deconv
최소제곱 디컨벌루션(Deconvolution)과 다항식(Polynomial) 나눗셈
설명
다항식의 장제법
최소제곱 디컨벌루션
R2023b 이후
[는 위에 열거된 구문에 나와 있는 입력 인수 조합 외에, 이름-값 인수를 하나 이상 사용하여 옵션을 지정합니다.x,r] = deconv(___,Name=Value)
deconv(__,Method=algorithm)을 사용하여 디컨벌루션 방법을 지정할 수 있습니다. 여기서algorithm은"long-division"또는"least-squares"일 수 있습니다.deconv(__,RegularizationFactor=alpha)를 사용하여 디컨벌루션 방법의 최소제곱해에 대한 Tikhonov 정규화 인자를 지정할 수도 있습니다.
예제
각각 다항식 와 의 계수를 포함하는 벡터 y와 h를 만듭니다. y에서 h를 디컨벌루션하여 첫 번째 다항식을 두 번째 다항식으로 나눕니다. 디컨벌루션 결과는 몫 계수 다항식 과 나머지 계수 다항식 입니다.
y = [2 7 4 9]; h = [1 0 1]; [x,r] = deconv(y,h)
x = 1×2
2 7
r = 1×4
0 0 2 2
R2023b 이후
가우스 형태를 가진 신호 x를 만듭니다. 이 신호를 랜덤 잡음으로 구성된 임펄스 응답 h와 컨벌루션합니다.
N = 200;
n = 0.1*(1:N);
rng("default")
x = 2*exp(-0.5*((n-10)).^2);
h = 0.1*randn(1,length(x));
y = conv(x,h);원래 신호, 임펄스 응답, 컨벌루션된 신호를 플로팅합니다.
figure tiledlayout(3,1) nexttile plot(n,x) title("Original Signal") nexttile plot(n,h) title("Impulse Response") nexttile plot(0.1*(1:length(y)),y) title("Convolved Signal")
다음으로, 디폴트 다항식의 장제법을 사용하여 임펄스 응답 h에 대해 신호 y의 디컨벌루션을 구합니다. 이 방법을 사용할 경우 디컨벌루션 계산이 불안정하므로, 결과가 빠르게 증가할 수 있습니다.
[x1,r1] = deconv(y,h); x1(end)
ans = 7.5992e+90
수치적으로 안정된 계산을 위해 대신 최소제곱 방법을 사용하여 디컨벌루션을 구합니다.
[x2,r2] = deconv(y,h,Method="least-squares");두 개의 디컨벌루션 결과를 플로팅합니다. 여기에서는 최소제곱 방법이 가우스 형태를 갖는 원래 신호를 정확하게 반환합니다.
figure tiledlayout(2,1) nexttile plot(n,x1) title("Deconvolved Signal Using ""long-division"" Method") nexttile plot(n,x2) title("Deconvolved Signal Using ""least-squares"" Method")
R2023b 이후
두 개의 벡터를 만듭니다. xin과 h와의 컨벌루션에서 크기가 xin과 같은 중앙부를 구합니다. 컨벌루션된 신호 y의 중앙부는 전체 길이(length(xin)+length(h)-1 또는 10) 대신 길이 7을 가집니다.
xin = [-1 2 3 -2 0 1 2];
h = [2 4 -1 1];
y = conv(xin,h,"same")y = 1×7
15 5 -9 7 6 7 -1
임펄스 응답 h에 대해 신호 y의 최소제곱 디컨벌루션을 구합니다. 컨벌루션된 신호 y가 중앙부에 한정됨을 지정하려면 "same" 옵션을 사용하십시오. 여기서 y = conv(x,h,"same") + r입니다. deconv가 반올림 오차 범위 내에서 원래 신호를 x로 복구하는지 확인합니다.
[x,r] = deconv(y,h,"same",Method="least-squares")
x = 1×7
-1.0000 2.0000 3.0000 -2.0000 0.0000 1.0000 2.0000
r = 1×7
10-14 ×
0 0.0888 0.1776 0 0 0 0
R2023b 이후
두 개의 요소를 갖는 벡터 두 개를 만들고 "valid" 옵션을 사용하여 이들 벡터를 컨벌루션합니다. 이 옵션은 모서리를 0으로 채우지 않고, 계산한 컨벌루션의 일부만 반환합니다. 이 경우 컨벌루션된 신호 y는 요소를 하나만 갖습니다.
xin = [-1 2];
h = [2 5];
y = conv(xin,h,"valid")y = -1
임펄스 응답 h에 대해 컨벌루션된 신호 y의 최소제곱 디컨벌루션을 구합니다. "valid" 옵션을 사용하는 경우 deconv가 항상 원래 신호를 x에 반환하지는 않습니다. 하지만 대신에 norm(x)를 최소화하는 디컨벌루션 문제의 해를 반환합니다.
[x,r] = deconv(y,h,"valid",Method="least-squares")
x = 1×2
-0.1724 -0.0690
r = -3.3307e-16
해를 검사하려면 h를 사용하여 계산된 신호 x의 전체 컨벌루션을 구할 수 있습니다. 이 컨벌루션된 신호의 중앙부는 디컨벌루션 문제를 정의한 원래 y와 동일합니다.
yfull = conv(x,h,"full")yfull = 1×3
-0.3448 -1.0000 -0.3448
이 문제에서 deconv는 두 개의 변수를 갖는 하나의 방정식()을 풀기 때문에 원래 신호와 다른 신호를 반환합니다. 이는 부족 결정 시스템으로, 방정식보다 더 많은 변수를 가짐을 의미합니다. 이 시스템은 최소제곱 방법을 사용하여 잔차 노름 즉, norm(y - conv(x,h,"valid"))를 0으로 최소화할 경우 무한한 해를 갖습니다. 이러한 이유로 인해 deconv는 norm(x)를 최소화하는 해도 구합니다.
다음 그림에서는 이 부족 결정 문제에 대한 상황을 보여줍니다. 파란색 선은 방정식 에 대한 무한한 개수의 해를 나타냅니다. 주황색 원은 원점에서 해의 선까지의 최소 거리를 나타냅니다. deconv에서 반환된 해는 선과 원 사이의 접점에 놓여, 이것이 원점과 가장 가까운 해임을 나타냅니다.
R2023b 이후
두 개의 신호 x와 h를 만들고 이들 신호를 컨벌루션합니다. y에 컨벌루션된 신호에 일부 랜덤 잡음을 추가합니다.
N = 200;
n = 0.1*(1:N);
rng("default")
x = 2*exp(-0.8*(n - 8).^2) - 4*exp(-2*(n - 10).^2);
h = 2.*exp(-1*(n - 5).^2).*cos(4*n);
y = conv(x,h);
y = y + max(y)*0.05*randn(1,length(y));원래 신호, 임펄스 응답, 컨벌루션된 신호를 플로팅합니다.
figure tiledlayout(3,1) nexttile plot(n,x) title("Original Signal") nexttile plot(n,h) title("Impulse Response") nexttile plot(0.1*(1:length(y)),y) title("Convolved Signal with Added Noise")
다음으로, 정규화 인자 없이 최소제곱 방법을 사용하여 임펄스 응답 h에 대해, 잡음 있는 신호 y의 디컨벌루션을 구합니다. 기본적으로 정규화 인자는 0입니다.
[x1,r1] = deconv(y,h,Method="least-squares");원래 신호와 디컨벌루션된 신호를 플로팅합니다. 여기에서의 정규화 인자가 없는 deconv 함수는 잡음 있는 신호에서 원래 신호를 복구할 수 없습니다.
figure; tiledlayout(3,1); nexttile plot(n,x) title("Original Signal") nexttile plot(n,x1) title("Deconvolved Signal Without Regularization");
대신 최소제곱 방법에 정규화 인자 1을 사용하여 h에 대한 y의 디컨벌루션을 구합니다. 조건이 나쁜 디컨벌루션 문제(예: 잡음 있는 신호가 포함된 문제)의 경우 정규화 인자를 지정하여 최소제곱해에 과적합이 발생하지 않도록 할 수 있습니다.
[x2,r2] = deconv(y,h,Method="least-squares",RegularizationFactor=1);이 디컨벌루션된 신호를 플로팅합니다. 여기에서의 정규화 인자가 지정된 deconv 함수는 원래 신호를 복원합니다.
nexttile
plot(n,x2)
title("Deconvolved Signal Using Regularization")
입력 인수
이름-값 인수
출력 인수
참고 문헌
[1] Nagy, James G. “Fast Inverse QR Factorization for Toeplitz Matrices.” SIAM Journal on Scientific Computing 14, no. 5 (September 1993): 1174–93. https://doi.org/10.1137/0914070.
