다.

A(2,1:3) = [3/2 7/2 1]; 
A(L,(L-1):(L+1)) = [1 7/2 3/2]; 

r(1,:) = (wpts(:,1) + (wpts(:,2) - wpts(:,1))/2)';
r(end,:) = (wpts(:,end-1) + (wpts(:,end) - wpts(:,end-1))/2)';

dInterior = (A\r)';

완전한 제어 다각형을 생성하고 bsplinepolytraj를 새 제어점과 함께 사용하여 다항식을 계산합니다.

cpts = [wpts(:,1) dInterior wpts(:,end)];
t = 0:0.01:1;
q = bsplinepolytraj(cpts, [0 1], t);

결과를 플로팅합니다. 원래 웨이포인트, 계산된 다각형, 보간된 B-스플라인을 표시합니다.

figure;
hold all
plot(wpts1, wpts2, 'o');
plot(cpts(1,:), cpts(2,:), 'x-');
plot(q(1,:), q(2,:));
legend('Original waypoints', 'Computed control polygon', 'B-spline');

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. One or more of the lines displays its values using only markers These objects represent Original waypoints, Computed control polygon, B-spline.

[1] Farin, Section 9.1

입력 인수

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B-스플라인 궤적의 제어 다각형에 대한 점으로, n×p 행렬로 지정됩니다. 여기서 n은 궤적의 차원이고 p는 제어점의 개수입니다.

예: [1 4 4 3 -2 0; 0 1 2 4 3 1]

데이터형: single | double

궤적의 시작 시간과 종료 시간으로, 요소를 2개 가진 벡터로 지정됩니다.

예: [0 10]

데이터형: single | double

궤적에 대한 시간 샘플로, 벡터로 지정됩니다. 출력 위치 q, 속도 qd, 가속도 qdd는 이러한 시간 간격으로 샘플링됩니다.

예: 0:0.01:10

데이터형: single | double

출력 인수

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tSamples에 주어진 시간 샘플에서의 궤적의 위치로, 벡터로 반환됩니다.

데이터형: single | double

tSamples에 지정된 시간 샘플에서의 궤적의 속도로, 벡터로 반환됩니다.

데이터형: single | double

tSamples에 지정된 시간 샘플에서의 궤적의 가속도로, 벡터로 반환됩니다.

데이터형: single | double

조각별 다항식으로, 조각별 궤적의 각 섹션에 대한 다항식을 정의한 구조체로 반환됩니다. mkpp를 사용하여 직접 조각별 다항식을 만들거나 ppval을 사용하여 지정된 시간에서의 다항식을 계산할 수 있습니다. 구조체에는 다음 필드가 있습니다.

  • form: 'pp'.

  • breaks: 조각별 궤적의 형식이 변경되는 시점으로 구성된, 요소를 p개 가진 벡터입니다. p는 웨이포인트 개수입니다.

  • coefs: 다항식의 계수에 대한 n(p-1)×order 행렬입니다. n(p-1)은 궤적의 차원에 pieces의 개수를 곱한 값입니다. 각각의 n 행 세트는 각 변수 궤적을 설명하는 다항식의 계수를 정의합니다.

  • pieces: p–1. 절점의 개수에서 1을 뺀 값입니다.

  • order: 다항식의 차수(degree)에 1을 더한 값입니다. 예를 들어 3차 다항식의 위수(order)는 4입니다.

  • dim: n. 제어점 위치의 차원입니다.

참고 문헌

[1] Farin, Gerald E. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide. San Diego, CA: Academic Press, 1993.

확장 기능

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C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

버전 내역

R2019a에 개발됨

참고 항목

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