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quadprog

2차 계획법

구문

x = quadprog(H,f)

x = quadprog(H,f,A,b)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

x = quadprog(problem)

[x,fval] = quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___)

[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

설명

선형 제약 조건이 있는 2차 목적 함수를 위한 솔버입니다.

quadprog는 다음으로 지정된 문제의 최솟값을 구합니다.

$$\underset{x}{\min }\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x\text{ such that }\{\begin{array}{c}A\cdot x\le b,\\ Aeq\cdot x=beq,\\ lb\le x\le ub.\end{array}$$

H, A , Aeq는 행렬이고, f, b, beq, lb, ub, x는 벡터입니다.

f, lb 및 ub를 벡터나 행렬로 전달할 수 있습니다. 행렬 인수 항목을 참조하십시오.

참고

quadprog 솔버는 솔버 기반 접근법에만 적용됩니다. 문제 기반 접근법에는 solve를 사용하십시오. 두 가지 최적화 접근법에 대한 설명은 먼저 문제 기반 접근법 또는 솔버 기반 접근법 중 선택하기 항목을 참조하십시오.

x = quadprog(H,f)는 1/2*x'*H*x + f'*x를 최소화하는 벡터 x를 반환합니다. 문제가 유한 최솟값을 가지려면 입력값 H가 양의 정부호여야 합니다. H가 양의 정부호인 경우 해 x = H\(-f)입니다.

x = quadprog(H,f,A,b)는 1/2*x'*H*x + f'*x를 최소화하며, 여기에는 제한 사항 A*x ≤ b가 적용됩니다. 입력 인수 A는 double형으로 구성된 행렬이고, b는 double형으로 구성된 벡터입니다.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)는 위의 문제를 풀되, 여기에는 제한 사항 Aeq*x = beq가 추가로 적용됩니다. Aeq는 double형으로 구성된 행렬이고, beq는 double형으로 구성된 벡터입니다. 부등식이 존재하지 않는 경우 A = [] 및 b = []을 설정하십시오.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)는 위의 문제를 풀되, 여기에는 제한 사항 lb ≤ x ≤ ub가 추가로 적용됩니다. 입력값 lb와 ub는 double형으로 구성된 벡터이고, 제한 사항은 각 x 성분에 대해 성립됩니다. 등식이 존재하지 않는 경우 Aeq = [] 및 beq = []을 설정하십시오.

참고

문제의 지정된 입력값 범위에 모순이 있는 경우 출력값 x는 x0이 되고 출력값 fval은 []이 됩니다.

quadprog는 범위 lb ≤ x ≤ ub를 위반하는 x0의 성분을 그 범위로 정의된 상자의 내부로 재설정합니다. quadprog는 범위를 충족하는 성분은 변경하지 않습니다.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)은 벡터 x0에서 시작하여 위의 문제를 풉니다. 범위가 존재하지 않는 경우 lb = [] 및 ub = []로 설정하십시오. 일부 quadprog 알고리즘에서는 x0을 무시합니다. x0을 참조하십시오.

참고

x0은 'active-set' 알고리즘의 필수 인수입니다.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)는 options에 지정된 최적화 옵션을 사용하여 위의 문제를 풉니다. optimoptions를 사용하여 options를 만들 수 있습니다. 초기점을 제공하지 않으려면 x0 = []을 설정하십시오.

x = quadprog(problem)은 problem에 설명되어 있는 구조체인 problem의 최솟값을 반환합니다. 점 표기법 또는 struct 함수를 사용하여 problem 구조체를 만듭니다. 또는 prob2struct를 사용하여 OptimizationProblem 객체에서 problem 구조체를 만듭니다.

[x,fval] = quadprog(___)는 임의의 입력 변수에 대해 x에서의 목적 함수 값 fval도 반환합니다.

fval = 0.5*x'*H*x + f'*x

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___)는 quadprog의 종료 상황을 설명하는 정수 exitflag와 최적화에 대한 정보가 포함된 구조체 output도 반환합니다.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___)는 해 x에서의 라그랑주 승수가 필드에 포함된 구조체 lambda도 반환합니다.

[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)는 warm start 객체 ws의 옵션을 사용하여 ws의 데이터에서 quadprog를 시작합니다. 반환된 인수 wsout는 해에 해당하는 점을 wsout.X에 포함합니다. 이후 솔버 호출에서 wsout를 초기 warm start 객체로 사용하여 quadprog이 더 빠르게 동작할 수 있습니다.

예제

선형 제약 조건이 있는 2차 계획법

다음 함수의 최솟값을 구합니다.

$$f(x)=\frac{1}{2}{x}_1^2+x_2^2-x_1{x}_2-2x_1-6x_2$$

여기에는 다음 제약 조건이 적용됩니다.

$$\begin{array}{l}{x}_1+x_2\le 2\\ -x_1+2x_2\le 2\\ 2x_1+x_2\le 3.\end{array}$$

quadprog 구문에서 이 문제는 다음 함수를 최소화하는 것입니다.

$$f(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$$,

여기서

$$\begin{array}{l}\mathit{H}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\\ \mathit{f}=\left[\begin{array}{c}-2\\ -6\end{array}\right],\end{array}$$

위의 선형 제약 조건이 그대로 적용됩니다.

이 문제를 풀려면 먼저 계수 행렬을 입력하십시오.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

quadprog를 호출합니다.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,A,b);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

최종점, 함수 값, 종료 플래그를 검토합니다.

x,fval,exitflag

x = 2×1

    0.6667
    1.3333

fval = 
-8.2222

exitflag = 
1

종료 플래그가 1이면 결과가 국소 최솟값임을 의미합니다. H가 양의 정부호 행렬이기 때문에 이 문제는 볼록 문제이며 따라서 최솟값은 전역 최솟값입니다.

고유값을 검사하여 H가 양의 정부호임을 확인합니다.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

선형 등식 제약 조건이 있는 2차 계획법

다음 함수의 최솟값을 구합니다.

$$f(x)=\frac{1}{2}{x}_1^2+x_2^2-x_1{x}_2-2x_1-6x_2$$

여기에는 다음 제약 조건이 적용됩니다.

$$x_1+x_2=0.$$

quadprog 구문에서 이 문제는 다음 함수를 최소화하는 것입니다.

$$f(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$$,

여기서

$$\begin{array}{l}\mathit{H}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\\ \mathit{f}=\left[\begin{array}{c}-2\\ -6\end{array}\right],\end{array}$$

위의 선형 제약 조건이 그대로 적용됩니다.

이 문제를 풀려면 먼저 계수 행렬을 입력하십시오.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;

입력 인수 A와 b에 대해 []을 입력하여 quadprog를 호출합니다.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

최종점, 함수 값, 종료 플래그를 검토합니다.

x,fval,exitflag

x = 2×1

   -0.8000
    0.8000

fval = 
-1.6000

exitflag = 
1

종료 플래그가 1이면 결과가 국소 최솟값임을 의미합니다. H가 양의 정부호 행렬이기 때문에 이 문제는 볼록 문제이며 따라서 최솟값은 전역 최솟값입니다.

고유값을 검사하여 H가 양의 정부호임을 확인합니다.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

선형 제약 조건과 범위가 있는 2차 최소화

다음 2차 표현식을 최소화하는 x를 구합니다.

$$\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$$

여기서

$\mathit{H}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 2& -2\\ 1& -2& 4\end{array}\right]$, $\mathit{f}=\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right]$,

여기에는 다음 제약 조건이 적용됩니다.

$$0\le x\le 1$$, $$\sum x=1/2$$.

이 문제를 풀려면 먼저 계수를 입력하십시오.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;

입력 인수 A와 b에 대해 []을 입력하여 quadprog를 호출합니다.

x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

x = 3×1

    0.0000
    0.5000
    0.0000

디폴트가 아닌 옵션을 이용한 2차 최소화

quadprog의 진행률을 모니터링하는 옵션을 설정합니다.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

2차 목적 함수와 선형 부등식 제약 조건을 갖는 문제를 정의합니다.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

quadprog 함수 호출 작성에 도움이 되도록 불필요한 입력값을 []로 설정합니다.

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [];

quadprog을 호출하여 문제를 풉니다.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -8.884885e+00   3.214286e+00   1.071429e-01     1.000000e+00  
    1   -8.331868e+00   1.321041e-01   4.403472e-03     1.910489e-01  
    2   -8.212804e+00   1.676295e-03   5.587652e-05     1.009601e-02  
    3   -8.222204e+00   8.381476e-07   2.793826e-08     1.809485e-05  
    4   -8.222222e+00   4.190870e-11   1.396883e-12     9.047989e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

x = 2×1

    0.6667
    1.3333

prob2struct에서 생성한 2차 문제

문제 기반 최적화 워크플로의 절차에 따라 problem 구조체를 만듭니다. 선형 제약 조건이 있는 2차 계획법과 동일한 최적화 문제를 만듭니다.

x = optimvar('x',2);
objec = x(1)^2/2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 6*x(2);
prob = optimproblem('Objective',objec);
prob.Constraints.cons1 = sum(x) <= 2;
prob.Constraints.cons2 = -x(1) + 2*x(2) <= 2;
prob.Constraints.cons3 = 2*x(1) + x(2) <= 3;

prob를 problem 구조체로 변환합니다.

problem = prob2struct(prob);

quadprog를 사용하여 문제를 풉니다.

[x,fval] = quadprog(problem)

Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

x = 2×1

    0.6667
    1.3333

fval = 
-8.2222

quadprog 목적 함수 값 반환하기

2차 계획법을 풀고 해와 목적 함수 값을 모두 반환합니다.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
[x,fval] = quadprog(H,f,A,b)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

x = 3×1

   -3.5714
    2.9286
    3.6429

fval = 
-47.1786

반환되는 목적 함수 값이 quadprog 목적 함수 정의에서 계산된 값과 일치하는지 확인합니다.

fval2 = 1/2*x'*H*x + f'*x

fval2 = 
-47.1786

quadprog 최적화 과정 검토하기

quadprog에 대한 최적화 과정이 확인될 수 있도록 반복 과정을 표시하고 4개의 출력값을 반환하도록 옵션을 설정합니다. 다음을 최소화하는 문제입니다.

$$\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$$

여기에는 다음 조건이 적용됩니다.

$$0\le x\le 1$$,

여기서

$\mathit{H}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& \frac{1}{2}\\ -1& \frac{1}{2}& 5\end{array}\right]$, $\mathit{f}=\left[\begin{array}{c}4\\ -7\\ 12\end{array}\right]$.

문제 계수를 입력합니다.

H = [2 1 -1
    1 3 1/2
    -1 1/2 5];
f = [4;-7;12];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(3,1);

솔버의 반복 과정을 표시하는 옵션을 설정합니다.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

4개의 출력값을 사용하여 quadprog를 호출합니다.

[x fval,exitflag,output] = quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    2.691769e+01   1.582123e+00   1.712849e+01     1.680447e+00  
    1   -3.889430e+00   0.000000e+00   8.564246e-03     9.971731e-01  
    2   -5.451769e+00   0.000000e+00   4.282123e-06     2.710131e-02  
    3   -5.499995e+00   0.000000e+00   2.878422e-10     1.750743e-06  
    4   -5.500000e+00   0.000000e+00   1.454808e-13     8.753723e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

x = 3×1

    0.0000
    1.0000
    0.0000

fval = 
-5.5000

exitflag = 
1

output = struct with fields:
            message: 'Minimum found that satisfies the constraints.↵↵Optimization completed because the objective function is non-decreasing in ↵feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,↵and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.↵↵<stopping criteria details>↵↵Optimization completed: The relative dual feasibility, 1.212340e-14,↵is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-08, the complementarity measure,↵8.753723e-10, is less than options.OptimalityTolerance, and the relative maximum constraint↵violation, 0.000000e+00, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-08.'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 2.3577e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

quadprog 라그랑주 승수 반환하기

2차 계획법 문제를 풀고 라그랑주 승수를 반환합니다.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

라그랑주 승수 구조체 lambda를 검토합니다.

disp(lambda)

    ineqlin: 12.0000
      eqlin: [0×1 double]
      lower: [3×1 double]
      upper: [3×1 double]

선형 부등식 제약 조건에는 연결된 라그랑주 승수 12가 있습니다.

하한과 연결된 승수를 표시합니다.

disp(lambda.lower)

    5.0000
    0.0000
    0.0000

lambda.lower의 첫 번째 성분에만 0이 아닌 승수가 있습니다. 이는 일반적으로 x의 첫 번째 성분만 하한인 0에 있다는 의미입니다. x의 성분을 표시하여 확인합니다.

disp(x)

    0.0000
    1.5000
    1.5000

warm start 객체 반환하기

이후 quadprog 호출 속도를 높이기 위해 warm start 객체를 만듭니다.

options = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
x0 = [1 2 3];
ws = optimwarmstart(x0,options);

ws를 사용하여 2차 계획법을 풉니다.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

toc

Elapsed time is 0.060411 seconds.

목적 함수를 변경하고 문제를 다시 풉니다.

f = [-10;-15;-20];

tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

toc

Elapsed time is 0.010756 seconds.

입력 인수

H — 2차 목적 함수 항

대칭 실수 행렬

2차 목적 함수 항으로, 대칭 실수 행렬로 지정됩니다. H는 표현식 1/2*x'*H*x + f'*x에서 2차 목적 함수 항을 나타냅니다. H가 대칭 행렬이 아닌 경우 quadprog는 경고를 발생시키고 대칭화된 식 (H + H')/2를 대신 사용합니다.

2차 행렬 H가 희소 행렬인 경우에는 기본적으로 'interior-point-convex' 알고리즘은 H가 조밀 행렬일 때와는 약간 다른 알고리즘을 사용합니다. 일반적으로, 희소 알고리즘은 대규모 희소 문제에서 더 빠르고 조밀 알고리즘은 조밀 문제나 소규모 문제에서 더 빠릅니다. 자세한 내용은 LinearSolver 옵션 설명과 quadprog의 interior-point-convex 알고리즘 항목을 참조하십시오.

예: [2,1;1,3]

데이터형: single | double

f — 선형 목적 함수 항

실수형 벡터

선형 목적 함수 항으로, 실수형 벡터로 지정됩니다. f는 표현식 1/2*x'*H*x + f'*x에서 선형 항을 나타냅니다.

예: [1;3;2]

데이터형: single | double

A — 선형 부등식 제약 조건

실수 행렬

선형 부등식 제약 조건으로, 실수 행렬로 지정됩니다. A는 M×N 행렬입니다. 여기서 M은 부등식 개수이고 N은 변수 개수(x0의 요소 개수)입니다. 희소 형식 데이터를 지원하는 알고리즘을 사용하는 대규모 문제의 경우, A를 희소 행렬로 전달하십시오. 최적화 알고리즘의 희소성 항목을 참조하십시오.

A는 다음과 같이 M개의 선형 부등식을 인코딩합니다.

A*x <= b,

여기서 x는 N개의 변수 x(:)으로 구성된 열 벡터이고, b는 M개의 요소를 갖는 열 벡터입니다.

예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30,

다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

예: x 성분의 합이 1 이하가 되도록 지정하려면 A = ones(1,N) 및 b = 1을 사용하십시오.

데이터형: single | double

b — 선형 부등식 제약 조건

실수형 벡터

선형 부등식 제약 조건으로, 실수 벡터로 지정됩니다. b는 A 행렬과 관련된, 요소를 M개 가진 벡터입니다. b를 행 벡터로 전달하면 솔버는 내부적으로 b를 열 벡터 b(:)으로 변환합니다.

b는 다음과 같이 M개의 선형 부등식을 인코딩합니다.

A*x <= b,

여기서 x는 N개의 변수 x(:)으로 구성된 열 벡터이고, A는 크기가 M×N인 행렬입니다.

예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30.

다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

예: x 성분의 합이 1 이하가 되도록 지정하려면 A = ones(1,N) 및 b = 1을 사용하십시오.

데이터형: single | double

Aeq — 선형 등식 제약 조건

실수 행렬

선형 등식 제약 조건으로, 실수 행렬로 지정됩니다. Aeq는 Me×N 행렬입니다. 여기서 Me는 부등식 개수이고 N은 변수 개수(x0의 요소 개수)입니다. 희소 형식 데이터를 지원하는 알고리즘을 사용하는 대규모 문제의 경우, A를 희소 행렬로 전달하십시오. 최적화 알고리즘의 희소성 항목을 참조하십시오.

Aeq는 다음과 같이 Me개의 선형 등식을 인코딩합니다.

Aeq*x = beq,

여기서 x는 N개의 변수 x(:)으로 구성된 열 벡터이고, beq는 Me개의 요소를 갖는 열 벡터입니다.

예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20,

다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

예: x 성분의 합이 1이 되도록 지정하려면 Aeq = ones(1,N) 및 beq = 1을 사용하십시오.

데이터형: single | double

beq — 선형 등식 제약 조건

실수형 벡터

선형 등식 제약 조건으로, 실수 벡터로 지정됩니다. beq는 Aeq 행렬과 관련된, 요소를 Me개 가진 벡터입니다. beq를 행 벡터로 전달하면 솔버는 내부적으로 beq를 열 벡터 beq(:)으로 변환합니다.

beq는 다음과 같이 Me개의 선형 등식을 인코딩합니다.

Aeq*x = beq,

여기서 x는 N개의 변수 x(:)으로 구성된 열 벡터이고, Aeq는 크기가 Me×N인 행렬입니다.

예를 들어, 다음 등식을 살펴보겠습니다.

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20.

다음 제약 조건을 입력하여 등식을 지정합니다.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

예: x 성분의 합이 1이 되도록 지정하려면 Aeq = ones(1,N) 및 beq = 1을 사용하십시오.

데이터형: single | double

lb — 하한

실수형 벡터 | 실수형 배열

하한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0의 요소 개수가 lb의 요소 개수와 같은 경우 lb는 다음을 지정합니다.

모든 i에 대해 x(i) >= lb(i)

numel(lb) < numel(x0)이면 lb는 다음을 지정합니다.

1 <= i <= numel(lb)

x(i) >= lb(i).

lb의 요소 개수가 x0의 요소 개수보다 적으면 솔버가 경고를 발생시킵니다.

예: 모든 x 성분이 양수가 되도록 지정하려면 lb = zeros(size(x0))을 사용하십시오.

데이터형: single | double

ub — 상한

실수형 벡터 | 실수형 배열

상한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0의 요소 개수가 ub의 요소 개수와 같은 경우 ub는 다음을 지정합니다.

모든 i에 대해 x(i) <= ub(i).

numel(ub) < numel(x0)이면 ub는 다음을 지정합니다.

1 <= i <= numel(ub)

x(i) <= ub(i)

ub의 요소 개수가 x0의 요소 개수보다 적으면 솔버가 경고를 발생시킵니다.

예: 모든 x 성분이 1보다 작도록 지정하려면 ub = ones(size(x0))을 사용하십시오.

데이터형: single | double

x0 — 초기점

실수형 벡터

초기점으로, 실수형 벡터로 지정됩니다. x0의 길이는 H의 행 개수 또는 열 개수입니다.

문제에 범위 제약 조건만 있는 경우 x0이 'trust-region-reflective' 알고리즘에 적용됩니다. x0은 'active-set' 알고리즘에도 적용됩니다.

참고

x0은 'active-set' 알고리즘의 필수 인수입니다.

x0을 지정하지 않을 경우, quadprog는 x0의 모든 성분을 범위로 정의된 상자 내부에 있는 점으로 설정합니다. quadprog는 'interior-point-convex' 알고리즘과 등식 제약 조건을 사용하는 'trust-region-reflective' 알고리즘에서 x0을 무시합니다.

예: [1;2;1]

데이터형: single | double

options — 최적화 옵션

optimoptions의 출력값 | optimset 등이 반환하는 구조체

최적화 옵션으로, optimoptions의 출력값 또는 optimset 등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.

일부 옵션은 optimoptions 표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 보기 항목을 참조하십시오.

모든 알고리즘

Algorithm	다음과 같은 알고리즘을 선택합니다. 'interior-point-convex'(디폴트 값) 'trust-region-reflective' 'active-set' 'interior-point-convex' 알고리즘은 볼록 문제만 처리합니다. 'trust-region-reflective' 알고리즘은 범위와 선형 등식 제약 조건 중 하나만 있는 문제를 처리합니다. 'active-set' 알고리즘은 Aeq의 영공간에 H를 투영한 결과가 양의 준정부호인 경우 부정 문제를 처리합니다. 자세한 내용은 알고리즘 선택하기 항목을 참조하십시오.
Diagnostics	최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. 'on' 또는 'off'(디폴트 값)를 선택할 수 있습니다.
Display	표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조): 'off' 또는 'none'은 출력값을 표시하지 않습니다. 'final'은 최종 출력값만 표시합니다(디폴트 값). 'interior-point-convex' 알고리즘 및 'active-set' 알고리즘은 다음과 같은 추가 값을 허용합니다. 'iter'은 반복 과정을 표시합니다. 'iter-detailed'는 상세 종료 메시지와 함께 반복 과정을 표시합니다. 'final-detailed'는 상세 종료 메시지와 함께 최종 출력값만 표시합니다.
MaxIterations	허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 'trust-region-reflective' 등식 제약 조건이 있는 문제의 경우, 디폴트 값은 2*(numberOfVariables – numberOfEqualities)입니다. 'active-set'의 디폴트 값은 10*(numberOfVariables + numberOfConstraints)입니다. 기타 모든 알고리즘과 문제의 경우, 디폴트 값은 200입니다. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 MaxIter입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
OptimalityTolerance	1차 최적성에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 'trust-region-reflective' 등식 제약 조건이 있는 문제의 경우, 디폴트 값은 1e-6입니다. 'trust-region-reflective' 범위 제약 조건이 있는 문제의 경우, 디폴트 값은 100*eps, 약 2.2204e-14입니다. 'interior-point-convex' 알고리즘 및 'active-set' 알고리즘의 경우, 디폴트 값은 1e-8입니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolFun입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
StepTolerance	x에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 'trust-region-reflective'의 경우, 디폴트 값은 100*eps, 약 2.2204e-14입니다. 'interior-point-convex'의 경우, 디폴트 값은 1e-12입니다. 'active-set'의 경우, 디폴트 값은 1e-8입니다. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolX입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.

'trust-region-reflective' 알고리즘만 해당

FunctionTolerance	함수 값에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 문제 유형에 따라 달라집니다. 범위 제약 조건이 있는 문제는 100*eps를 사용하고, 선형 등식 제약 조건이 있는 문제는 1e-6을 사용합니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolFun입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
HessianMultiplyFcn	헤세 행렬의 곱셈 함수로, 함수 핸들로 지정됩니다. 특정 구조를 가진 대규모 문제의 경우, 이 함수는 H를 실제로 구성하지 않고 헤세 행렬 곱 H*Y를 계산합니다. 함수의 형식은 다음과 같습니다. W = hmfun(Hinfo,Y) 여기서 Hinfo(그리고 추가될 수 있는 일부 파라미터)는 H*Y를 계산하는 데 사용되는 행렬을 포함합니다. 이 옵션을 사용하는 예제는 Quadratic Minimization with Dense, Structured Hessian 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 HessMult입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
MaxPCGIter	최대 PCG(선조건 적용 켤레 기울기) 반복 횟수로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 범위 제약 조건이 있는 문제의 경우 max(1,floor(numberOfVariables/2))입니다. 등식 제약 조건이 있는 문제의 경우, quadprog는 MaxPCGIter을 무시하고 MaxIterations를 사용하여 PCG 반복 횟수를 제한합니다. 자세한 내용은 선조건 적용 켤레 기울기법(Preconditioned Conjugate Gradient Method) 항목을 참조하십시오.
PrecondBandWidth	PCG에 대한 선조건자의 상부 대역폭으로, 음이 아닌 정수입니다. 기본적으로, quadprog는 대각 선조건 지정을 사용합니다(상부 대역폭: 0). 일부 문제에서는 대역폭을 늘리면 PCG 반복 횟수가 줄어듭니다. PrecondBandWidth를 Inf로 설정하면 켤레 기울기(CG)가 아닌 직접 분해(촐레스키)가 사용됩니다. 직접 분해는 CG보다 계산량이 더 많지만 해를 구하기 위한 더 나은 품질의 스텝을 생성합니다.
SubproblemAlgorithm	반복 스텝이 계산되는 방식을 결정합니다. 디폴트 값 'cg'는 'factorization'보다 더 빠르지만 정확도가 떨어지는 스텝을 실행합니다. quadprog의 trust-region-reflective 알고리즘 항목을 참조하십시오.
TolPCG	PCG 반복에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 0.1입니다.
TypicalX	일반적인 x 값입니다. TypicalX의 요소 개수는 시작점 x0의 요소 개수와 같습니다. 디폴트 값은 ones(numberOfVariables,1)입니다. quadprog는 스케일링에 내부적으로 TypicalX를 사용합니다. TypicalX는 x에 비유계 성분이 있고 비유계 성분의 TypicalX 값이 1보다 큰 경우에만 유효합니다.

'interior-point-convex' 알고리즘만 해당

ConstraintTolerance	제약 조건 위반에 대한 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-8입니다. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolCon입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
LinearSolver	알고리즘의 내부 선형 솔버 유형입니다. 'auto'(디폴트 값) — H 행렬이 희소 행렬이면 'sparse'를 사용하고, 그렇지 않으면 'dense'를 사용합니다. 'sparse' — 희소 선형 대수를 사용합니다. 희소 행렬 항목을 참조하십시오. 'dense' — 조밀한 선형 대수를 사용합니다.
ScaleProblem	true인 경우, 내부 스케일링을 수행하여 문제의 조건을 개선하며 더 빠르거나 정확한 해를 구할 수 있게 됩니다. 디폴트 값은 false입니다. 제대로 스케일링되지 않은 선형 제약 조건(A 또는 Aeq)이나 2차 목적 함수 계수(H) 행렬이 있는 일부 문제에서는 true를 설정하여 뚜렷한 속도 향상이나 해의 정확도 향상을 얻을 수 있습니다. 그러나 ScaleProblem=true를 설정하면 솔버에 약간의 시간 오버헤드가 추가될 수 있으며, 경우에 따라 수렴이 제대로 이루어지지 않을 수 있습니다.

'active-set' 알고리즘만 해당

ConstraintTolerance	제약 조건 위반에 대한 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-8입니다. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolCon입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
ObjectiveLimit	허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 목적 함수 값이 ObjectiveLimit 아래로 떨어지고 현재 점이 실현 가능하면 반복이 중단됩니다. 문제가 비유계이기 때문일 수 있습니다. 디폴트 값은 -1e20입니다.
UseCodegenSolver	타깃 하드웨어에서 실행되는 소프트웨어 버전을 사용한다는 표시로, true 또는 false(디폴트 값)로 지정됩니다. 코드를 생성하기 전에 데스크탑 환경에서 코드를 테스트하려면 이 옵션을 사용하십시오. 코드 생성 시 이 옵션을 전달할 수 있지만, 코드 생성에는 아무런 영향을 미치지 않습니다.

단정밀도 코드 생성

Algorithm	'active-set'이어야 합니다.
ConstraintTolerance	제약 조건 위반에 대한 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-4입니다. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolCon입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
MaxIterations	허용되는 최대 반복 횟수로, 음이 아닌 정수입니다. 디폴트 값은 10*(nVar + mConstr)입니다. 여기서 nVar은 문제 변수 개수이고 mConstr은 제약 조건 개수입니다.
ObjectiveLimit	허용오차(중지 기준)로, 스칼라입니다. 목적 함수 값이 ObjectiveLimit 아래로 떨어지고 현재 점이 실현 가능하면 반복이 중단됩니다. 문제가 비유계이기 때문일 수 있습니다. 디폴트 값은 -1e20입니다.
OptimalityTolerance	1차 최적성에 대한 종료 허용오차입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 1e-4입니다. 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오. optimset의 경우, 이 이름은 TolFun입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
StepTolerance	x에 대한 종료 허용오차로, 양의 스칼라입니다. 디폴트 값은 1e-4입니다. optimset의 경우, 이 옵션 이름은 TolX입니다. 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
UseCodegenSolver	타깃 하드웨어에서 실행되는 소프트웨어 버전을 사용한다는 표시로, true 또는 false(디폴트 값)로 지정됩니다. 코드를 생성하기 전에 데스크탑 환경에서 코드를 테스트하려면 이 옵션을 사용하십시오. 코드 생성 시 이 옵션을 전달할 수 있지만, 코드 생성에는 아무런 영향을 미치지 않습니다.

problem — 문제 구조체

구조체

문제 구조체로, 다음 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.

H	1/2*x'*H*x의 대칭 행렬
f	선형항 f'*x의 벡터
Aineq	선형 부등식 제약 조건 Aineq*x ≤ bineq에 포함되는 행렬
bineq	선형 부등식 제약 조건 Aineq*x ≤ bineq에 포함되는 벡터
Aeq	선형 등식 제약 조건 Aeq*x = beq에 포함되는 행렬
beq	선형 등식 제약 조건 Aeq*x = beq에 포함되는 벡터
lb	하한으로 구성된 벡터
ub	상한으로 구성된 벡터
x0	x의 초기점
solver	'quadprog'
options	optimoptions 또는 optimset을 사용하여 생성되는 옵션

필수 필드는 H, f, solver 및 options입니다. 해를 구할 때 quadprog는 위 목록에 표시되지 않은 모든 필드를 problem에서 무시합니다.

참고

웜 스타트는 problem 인수와 함께 사용할 수 없습니다.

데이터형: struct

ws — warm start 객체

optimwarmstart를 사용하여 생성되는 객체

warm start 객체로, optimwarmstart를 사용하여 생성되는 객체로 지정됩니다. warm start 객체는 시작점과 옵션, 그리고 코드 생성 시 메모리 크기에 대한 선택적 데이터를 포함합니다. Warm Start Best Practices 항목을 참조하십시오.

예: ws = optimwarmstart(x0,options)

출력 인수

x — 해(Solution)

실수형 벡터

해로, 실수형 벡터로 반환됩니다. x는 모든 범위와 선형 제약 조건이 적용된 1/2*x'*H*x + f'*x를 최소화하는 벡터입니다. x는 비볼록 문제의 경우 국소 최솟값일 수 있습니다. 볼록 문제의 경우, x는 전역 최솟값입니다. 자세한 내용은 국소 최적해와 전역 최적해 항목을 참조하십시오.

wsout — 해 warm start 객체

QuadprogWarmStart 객체

해 warm start 객체로, QuadprogWarmStart 객체로 반환됩니다. 해에 해당하는 점은 wsout.X입니다.

이후 quadprog 호출에서 wsout를 입력 warm start 객체로 사용할 수 있습니다.

fval — 해에서 계산된 목적 함수 값

실수형 스칼라

해에서 계산된 목적 함수 값으로, 실수형 스칼라로 반환됩니다. fval은 해 x에서 1/2*x'*H*x + f'*x를 계산한 값입니다.

exitflag — quadprog가 중지된 이유

정수

quadprog가 중지된 이유로, 아래 표에 설명되어 있는 정수로 반환됩니다.

모든 알고리즘
1	함수가 해 x로 수렴되었습니다.
0	반복 횟수가 options.MaxIterations를 초과했습니다.
-2	문제가 실현 가능하지 않습니다. 또는 'interior-point-convex'의 경우 스텝 크기가 options.StepTolerance보다 작지만, 제약 조건이 충족되지 않았습니다.
-3	문제가 비유계입니다.
'interior-point-convex' 알고리즘
2	스텝 크기가 options.StepTolerance보다 작고 제약 조건이 충족되었습니다.
-6	비볼록 문제가 감지되었습니다.
-8	스텝 방향을 계산할 수 없습니다.
'trust-region-reflective' 알고리즘
4	국소 최솟값을 찾았거나, 최솟값이 고유하지 않습니다.
3	목적 함수 값의 변화량이 options.FunctionTolerance보다 작습니다.
-4	현재 탐색 방향이 하강 방향이 아닙니다. 더 이상 진행할 수 없습니다.
'active-set' 알고리즘
-6	비볼록 문제가 감지되었습니다. Aeq의 영공간에 H를 투영한 결과가 양의 준정부호가 아닙니다.

참고

실제로 문제가 비유계인 경우 'active-set' 알고리즘은 종료 플래그 0을 발생시키고 중단되기도 합니다. 반복 한도를 더 높이 설정해도 종료 플래그 0을 발생시킵니다.

output — 최적화 과정에 대한 정보

구조체

최적화 과정에 대한 정보로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.

iterations	수행된 반복 횟수
algorithm	사용된 최적화 알고리즘
cgiterations	총 PCG 반복 횟수('trust-region-reflective' 알고리즘만 해당)
constrviolation	제약 조건 함수의 최댓값
firstorderopt	1차 최적성에 대한 측정값
linearsolver	내부 선형 솔버의 유형으로, 'dense' 또는 'sparse'('interior-point-convex' 알고리즘만 해당)
message	종료 메시지

lambda — 해에서의 라그랑주 승수

구조체

해에서의 라그랑주 승수로, 다음 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.

lower	하한 lb
upper	상한 ub
ineqlin	선형 부등식
eqlin	선형 등식

자세한 내용은 라그랑주 승수 구조체 항목을 참조하십시오.

세부 정보

향상된 종료 메시지

다음 몇 가지 항목은 quadprog에서 반환될 수 있는 향상된 종료 메시지를 나열한 것입니다. 향상된 종료 메시지에는 자세한 정보를 볼 수 있는 링크가 메시지의 첫 문장으로 제공됩니다.

제약 조건을 충족하는 최솟값을 찾음

솔버가 모든 범위와 선형 제약 조건을 충족하는 최소화 점을 찾았습니다. 문제가 볼록 문제이므로 최소화 점은 전역 최솟값입니다. 자세한 내용은 국소 최적해와 전역 최적해 항목을 참조하십시오.

솔버가 중단되었지만 제약 조건이 충족됨

마지막 스텝이 너무 작기 때문에 솔버가 중지되었습니다. 상대 스텝 크기가 StepTolerance허용오차 아래로 내려가면 반복이 종료됩니다. 경우에 따라 이는 솔버가 최솟값을 찾았음을 의미할 수 있습니다. 그러나 1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance보다 작지 않으므로 결과가 정확하지 않을 수 있습니다. 모든 제약 조건이 충족되었습니다.

계속 진행하려면 다음을 시도해 보십시오.

• output 구조체에 저장된 1차 최적성 측정값을 검토합니다. 1차 최적성 측정값이 작으면 반환된 해가 정확할 가능성이 높습니다.

• StepTolerance 옵션을 0으로 설정합니다. 이렇게 설정하면 때로는 솔버 진행에 도움이 될 수 있지만 경우에 따라 다른 문제로 인해 솔버가 계속 중단된 상태에 머물 수도 있습니다.

• 다른 알고리즘을 사용해 봅니다. 솔버가 여러 알고리즘을 제공하는 경우 다른 알고리즘으로 성공할 수도 있습니다.

• 종속 제약 조건을 제거해 봅니다. 즉, 어떠한 선형 제약 조건도 중복되지 않도록 하십시오.

문제가 비유계인 것처럼 보임

모든 제약 조건을 충족하고 목적 함수의 한계 없는 감소를 유발하는 방향을 찾은 것으로 보이므로 quadprog가 중지되었습니다.

계속 진행하려면 다음을 수행하십시오.

• 각 성분에 대해 유한 경계를 갖는지 확인합니다.

• 목적 함수가 순 볼록(2차 행렬이 순양수 고유값을 가짐)인지 확인합니다.

• 연결된 선형 계획법 문제(2차 항이 없는 원래 문제)가 유한 해를 갖는지 확인합니다.

스텝 방향을 계산할 수 없음

솔버가 최솟값으로 향하는 방향을 계산할 수 없으므로 계속 진행할 수 없습니다. 선형 제약 조건이 중복되거나 허용오차가 너무 작기 때문에 발생하는 문제일 가능성이 높습니다.

계속 진행하려면 다음을 수행하십시오.

• 선형 제약 조건 행렬에 중복이 있는지 확인합니다. 중복 선형 제약 조건을 식별하고 제거해 보십시오.

• FunctionTolerance, OptimalityTolerance, ConstraintTolerance 옵션 값이 최소 1e-14보다 큰지 그리고 가급적이면 1e-12보다 큰지 확인합니다. 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

비블록 문제임

quadprog가 문제가 볼록 문제가 아님을 확인했습니다. 다른 알고리즘을 사용해 봅니다. 자세한 내용은 2차 계획법 알고리즘 항목을 참조하십시오.

풀이 전처리 동안 해를 구함

솔버가 풀이 전처리 단계에서 해를 구했습니다. 이는 범위, 선형 제약 조건 및 f(선형 목적 함수 계수)에서 바로 해를 구했다는 의미입니다. 자세한 내용은 풀이 전처리/풀이 후처리 항목을 참조하십시오.

문제가 실현 불가능함

풀이 전처리 중에 솔버가 문제에 모순된 정식화가 있음을 발견했습니다. 단일 점 x에서 일부 제약 조건을 충족할 수 없다는 의미에서 모순입니다. 자세한 내용은 풀이 전처리/풀이 후처리 항목을 참조하십시오.

문제가 비유계임

풀이 전처리 중에 목적 함수가 한계 없이 감소하는 실현 가능한 방향을 솔버가 찾았습니다. 자세한 내용은 풀이 전처리/풀이 후처리 항목을 참조하십시오.

실현불가능점으로 수렴됨

quadprog가 ConstraintTolerance라고 하는 제약 조건 허용오차 내에서 일부 제약 조건을 충족하지 않는 점으로 수렴되었습니다. quadprog가 중지된 이유는 마지막 스텝이 너무 작았기 때문입니다. 상대 스텝 크기가 StepTolerance 허용오차 아래로 내려가면 반복이 종료됩니다.

진행 방법에 대한 제안 사항은 quadprog가 실현불가능점으로 수렴됨 항목을 참조하십시오.

실현 가능한 해를 찾지 못함

솔버가 ConstraintTolerance라고 하는 제약 조건 허용오차 내에서 일부 제약 조건을 충족하지 않는 점으로 수렴되었습니다. 솔버가 중지된 이유는 마지막 스텝이 너무 작았기 때문입니다. 상대 스텝 크기가 StepTolerance 허용오차 아래로 내려가면 반복이 종료됩니다.

실현 가능한 해를 찾지 못함

모든 범위와 선형 제약 조건을 충족하는 점이 없습니다. 선형 제약 조건이 모순되는지 검토하는 데 도움이 필요하면 Investigate Linear Infeasibilities 항목을 참조하십시오.

최적해를 구함

실현가능점이 하나만 있습니다. 독립 선형 등식 제약 조건 개수는 문제의 변수 개수와 같습니다.

최적해를 구함

1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance 허용오차보다 작기 때문에 솔버가 중지되었습니다.

1차 최적성 측정값은 투영된 기울기의 무한대 노름입니다. 이 투영은 선형 등식 행렬 Aeq의 영공간으로 투영된 것입니다.

국소 최솟값 찾음

솔버는 곡률이 0인 점, 즉 국소 최솟값에서 중지되었습니다. 동일한 목적 함수 값을 갖는 다른 실현가능점이 있습니다.

문제가 비유계임

목적 함수가 무한정으로 감소하는 영곡률 또는 음의 곡률 방향이 있습니다. 따라서 모든 목표값에 대해 목적 함수 값이 목표값보다 작은 실현가능점이 있습니다. 문제에 충분한 제약 조건을 포함시켰는지 확인합니다(예: 모든 변수에 대한 범위).

최적해를 구함

1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance 허용오차보다 작기 때문에 솔버가 중지되었습니다.

국소 최솟값일 수 있음

함수 값의 상대 변화가 FunctionTolerance 허용오차보다 작기 때문에 솔버가 중지되었습니다. 해의 질을 검사하려면 국소 최솟값일 수 있음 항목을 참조하십시오.

국소 최솟값일 수 있음

함수 값의 상대 변화가 FunctionTolerance 허용오차의 제곱근보다 작고 이전 반복에서 함수 값의 변화가 인자 3.5보다 작게 감소하므로 솔버가 중지되었습니다. 목적 함수 값의 차가 상대적으로 작지만 0으로 충분히 빠르게 감소하지 않을 경우, 이 기준에 따라 솔버가 중지됩니다. 해의 질을 검사하려면 국소 최솟값일 수 있음 항목을 참조하십시오.

종료 메시지에 대한 정의

다음 몇 가지 항목은 quadprog 종료 메시지에 나오는 용어에 대한 정의를 포함합니다.

허용오차

일반적으로, 허용오차는 이 값을 넘는 경우 솔버의 반복이 중지되는 임계값입니다. 허용오차에 대한 자세한 내용은 허용오차와 중지 기준 항목을 참조하십시오.

볼록

임의의 실현가능점에서 음의 곡률을 갖는 실현 가능한 방향이 없다면 2차 계획법은 볼록입니다. 볼록 문제는 하나의 국소 최솟값만 가지며, 이 값은 전역 최솟값이기도 합니다.

실현 가능한 방향

실현가능점 x의 실현 가능한 방향은 충분히 작은 양수 a에 대해 x + av가 실현 가능한 벡터 v입니다.

실현가능점은 모든 제약 조건을 충족하는 점입니다.

StepTolerance

StepTolerance는 마지막 스텝의 크기에 대한 허용오차로, fsolve가 실행된 위치에서의 변화량 크기입니다.

OptimalityTolerance

OptimalityTolerance라고 하는 허용오차는 1차 최적성 측정값과 관련이 있습니다. 1차 최적성 측정값이 OptimalityTolerance보다 작은 경우 반복이 종료됩니다.

제약 조건이 있는 문제의 경우 1차 최적성 측정값은 다음 두 수량의 최댓값입니다.

$$\begin{array}{l}\Vert {\nabla }_{x}L(x,\lambda \Vert =\Vert \nabla f(x)+A^T{\lambda }_{ineqlin}+Ae{q}^T{\lambda }_{eqlin}\\ +{\displaystyle \sum {\lambda }_{ineqnonlin,i}\nabla c_i(x)+{\displaystyle \sum {\lambda }_{eqnonlin,i}\nabla ce{q}_i(x)}}\Vert ,\end{array}$$

$$\Vert \overrightarrow{\left|l_i-x_i\right|{\lambda }_{lower,i}},\overrightarrow{\left|x_i-u_i\right|{\lambda }_{upper,i}},\overrightarrow{\left|{(Ax-b)}_i\right|{\lambda }_{ineqlin,i}},\overrightarrow{\left|c_i(x)\right|{\lambda }_{ineqnonlin,i}}\Vert .$$

제약 조건이 없는 문제의 경우 1차 최적성 측정값은 기울기 벡터 성분의 절댓값의 최댓값입니다(무한대 노름이라고도 함).

1차 최적성 측정값은 최소화 점에서 0이어야 합니다.

이러한 방정식에서의 모든 변수의 정의를 비롯한 자세한 내용은 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오.

범위를 갖는 문제에 대한 1차 최적성 측정값

제약 조건이 없는 문제의 경우 1차 최적성 측정값은 기울기 벡터 성분의 절댓값의 최댓값입니다(기울기의 무한대 노름이라고도 함). 이 값은 최소화 점에서 0이어야 합니다.

범위를 갖는 문제의 경우 1차 최적성 측정값은 i에 대해 |v_i*g_i|의 최댓값입니다. 여기서 g_i는 기울기의 i번째 성분이고, x는 현재 점이며, 다음과 같습니다.

$$v_i=\{\begin{array}{ll}\left|x_i-b_i\right|\hfill & \text{if the negative gradient points toward bound }{b}_i\hfill \\ 1\hfill & \text{otherwise}\text{.}\hfill \end{array}$$

x_i가 경계에 있는 경우, v_i는 0입니다. x_i가 경계에 있지 않는 경우 최소화 점에서 기울기 g_i는 0이어야 합니다. 따라서 1차 최적성 측정값은 최소화 점에서 0이어야 합니다.

자세한 내용은 1차 최적성 측정값 항목을 참조하십시오.

ConstraintTolerance

ConstraintTolerance라고 하는 제약 조건 허용오차는 현재 점에서 모든 제약 조건 함수 값의 최댓값입니다.

ConstraintTolerance는 다른 허용오차와 다르게 동작합니다. ConstraintTolerance가 충족되지 않으면(예: 제약 조건 함수의 크기가 ConstraintTolerance를 초과) 솔버는 다른 이유로 중단되지 않는 한 계속 진행을 시도합니다. 단순히 ConstraintTolerance가 충족된다는 이유로는 솔버가 중단되지 않습니다.

상대적 쌍대 문제(Dual) 실현가능성

쌍대 문제 실현가능성 r_d는 문제에 대한 KKT 조건과 관련해 정의됩니다. 상대적 쌍대 문제 실현가능성 중지 조건은 다음과 같습니다.

rd ≤ ρOptimalityTolerance,

(1)

여기서 ρ는 스케일링 인자입니다.

자세한 내용은 예측자-수정자 항목을 참조하십시오.

쌍대 문제 실현가능성

KKT 조건에 따르면 최적값 x에서는 다음 조건이 성립되는 라그랑주 승수 $${\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$ 및 λ_eq가 있습니다.

$$\begin{array}{c}Hx+c+A_{\text{eq}}^T{\lambda }_{\text{eq}}+{\overline{A}}^T{\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}=0\\ \overline{A}x-\overline{b}+s=0\\ A_{\text{eq}}x-b_{\text{eq}}=0\\ s_i{\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}=0\\ s_i\ge 0\\ {\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}\ge 0.\end{array}$$

변수 $$\overline{A}$$, $${\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$, $$\overline{b}$$는 선형 부등식의 일부로 범위를 포함합니다.

쌍대 문제 실현가능성 r_d는 $$r_{\text{d}}=Hx+c+A_{\text{eq}}^T{\lambda }_{\text{eq}}+{\overline{A}}^T{\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$의 절댓값입니다.

스케일링 인자

스케일링 인자 ρ는 다음과 같습니다.

$$\rho =\max \left(1,\Vert H\Vert ,\Vert \overline{A}\Vert ,\Vert A_{eq}\Vert ,\Vert c\Vert ,\Vert \overline{b}\Vert ,\Vert b_{eq}\Vert \right).$$

노름 $$\Vert \cdot \Vert$$은 표현식에 있는 요소의 최대 절댓값입니다.

상보성 측정값

상보성 측정값은 문제에 대한 KKT 조건과 관련해 정의됩니다. 최적값 x에서는 다음 조건이 성립되는 라그랑주 승수 $${\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$ 및 λ_eq가 있습니다.

$$\begin{array}{c}Hx+c+A_{\text{eq}}^T{\lambda }_{\text{eq}}+{\overline{A}}^T{\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}=0\\ \overline{A}x-\overline{b}+s=0\\ A_{\text{eq}}x-b_{\text{eq}}=0\\ s_i{\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}=0\\ s_i\ge 0\\ {\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}\ge 0.\end{array}$$

변수 $$\overline{A}$$, $${\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$, $$\overline{b}$$는 선형 부등식의 일부로 범위를 포함합니다.

상보성 측정값은 다음과 같습니다.

$${\displaystyle \sum _i{s}_i{\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}}.$$

자세한 내용은 예측자-수정자 항목을 참조하십시오.

총 상대 오차

총 상대 오차는 문제에 대한 KKT 조건과 관련해 정의됩니다. 총 상대 오차 중지 조건은 이득 함수 φ가 다음을 충족할 때 성립합니다.

φ ≥ max(OptimalityTolerance,105φmin).

(2)

이 중지 조건이 성립하면 솔버는 2차 계획법이 실현 가능하지 않은 것으로 간주합니다.

이득 함수

KKT 조건에 따르면 최적값 x에서는 다음 조건이 성립되는 라그랑주 승수 $${\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$ 및 λ_eq가 있습니다.

$$\begin{array}{c}Hx+c+A_{\text{eq}}^T{\lambda }_{\text{eq}}+{\overline{A}}^T{\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}=0\\ \overline{A}x-\overline{b}+s=0\\ A_{\text{eq}}x-b_{\text{eq}}=0\\ s_i{\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}=0\\ s_i\ge 0\\ {\overline{\lambda }}_{\text{ineq},i}\ge 0.\end{array}$$

변수 $$\overline{A}$$, $${\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}$$, $$\overline{b}$$는 선형 부등식의 일부로 범위를 포함합니다.

이득 함수 φ는 다음과 같습니다.

$$\frac{1}{\rho }\left(\max \left({\Vert r_{\text{eq}}\Vert }_{\infty },{\Vert r_{\text{ineq}}\Vert }_{\infty },{\Vert r_{\text{d}}\Vert }_{\infty }\right)+g\right).$$

φ 정의에 사용된 항은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c}\rho =\max \left(1,\Vert H\Vert ,\Vert \overline{A}\Vert ,\Vert A_{eq}\Vert ,\Vert c\Vert ,\Vert \overline{b}\Vert ,\Vert b_{eq}\Vert \right)\\ r_{\text{eq}}=A_{\text{eq}}x-b_{\text{eq}}\\ r_{\text{ineq}}=\overline{A}x-\overline{b}+s\\ r_{\text{d}}=Hx+c+A_{\text{eq}}^T{\lambda }_{\text{eq}}+{\overline{A}}^T{\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}\\ g=x^{T}Hx+f^{T}x-\overline{b}{\overline{\lambda }}_{\text{ineq}}-b_{\text{eq}}{\lambda }_{\text{eq}}.\end{array}$$

표현식 φ_min은 모든 반복에서 나타나는 φ의 값 중 최솟값을 의미합니다.

풀이 전처리

풀이 전처리는 선형 계획법 문제 또는 2차 계획법 문제를 단순화하는 일련의 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 일치하지 않는 범위와 선형 제약 조건 같은 간단한 불일치 항목을 찾습니다. 또한 중복되는 범위와 선형 부등식도 찾습니다. 자세한 내용은 풀이 전처리/풀이 후처리 항목을 참조하십시오.

조건이 나쁜 문제로 보임

내부적으로 계산된 탐색 방향은 목적 함수 값을 감소시키지 않습니다. 문제가 잘못 스케일링되었거나 조건이 나쁜 행렬(quadprog의 경우 H, lsqlin의 경우 C)이 포함되어 있을 수 있습니다. 진행 방법에 대한 제안 사항은 솔버가 실패한 경우 항목 또는국소 최솟값일 수 있음 항목을 참조하십시오.

알고리즘

'interior-point-convex'

'interior-point-convex' 알고리즘은 엄밀하게 제약 조건 내에 있는 경로를 따르려고 시도합니다. 이 알고리즘은 중복된 항목을 제거하려는 경우와 간단한 성분을 구하여 문제를 단순화하려는 경우에 풀이 전처리 모듈을 사용합니다.

이 알고리즘은 희소 헤세 행렬 H와 조밀 행렬에 대해 각각 다르게 구현됩니다. 일반적으로, 희소 구현(Sparse Implementation)은 대규모 희소 문제에서 더 빠르고 조밀 구현(Dense Implementation)은 조밀 문제나 소규모 문제에서 더 빠릅니다. 자세한 내용은 quadprog의 interior-point-convex 알고리즘 항목을 참조하십시오.

'trust-region-reflective'

'trust-region-reflective' 알고리즘은 interior-reflective 뉴턴 방법([1]에 설명되어 있음)을 기반으로 하는 부분공간 trust-region 방법입니다. 각 반복에는 선조건 적용 켤레 기울기(PCG) 방법을 사용한 대규모 선형 시스템의 근사해 풀이 작업이 포함됩니다. 자세한 내용은 quadprog의 trust-region-reflective 알고리즘 항목을 참조하십시오.

'active-set'

'active-set' 알고리즘은 [2]에서 설명한 것과 유사한 투영법입니다. 알고리즘은 희소 형식 데이터를 사용하지 않습니다. 최적화 알고리즘의 희소성 항목을 참조하십시오. 자세한 내용은 quadprog의 active-set 알고리즘 항목을 참조하십시오.

웜 스타트

warm start 객체는 이전에 푼 문제의 활성 제약 조건 목록을 유지합니다. 솔버는 현재 문제를 풀기 위해 가능한 한 많은 활성 제약 조건 정보를 전달합니다. 이전 문제가 현재 문제와 너무 다른 경우, 활성 세트 정보가 재사용되지 않습니다. 이 경우, 솔버는 활성 제약 조건의 목록을 재빌드하기 위해 콜드 스타트를 효과적으로 실행합니다.

대체 기능

앱

최적화 라이브 편집기 작업은 quadprog에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.

참고 문헌

[1] Coleman, T. F., and Y. Li. “A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on Some of the Variables.” SIAM Journal on Optimization. Vol. 6, Number 4, 1996, pp. 1040–1058.

[2] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization. London: Academic Press, 1981.

[3] Gould, N., and P. L. Toint. “Preprocessing for quadratic programming.” Mathematical Programming. Series B, Vol. 100, 2004, pp. 95–132.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• quadprog은 codegen (MATLAB Coder) 함수 또는 MATLAB^® Coder™ 앱을 사용한 코드 생성을 지원합니다. 코드를 생성하려면 MATLAB Coder 라이선스가 있어야 합니다.

• 타깃 하드웨어는 표준 배정밀도 부동소수점 계산 또는 표준 단정밀도 부동소수점 계산을 지원해야 합니다.

• 코드 생성 대상은 MATLAB 솔버와 동일한 수학 커널 라이브러리를 사용하지 않습니다. 따라서 특히 조건이 나쁜 문제인 경우에 코드 생성의 해가 솔버의 해와 다를 수 있습니다.

• 코드를 생성하기 전에 MATLAB에서 코드를 테스트하려면 UseCodegenSolver 옵션을 true로 설정하십시오. 그러면 솔버가 코드 생성 시 생성된 코드와 동일한 코드를 사용합니다.

• quadprog은 코드 생성 시 problem 인수를 지원하지 않습니다.

  [x,fval] = quadprog(problem) % Not supported

• A, Aeq, lb, ub 같은 quadprog 입력 행렬은 모두 희소 행렬이 아니라 비희소 행렬이어야 합니다. full 함수를 사용하여 희소 행렬을 비희소 행렬로 변환할 수 있습니다.

• lb 인수와 ub 인수는 H의 열 개수와 동일한 개수의 요소를 가지거나 비어 있어야 합니다([]).

• 타깃 하드웨어가 무한 범위를 지원하지 않는 경우 optim.coder.infbound를 사용하십시오.

• 임베디드 프로세서가 사용되는 고급 코드 최적화의 경우에는 Embedded Coder^® 라이선스도 필요합니다.

• quadprog에 대한 옵션을 포함하고 optimoptions를 사용하여 옵션을 지정해야 합니다. 옵션에는 'active-set'으로 설정된 Algorithm 옵션이 포함되어야 합니다.

  options = optimoptions("quadprog",Algorithm="active-set");
  [x,fval,exitflag] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);

• 코드 생성에 지원되는 옵션은 다음과 같습니다.

  • Algorithm — 'active-set'이어야 함

  • ConstraintTolerance

  • MaxIterations

  • ObjectiveLimit

  • OptimalityTolerance

  • StepTolerance

  • UseCodegenSolver

• 생성된 코드는 옵션에 대해 제한적인 오류 검사를 수행합니다. 옵션을 업데이트할 때 권장하는 방법은 점 표기법이 아니라 optimoptions를 사용하는 것입니다.

  opts = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
  opts = optimoptions(opts,'MaxIterations',1e4); % Recommended
  opts.MaxIterations = 1e4; % Not recommended

• 파일에서 옵션을 불러오지 마십시오. 파일에서 불러오면 코드 생성이 실패할 수 있습니다. 대신 코드에서 옵션을 만드십시오.

• 지원되지 않는 옵션을 지정하면 일반적으로 코드 생성 시에 해당 옵션이 무시됩니다. 안정된 결과를 얻기 위해, 지원되는 옵션만 지정하십시오.

예제는 quadprog에 대한 코드 생성하기 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2025a: 코드 생성 전 테스트

새로운 UseCodegenSolver 옵션을 true로 설정하면 quadprog 함수가 코드 생성 시 생성된 소프트웨어와 동일한 버전을 사용합니다. 이 옵션을 사용하면 코드를 생성하거나 하드웨어에 코드를 배포하기 전에 솔버의 동작을 확인할 수 있습니다. 단정밀도 코드 생성을 지원하는 솔버의 경우, 생성된 코드도 단정밀도 하드웨어를 지원할 수 있습니다. 이 옵션은 코드 생성 시 포함할 수 있으며, 코드 생성에 아무런 영향을 미치지 않습니다. 따라서 제거할 필요 없이 그대로 두어도 됩니다. 생성된 코드가 MATLAB 코드와 동일하더라도 연결된 수학 라이브러리가 다를 수 있으므로 결과는 약간 다를 수 있습니다.

R2025a: quadprog에 대한 ScaleProblem 옵션

quadprog 솔버의 "interior-point-convex" 알고리즘은 ScaleProblem 옵션을 갖는데, 이는 제대로 스케일링되지 않은 일부 문제에서 해를 구하는 속도를 높일 수 있습니다. 자세한 내용은 quadprog options 인수 설명을 참조하십시오.

R2024b: 단정밀도 코드 생성

단정밀도 부동소수점 하드웨어의 경우 quadprog를 사용하여 코드를 생성할 수 있습니다. 지침은 단정밀도 코드 생성 항목을 참조하십시오.

참고 항목

linprog | lsqlin | optimoptions | prob2struct | 최적화 | optimwarmstart

도움말 항목

• 솔버 기반 최적화 문제 설정
• 최적화 결과
• 2차 계획법과 원뿔 계획법
• Warm Start Best Practices
• 혼합 정수 2차 계획법 포트폴리오 최적화: 솔버 기반