근궤적 설계
근궤적 설계는 근궤적 다이어그램에서 보상기 이득, 극점 및 영점을 편집하는 일반적인 제어 시스템 설계 기법입니다.
제어 시스템의 개루프 이득 k가 연속적인 값 범위에서 달라지므로 근궤적 다이어그램에 피드백 시스템의 폐루프 극점 궤적이 표시됩니다. 예를 들어 다음 추종 시스템에서
P(s)는 플랜트이고, H(s)는 센서 동특성이며, k는 조정 가능한 스칼라 이득입니다. 폐루프 극점은 다음의 근입니다.
k가 달라지므로, 근궤적 기법은 복소 평면에 폐루프 극점 궤점을 플로팅하는 것으로 이루어집니다. 이 플롯을 사용하여 원하는 폐루프 극점 세트와 연결된 이득 값을 찾아낼 수 있습니다.
그래프로 근궤적을 조정하여 전기 유압 서보메커니즘 조정하기
이 예제에서는 그래프로 근궤적을 조정하여 전기 유압 서보메커니즘을 위한 보상기를 설계하는 방법을 보여줍니다.
플랜트 모델
단순한 전기 유압 서보메커니즘 모델은 다음과 같이 구성됩니다.
푸시-풀 증폭기(전자석 쌍)
고압 유압 유체 용기의 슬라이딩 스풀
유체가 흐르도록 하는 용기의 밸브 개방부
힘을 하중으로 전달하는 피스톤 구동 램(piston-driven ram)이 있는 중앙 챔버
대칭적인 유체 반환 용기
스풀에 가해지는 힘은 전자석 코일의 전류에 비례합니다. 스풀이 움직이면 밸브가 열려 고압 유압 유체가 챔버를 통해 흐릅니다. 유체 이동으로 인해 피스톤이 스풀의 반대 방향으로 강제로 움직입니다. 선형화된 모델의 도출을 포함하여 이 모델에 대한 자세한 내용은 [1] 항목을 참조하십시오.
전자석에 대한 입력 전압을 사용하여 램(ram) 위치를 제어할 수 있습니다. 램 위치 측정값이 있으면, 다음에 표시된 것처럼 램 위치 제어를 위한 피드백을 사용할 수 있습니다. 여기서 Gservo는 서보메커니즘을 나타냅니다.
설계 요구 사항
이 예제에서는 다음 폐루프 계단 응답 요구 사항을 충족하도록 보상기 C(s)를 조정합니다.
2% 정착 시간이 0.05초 미만임.
최대 오버슈트가 5% 미만임.
제어 시스템 디자이너 열기
MATLAB® 명령줄에서 선형화된 서보메커니즘 모델을 불러오고, 근궤적 편집기 구성에서 제어 시스템 디자이너를 엽니다.
load ltiexamples Gservo controlSystemDesigner('rlocus',Gservo);
앱이 열리고, Gservo를 디폴트 제어 아키텍처 Configuration 1에 대한 플랜트 모델로 가져옵니다.
제어 시스템 디자이너에서 근궤적 편집기 플롯과 입력-출력 계단 응답이 열립니다.
개루프 주파수 응답과 폐루프 계단 응답을 동시에 보려면 플롯을 클릭하고 원하는 위치로 끌어서 놓습니다.
보드 편집기와 계단 응답 플롯이 나란히 표시됩니다.
폐루프 계단 응답 플롯에서 상승 시간이 약 2초로, 설계 요구 사항을 충족하지 않습니다.
근궤적 다이어그램을 더 쉽게 읽을 수 있도록 확대합니다. 근궤적 편집기에서 플롯 영역을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 속성을 선택합니다.
속성 편집기 대화 상자의 제한 탭에서 실수축 및 허수축 제한을 -500에서 500 사이로 지정합니다.
닫기를 클릭합니다.
보상기 이득 높이기
응답 속도를 더 빠르게 하려면 보상기 이득을 높이십시오. 근궤적 편집기에서 플롯 영역을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 보상기 편집을 선택합니다.
보상기 편집기 대화 상자에서 이득을 20으로 지정합니다.
근궤적 편집기 플롯에서 새 이득 값을 반영하도록 폐루프 극점 위치가 이동합니다. 계단 응답 플롯도 업데이트됩니다.
폐루프 응답은 정착 시간 요구 사항을 충족하지 않으며 원치 않은 링잉 현상을 보입니다.
이득을 높이면 시스템이 부족감쇠되며 불안정성이 더 높아집니다. 따라서 설계 요구 사항을 충족하려면 추가 보상기 동특성을 지정해야 합니다. 보상기 동특성 추가 및 편집에 대한 자세한 내용은 Edit Compensator Dynamics in Control System Designer 항목을 참조하십시오.
보상기에 극점 추가하기
보상기에 복소수 극점 쌍을 추가하려면 근궤적 편집기에서 플롯 영역을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 극점 또는 영점 추가 > 복소수 극점을 선택하십시오. 복소수 극점 중 하나를 추가할 플롯 영역을 클릭합니다.
복소수 극점 쌍이 근궤적 플롯에 빨간색 X로 추가되고 계단 응답 플롯이 업데이트됩니다.
근궤적 편집기에서 이 새로운 극점을 –140 ± 260i 근처의 위치로 끌어서 놓습니다. 한 극점을 끌어서 놓으면 다른 극점이 자동으로 업데이트됩니다.
팁
극점 또는 영점을 끌어서 놓으면 상태 표시줄의 오른쪽에 새 값이 표시됩니다.
보상기에 영점 추가하기
보상기에 복소수 영점 쌍을 추가하려면 보상기 편집기 대화 상자에서 동특성 테이블을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 극점 또는 영점 추가 > 복소수 영점을 선택하십시오.
–1 ± i에 있는 복소수 영점 쌍이 보상기에 추가됩니다.
동특성 테이블에서 복소수 영점 행을 클릭합니다. 그런 다음 선택한 동특성 편집 섹션에서 실수부에 -170을, 허수부에 430을 지정합니다.
새 영점 위치를 반영하도록 보상기 및 응답 플롯이 자동으로 업데이트됩니다.
계단 응답 플롯에서 정착 시간이 약 0.1초로, 설계 요구 사항을 충족하지 않습니다.
극점 및 영점 위치 조정하기
보상기 설계 과정에서 여러 번의 시행착오가 발생할 수 있습니다. 설계 기준을 충족할 때까지 보상기 이득, 극점 위치 및 영점 위치를 조정하십시오.
설계 요구 사항을 충족할 수 있는 보상기 설계 중 하나는 다음과 같습니다.
보상기 이득
10–110 ± 140i에 있는 복소수 극점
–70 ± 270i에 있는 복소수 영점
보상기 편집기 대화 상자에서 다음 값을 사용하여 보상기를 구성하십시오. 계단 응답 플롯에서 정착 시간은 약 0.05초입니다.
정확한 정착 시간을 확인하려면 계단 응답 플롯 영역을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭하고 특성 > 정착 시간을 선택하십시오. 응답 플롯에 정착 시간 표시기가 나타납니다.
정착 시간을 보려면 정착 시간 표시기 위로 커서를 이동하십시오.
정착 시간이 약 0.043초로, 설계 요구 사항을 충족합니다.
참고 문헌
[1] Clark, R. N. Control System Dynamics, Cambridge University Press, 1996.
