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null

행렬의 영공간

설명

예제

Z = null(A)A의 영공간에 대한 정규 직교 기저를 반환합니다.

예제

Z = null(A,'r')A의 영공간에 대해 일반적으로 정규 직교가 아닌 '유리' 기저를 반환합니다. A가 작은 정수 요소를 가진 작은 행렬이면 Z의 요소는 작은 정수들의 비율이 됩니다. 이 방법은 null(A)보다 수치적 정확도가 떨어집니다.

예제

모두 축소

null 함수를 사용하여 행렬의 영공간에 대해 정규 직교 기저 벡터와 유리 기저 벡터를 계산합니다. 행렬의 영공간은 Ax=0을 충족하는 벡터 x를 포함합니다.

4x4 마방진 행렬을 만듭니다. 이 행렬은 특이값 중 하나가 0인 랭크 부족 행렬입니다.

A = magic(4)
A = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

A의 영공간에 대해 정규 직교 기저를 계산합니다. 반올림 오차 내에서 Ax1=0임을 확인합니다.

x1 = null(A)
x1 = 4×1

    0.2236
    0.6708
   -0.6708
   -0.2236

norm(A*x1)
ans = 4.4019e-15

이제 영공간에 대해 유리 기저를 계산합니다. Ax2=0임을 확인합니다.

x2 = null(A,'r')
x2 = 4×1

    -1
    -3
     3
     1

norm(A*x2)
ans = 0

x1x2는 유사하지만 서로 다르게 정규화되었습니다.

부족 결정 시스템의 특수해 하나를 구한 다음 모든 해의 일반 형태를 구합니다.

부족 결정 선형 시스템 Ax=b에는 방정식보다 미지수가 더 많습니다. 부족 결정 시스템은 해가 무수히 많을 수도 있고 없을 수도 있습니다. 해가 무수히 많을 경우, 모든 해가 하나의 직선 위에 존재합니다. 이 직선 위의 점은 영공간 벡터의 일차 결합으로 구할 수 있습니다.

2x4 계수 행렬을 만들고 백슬래시를 사용하여 b가 1로 구성된 벡터인 방정식 Ax0=b를 풉니다. 백슬래시는 문제의 최소제곱해를 계산합니다.

A = [1 8 15 67; 7 14 16 3]
A = 2×4

     1     8    15    67
     7    14    16     3

b = ones(2,1);
x0 = A\b
x0 = 4×1

         0
         0
    0.0623
    0.0010

부족 결정 시스템에 대한 완전한 일반해는 x=x0+Ny와 같은 형태를 같습니다. 여기서

  • NA의 영공간입니다.

  • y는 적절한 길이를 갖는 임의의 벡터입니다.

  • x0은 백슬래시로 계산한 해입니다.

A의 영공간을 계산하고 그 결과를 사용하여 연립방정식의 다른 해를 생성합니다. 새 해가 반올림 오차 내에서 Ax=b를 충족하는지 확인합니다.

N = null(A)
N = 4×2

   -0.2977   -0.8970
   -0.6397    0.4397
    0.7044    0.0157
   -0.0769   -0.0426

x = x0 + N*[1; -2]
x = 4×1

    1.4963
   -1.5192
    0.7354
    0.0093

norm(A*x-b)
ans = 1.8291e-14

입력 인수

모두 축소

입력 행렬입니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부:

출력 인수

모두 축소

영공간 기저 벡터로, 행렬의 열로 반환됩니다. Z는 다음 속성을 충족합니다.

  • A*Z는 무시할 수 있는 요소를 갖습니다.

  • size(Z,2)A의 영공간의 차원에 대한 추정값입니다.

알고리즘

null(A)는 행렬의 특이값 분해 [U,S,V] = svd(A,0)을 계산합니다. 0이 아닌 특이값에 대응하지 않는 V의 열들이 영공간에 대한 정규 직교 기저 벡터 집합을 구성합니다.

영공간 null(A,'r')의 '유리' 기저는 A의 기약행 사다리꼴에서 얻습니다. 기약행 사다리꼴은 rref로 계산합니다.

확장 기능

참고 항목

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