gram

가제어성 및 가관측성 그람 행렬

구문

Wc = gram(sys,'c')

Wo = gram(sys,'o')

Rc = gram(sys,'cf')

Ro = gram(sys,'of')

W = gram(___,opt)

설명

gram을 사용하여 가제어성 및 가관측성 그람 행렬을 생성합니다. 그람 행렬을 사용하여, 상태공간 모델 및 모델 축소에 대한 가제어성과 가관측성 속성을 파악할 수 있습니다 [1]. 그람 행렬은 ctrb와 obsv에 의해 형성된 가제어성 및 가관측성 행렬보다 더 나은 수치적 속성을 갖습니다.

Wc = gram(sys,'c')는 상태공간 모델 sys의 가제어성 그람 행렬을 계산합니다.

Wo = gram(sys,'o')는 상태공간 모델 sys의 가관측성 그람 행렬을 계산합니다.

Rc = gram(sys,'cf')는 가제어성 그람 행렬의 촐레스키 인수를 반환합니다.

Ro = gram(sys,'of')는 가관측성 그람 행렬의 촐레스키 인수를 반환합니다.

W = gram(___,opt)는 시간 제한 또는 주파수 제한의 그람 행렬을 계산합니다. opt는 계산에 사용할 시간 또는 주파수 구간을 지정하는 옵션 세트입니다. gramOptions 명령을 사용하여 opt를 생성하십시오.

예제

주파수 제한 그람 행렬 계산하기

다음 상태공간 모델의 가제어성 그람 행렬을 계산합니다. 가장 많은 에너지를 가진 주파수 구간을 중점적으로 계산합니다.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

모델은 1rad/s에서의 피크를 포함합니다. gramOptions를 사용하여 이 주파수 주변의 구간을 지정합니다.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

입력 인수

sys — 상태공간 모델

상태공간 모델 | 상태공간 모델의 배열

입력 모델로, 상태공간 모델 또는 상태공간 모델로 구성된 배열로 지정됩니다.

입력 모델은 안정적이고 어떠한 내부 지연도 없어야 합니다. 설명자 상태공간 모델의 경우 행렬 E는 정칙이어야 합니다.

opt — 옵션 세트

gramOptions 객체

시간 제한 또는 주파수 제한의 그람 행렬을 계산하기 위한 옵션 세트로, gramOptions 객체로 지정됩니다.

출력 인수

Wc, Wo — 가제어성 또는 가관측성 그람 행렬

행렬

가제어성 또는 가관측성 그람 행렬로, 행렬로 반환됩니다.

Rc, Ro — 가제어성 또는 가관측성 그람 행렬의 촐레스키 인수

행렬

가제어성 또는 가관측성 그람 행렬의 촐레스키 인수로, 행렬로 반환됩니다.

그람 행렬의 촐레스키 인수는 다음과 같이 정의됩니다.

• 가제어성 그람 행렬 — $$W_c=R_c^T{R}_c$$

• 가관측성 그람 행렬 — $$W_o=R_o^T{R}_o$$

제한 사항

A 행렬은 안정적이어야 합니다(모든 고유값은 연속시간에서는 음의 실수부를 가져야 하고, 이산시간에서는 크기가 항상 1보다 작아야 함).

세부 정보

가제어성 및 가관측성 그람 행렬

다음과 같은 연속시간 상태공간 모델이 있다고 가정하겠습니다.

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

가제어성 그람 행렬은 다음에 의해 정의됩니다.

$$W_c={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{A\tau }}B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau$$

(A, B)가 제어 가능한 경우에만 가제어성 그람 행렬이 양의 정부호입니다.

가관측성 그람 행렬은 다음에 의해 정의됩니다.

$$W_o={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{A^T\tau }{C}^{T}C{e}^{A\tau }d\tau }$$

(A, C)가 관측 가능한 경우에만 가관측성 그람 행렬이 양의 정부호입니다.

그에 대응하는 가제어성 및 가관측성 그람 행렬의 이산시간 방정식은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{cc}{W}_c={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{A}^{k}B{B}^T{(A^T)}^k,}& W_o=\end{array}{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{(A^T)}^k{C}^{T}C{A}^k}$$

특정 시간 또는 주파수 구간 내에서 상태의 가제어성 또는 가관측성을 살펴보려면 시간 제한 또는 주파수 제한 그람 행렬을 사용하십시오. 이러한 그람 행렬의 정의는 [2]에 설명되어 있습니다.

알고리즘

가제어성 그람 행렬 W_c는 다음과 같은 연속시간 랴푸노프 방정식

$$A{W}_c+W_c{A}^T+B{B}^T=0$$

또는 그에 대응하는 다음과 같은 이산시간 랴푸노프 방정식을 풀어 얻어집니다.

$$A{W}_c{A}^T-W_c+B{B}^T=0$$

이와 유사하게 가관측성 그람 행렬 W_o는 연속시간에서는 다음 랴푸노프 방정식을 풀고

$$A^T{W}_o+W_{o}A+C^{T}C=0$$

이산시간에서는 다음 랴푸노프 방정식을

$$A^T{W}_{o}A-W_o+C^{T}C=0$$

풉니다.

시간 제한 및 주파수 제한 그람 행렬의 계산은 [2]에 설명되어 있는 것과 같습니다.

참고 문헌

[1] Kailath, Thomas. Linear Systems. Prentice-Hall Information and System Science Series. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall, 1980.

[2] Gawronski, Wodek, and Jer-Nan Juang. “Model Reduction in Limited Time and Frequency Intervals.” International Journal of Systems Science 21, no. 2 (February 1990): 349–76. https://doi.org/10.1080/00207729008910366.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

gramOptions | hsvd | balreal | lyap | dlyap