deconv

최소제곱 디컨벌루션(Deconvolution)과 다항식(Polynomial) 나눗셈

구문

[x,r] = deconv(y,h)

[x,r] = deconv(y,h,shape)

[x,r] = deconv(___,Name=Value)

설명

다항식의 장제법

[x,r] = deconv(y,h)는 다항식의 장제법(Long Division)을 사용하여 벡터 y에서 벡터 h를 디컨벌루션하고, 몫 x와 나머지 r을 반환합니다. 따라서 y = conv(x,h) + r이 됩니다. y와 h가 다항식 계수의 벡터인 경우 디컨벌루션하는 것은 y로 표현된 다항식을 h로 표현된 다항식으로 나누는 것과 같습니다.

최소제곱 디컨벌루션

R2023b 이후

[x,r] = deconv(y,h,shape)는 컨벌루션된 신호 y의 하위 섹션을 지정합니다. 여기서 y = conv(x,h,shape) + r입니다.

최소제곱 디컨벌루션 방법(Method="least-squares")을 사용하는 경우 shape를 "full", "same" 또는 "valid"로 지정할 수 있습니다. 그렇지 않고 디폴트 장제법 디컨벌루션 방법(Method="long-division")을 사용하는 경우 shape는 "full"이어야 합니다.

[x,r] = deconv(___,Name=Value)는 위에 열거된 구문에 나와 있는 입력 인수 조합 외에, 이름-값 인수를 하나 이상 사용하여 옵션을 지정합니다.

• deconv(__,Method=algorithm)을 사용하여 디컨벌루션 방법을 지정할 수 있습니다. 여기서 algorithm은 "long-division" 또는 "least-squares"일 수 있습니다.

• deconv(__,RegularizationFactor=alpha)를 사용하여 디컨벌루션 방법의 최소제곱해에 대한 Tikhonov 정규화 인자를 지정할 수도 있습니다.

예제

다항식 나눗셈

각각 다항식 $2{\mathit{x}}^3+7{\mathit{x}}^2+4\mathit{x}+9$와 ${\mathit{x}}^2+1$의 계수를 포함하는 벡터 y와 h를 만듭니다. y에서 h를 디컨벌루션하여 첫 번째 다항식을 두 번째 다항식으로 나눕니다. 디컨벌루션 결과는 몫 계수 다항식 $$2x+7$$과 나머지 계수 다항식 $$2x+2$$입니다.

y = [2 7 4 9];
h = [1 0 1];
[x,r] = deconv(y,h)

x = 1×2

     2     7

r = 1×4

     0     0     2     2

완전히 컨벌루션된 신호에 대한 최소제곱 디컨벌루션

R2023b 이후

가우스 형태를 가진 신호 x를 만듭니다. 이 신호를 랜덤 잡음으로 구성된 임펄스 응답 h와 컨벌루션합니다.

N = 200;
n = 0.1*(1:N);

rng("default")
x = 2*exp(-0.5*((n-10)).^2);
h = 0.1*randn(1,length(x));
y = conv(x,h);

원래 신호, 임펄스 응답, 컨벌루션된 신호를 플로팅합니다.

figure
tiledlayout(3,1)
nexttile
plot(n,x)
title("Original Signal")
nexttile
plot(n,h)
title("Impulse Response")
nexttile
plot(0.1*(1:length(y)),y)
title("Convolved Signal")

다음으로, 디폴트 다항식의 장제법을 사용하여 임펄스 응답 h에 대해 신호 y의 디컨벌루션을 구합니다. 이 방법을 사용할 경우 디컨벌루션 계산이 불안정하므로, 결과가 빠르게 증가할 수 있습니다.

[x1,r1] = deconv(y,h);
x1(end)

ans = 7.5992e+90

수치적으로 안정된 계산을 위해 대신 최소제곱 방법을 사용하여 디컨벌루션을 구합니다.

[x2,r2] = deconv(y,h,Method="least-squares");

두 개의 디컨벌루션 결과를 플로팅합니다. 여기에서는 최소제곱 방법이 가우스 형태를 갖는 원래 신호를 정확하게 반환합니다.

figure
tiledlayout(2,1)
nexttile
plot(n,x1)
title("Deconvolved Signal Using ""long-division"" Method")
nexttile
plot(n,x2)
title("Deconvolved Signal Using ""least-squares"" Method")

컨벌루션된 신호의 중앙부에 대한 최소제곱 디컨벌루션

R2023b 이후

두 개의 벡터를 만듭니다. xin과 h와의 컨벌루션에서 크기가 xin과 같은 중앙부를 구합니다. 컨벌루션된 신호 y의 중앙부는 전체 길이(length(xin)+length(h)-1 또는 10) 대신 길이 7을 가집니다.

xin = [-1 2 3 -2 0 1 2];
h = [2 4 -1 1];
y = conv(xin,h,"same")

y = 1×7

    15     5    -9     7     6     7    -1

임펄스 응답 h에 대해 신호 y의 최소제곱 디컨벌루션을 구합니다. 컨벌루션된 신호 y가 중앙부에 한정됨을 지정하려면 "same" 옵션을 사용하십시오. 여기서 y = conv(x,h,"same") + r입니다. deconv가 반올림 오차 범위 내에서 원래 신호를 x로 복구하는지 확인합니다.

[x,r] = deconv(y,h,"same",Method="least-squares")

x = 1×7

   -1.0000    2.0000    3.0000   -2.0000    0.0000    1.0000    2.0000

r = 1×7
10-15 ×

         0    0.8882         0         0         0         0         0

무한한 해를 갖는 최소제곱 디컨벌루션 문제

R2023b 이후

두 개의 요소를 갖는 벡터 두 개를 만들고 "valid" 옵션을 사용하여 이들 벡터를 컨벌루션합니다. 이 옵션은 모서리를 0으로 채우지 않고, 계산한 컨벌루션의 일부만 반환합니다. 이 경우 컨벌루션된 신호 y는 요소를 하나만 갖습니다.

xin = [-1 2];
h = [2 5];
y = conv(xin,h,"valid")

y = -1

임펄스 응답 h에 대해 컨벌루션된 신호 y의 최소제곱 디컨벌루션을 구합니다. "valid" 옵션을 사용하는 경우 deconv가 항상 원래 신호를 x에 반환하지는 않습니다. 하지만 대신에 norm(x)를 최소화하는 디컨벌루션 문제의 해를 반환합니다.

[x,r] = deconv(y,h,"valid",Method="least-squares")

x = 1×2

   -0.1724   -0.0690

r = 0

해를 검사하려면 h를 사용하여 계산된 신호 x의 전체 컨벌루션을 구할 수 있습니다. 이 컨벌루션된 신호의 중앙부는 디컨벌루션 문제를 정의한 원래 y와 동일합니다.

yfull = conv(x,h,"full")

yfull = 1×3

   -0.3448   -1.0000   -0.3448

이 문제에서 deconv는 두 개의 변수를 갖는 하나의 방정식($$-1=5\cdot x(1)+2\cdot x(2)$$)을 풀기 때문에 원래 신호와 다른 신호를 반환합니다. 이는 부족 결정 시스템으로, 방정식보다 더 많은 변수를 가짐을 의미합니다. 이 시스템은 최소제곱 방법을 사용하여 잔차 노름 즉, norm(y - conv(x,h,"valid"))를 0으로 최소화할 경우 무한한 해를 갖습니다. 이러한 이유로 인해 deconv는 norm(x)를 최소화하는 해도 구합니다.

다음 그림에서는 이 부족 결정 문제에 대한 상황을 보여줍니다. 파란색 선은 방정식 $$x(2)=-1/2-5/2\cdot x(1)$$에 대한 무한한 개수의 해를 나타냅니다. 주황색 원은 원점에서 해의 선까지의 최소 거리를 나타냅니다. deconv에서 반환된 해는 선과 원 사이의 접점에 놓여, 이것이 원점과 가장 가까운 해임을 나타냅니다.

잡음이 있는 신호에 대한 정규화 인자 지정하기

R2023b 이후

두 개의 신호 x와 h를 만들고 이들 신호를 컨벌루션합니다. y에 컨벌루션된 신호에 일부 랜덤 잡음을 추가합니다.

N = 200;
n = 0.1*(1:N);

rng("default")
x = 2*exp(-0.8*(n - 8).^2) - 4*exp(-2*(n - 10).^2);
h = 2.*exp(-1*(n - 5).^2).*cos(4*n);
y = conv(x,h);
y = y + max(y)*0.05*randn(1,length(y));

원래 신호, 임펄스 응답, 컨벌루션된 신호를 플로팅합니다.

figure
tiledlayout(3,1)
nexttile
plot(n,x)
title("Original Signal")
nexttile
plot(n,h)
title("Impulse Response")
nexttile
plot(0.1*(1:length(y)),y)
title("Convolved Signal with Added Noise")

다음으로, 정규화 인자 없이 최소제곱 방법을 사용하여 임펄스 응답 h에 대해, 잡음 있는 신호 y의 디컨벌루션을 구합니다. 기본적으로 정규화 인자는 0입니다.

[x1,r1] = deconv(y,h,Method="least-squares");

원래 신호와 디컨벌루션된 신호를 플로팅합니다. 여기에서의 정규화 인자가 없는 deconv 함수는 잡음 있는 신호에서 원래 신호를 복구할 수 없습니다.

figure;
tiledlayout(3,1);
nexttile
plot(n,x)
title("Original Signal")
nexttile
plot(n,x1)
title("Deconvolved Signal Without Regularization");

대신 최소제곱 방법에 정규화 인자 1을 사용하여 h에 대한 y의 디컨벌루션을 구합니다. 조건이 나쁜 디컨벌루션 문제(예: 잡음 있는 신호가 포함된 문제)의 경우 정규화 인자를 지정하여 최소제곱해에 과적합이 발생하지 않도록 할 수 있습니다.

[x2,r2] = deconv(y,h,Method="least-squares",RegularizationFactor=1);

이 디컨벌루션된 신호를 플로팅합니다. 여기에서의 정규화 인자가 지정된 deconv 함수는 원래 신호를 복원합니다.

nexttile
plot(n,x2)
title("Deconvolved Signal Using Regularization")

입력 인수

y — 디컨벌루션할 입력 신호

행 벡터 또는 열 벡터

디컨벌루션할 입력 신호로, 행 벡터 또는 열 벡터로 지정됩니다.

데이터형: double | single
복소수 지원 여부: 예

h — 디컨벌루션에 사용되는 임펄스 응답 또는 필터

행 벡터 또는 열 벡터

디컨벌루션에 사용되는 임펄스 응답 또는 필터로, 행 벡터 또는 열 벡터로 지정됩니다. y와 h는 길이와 데이터형이 서로 다를 수 있습니다.

• y와 h 중 하나 또는 둘 모두 single형이면 출력값도 single형입니다. 그렇지 않은 경우 출력값은 double형입니다.

• 입력값의 길이는 length(h) <= length(y)를 충족해야 합니다. 그러나 length(h) > length(y)이면 deconv는 출력값을 x = 0과 r = y로 반환합니다.

데이터형: double | single
복소수 지원 여부: 예

shape — 컨벌루션된 신호의 하위 섹션

"full" (디폴트 값) | "same" | "valid"

R2023b 이후

컨벌루션된 신호의 하위 섹션으로, 다음 값 중 하나로 지정됩니다.

• "full"(디폴트 값) — y는 h와 함께 x의 전체 컨벌루션을 포함합니다.

• "same" — y는 컨벌루션에서 크기가 x와 같은 중앙부를 포함합니다.

• "valid" — y는 모서리를 0으로 채우지 않고 계산한 컨벌루션의 부분만 포함합니다. 이 옵션을 사용하면 length(h)가 0일 때를 제외하고 length(y)는 max(length(x)-length(h)+1,0)입니다. length(h) = 0이면 length(y) = length(x)입니다.

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

예: [x,r] = deconv(y,h,Method="least-squares",RegularizationFactor=1e-3)

Method — 디컨벌루션 방법

"long-division" (디폴트 값) | "least-squares"

R2023b 이후

디컨벌루션 방법으로, 다음 값 중 하나로 지정됩니다.

• "long-division" — 다항식의 장제법을 사용한 디컨벌루션(디폴트 값).

• "least-squares" — 최소제곱을 사용한 디컨벌루션. 여기에서 잔차 신호(또는 나머지) r의 노름을 최소화하기 위해 디컨벌루션된 신호 x가 계산됩니다. 즉, x는 norm(y - conv(x,h))를 최소화하는 해입니다.

RegularizationFactor — Tikhonov 정규화 인자

0 (디폴트 값) | 실수

R2023b 이후

최소제곱 디컨벌루션을 위한 Tikhonov 정규화 인자로, 실수로 지정됩니다. 최소제곱 디컨벌루션 방법을 사용할 때 정규화 인자를 alpha로 지정하면 norm(r)^2 + norm(alpha*x)^2을 최소화하는 벡터 x가 반환됩니다. 조건이 나쁜 문제에 정규화 인자를 지정하면 노름이 더 작은 해 x가 더 우선시됩니다.

디폴트 장제법 디컨벌루션 방법을 사용하는 경우 RegularizationFactor는 0이어야 합니다.

데이터형: double | single

출력 인수

x — 디컨벌루션된 신호 또는 나눗셈의 몫

행 벡터 또는 열 벡터

디컨벌루션된 신호 또는 나눗셈의 몫으로, y = conv(x,h) + r이 되는 행 벡터나 열 벡터로 반환됩니다.

데이터형: double | single

r — 잔차 신호 또는 나눗셈의 나머지

행 벡터 또는 열 벡터

잔차 신호 또는 나눗셈의 나머지로, y = conv(x,h) + r이 되는 행 벡터나 열 벡터로 반환됩니다.

데이터형: double | single

참고 문헌

[1] Nagy, James G. “Fast Inverse QR Factorization for Toeplitz Matrices.” SIAM Journal on Scientific Computing 14, no. 5 (September 1993): 1174–93. https://doi.org/10.1137/0914070.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• Variable-Sizing Restrictions for Code Generation of Toolbox Functions (MATLAB Coder) 항목을 참조하십시오.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 최소제곱("least-squares") 디컨벌루션 방법은 지원되지 않습니다.

자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 최소제곱("least-squares") 디컨벌루션 방법은 지원되지 않습니다.

자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2023b: 컨벌루션된 하위 섹션을 다르게 지정하며 최소제곱 디컨벌루션 수행

이제 Method 이름-값 인수를 "least-squares"로 지정하여 최소제곱 디컨벌루션을 수행할 수 있습니다. 또한 최소제곱 디컨벌루션을 사용할 때 컨벌루션된 하위 섹션을 다르게 지정할 수 있으며 Tikhonov 정규화 인자를 지정할 수도 있습니다.

이전 릴리스에서 deconv는 다항식의 장제법만 사용하여 디컨벌루션을 수행할 수 있습니다. 새 인수를 사용하면 최소제곱 디컨벌루션(Method="least-squares")을 수행할 수 있으며, 그러면 디폴트 장제법 디컨벌루션(Method="long-division")보다 더 안정된 해가 반환됩니다.

최소제곱 방법을 사용하여 임펄스 응답 h에 대해 신호 y를 디컨벌루션하면, deconv는 잔차 신호(또는 나머지) r = y - conv(x,h)의 노름을 최소화하는 신호 x를 반환합니다. 즉, x는 norm(r)을 최소화하는 해입니다. 또는, 조건이 나쁜 문제에 대해 Tikhonov 정규화 인자 alpha를 지정하여 norm(r)^2 + norm(alpha*x)^2을 최소화하는 해 x를 반환할 수도 있습니다.

참고 항목

conv | residue

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