damp

고유 주파수와 감쇠비

구문

damp(sys)

[wn,zeta] = damp(sys)

[wn,zeta,p] = damp(sys)

___ = damp(___,Name=Value)

설명

damp(sys)는 선형 모델 sys의 극점의 감쇠비, 고유 주파수 및 시정수를 표시합니다. 이산시간 모델의 경우, 테이블에 각 극점의 크기도 포함됩니다. 극점은 주파수 값의 오름차순으로 정렬됩니다.

[wn,zeta] = damp(sys)는 sys의 극점의 고유 주파수 wn과 감쇠비 zeta를 반환합니다.

[wn,zeta,p] = damp(sys)는 sys의 극점 p도 반환합니다.

___ = damp(___,Name=Value)는 하나 이상의 지정된 이름-값 인수를 기반으로 희소 모델 sys의 일부 극점에 대한 감쇠비와 고유 주파수를 계산합니다. 이름-값 인수를 지정하지 않으면 함수는 크기가 가장 작은 처음 1000개 극점에 대한 감쇠비와 고유 주파수를 계산합니다. sys가 비희소 모델인 경우 이 함수는 이름-값 인수를 무시합니다. (R2025a 이후)

예제

연속시간 시스템의 고유 주파수, 감쇠비 및 극점 표시하기

이 예제에서는 다음과 같은 연속시간 전달 함수가 있다고 가정하겠습니다.

$$sys(s)=\frac{2s^2+5s+1}{s^3+2s-3}.$$

연속시간 전달 함수를 만듭니다.

sys = tf([2,5,1],[1,0,2,-3]);

sys의 고유 주파수, 감쇠비, 시정수 및 극점을 표시합니다.

damp(sys)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
  1.00e+00                -1.00e+00       1.00e+00        -1.00e+00    
 -5.00e-01 + 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    
 -5.00e-01 - 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    

sys의 극점은 하나의 불안정 극점과 s 평면의 좌반면에 놓인 켤레 복소수 쌍을 포함합니다. 불안정 극점에 대응되는 감쇠비는 -1로, 이것은 시스템의 진동을 늘려서 시스템의 불안정성을 구동하기 때문에 감쇠력이 아닌 구동력이라고 합니다.

이산시간 시스템의 고유 주파수, 감쇠비 및 극점 표시하기

이 예제에서는 샘플 시간이 0.01초인 다음과 같은 이산시간 전달 함수가 있다고 가정하겠습니다.

$$sys(z)=\frac{5z^2+3z+1}{z^3+6z^2+4z+4}$$.

이산시간 전달 함수를 만듭니다.

sys = tf([5 3 1],[1 6 4 4],0.01)

sys =
 
     5 z^2 + 3 z + 1
  ---------------------
  z^3 + 6 z^2 + 4 z + 4
 
Sample time: 0.01 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties

damp 명령을 사용하여 sys의 극점에 대한 정보를 표시합니다.

damp(sys)

                                                                                    
         Pole             Magnitude     Damping       Frequency      Time Constant  
                                                    (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                                    
 -3.02e-01 + 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -3.02e-01 - 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -5.40e+00                 5.40e+00    -4.73e-01       3.57e+02        -5.93e-03    

Magnitude 열에는 이산시간 극점 크기가 표시됩니다. Damping, Frequency, Time Constant 열에는 연속시간 극점과 동등한 계산을 통해 나온 값이 표시됩니다.

영점-극점-이득 모델의 고유 주파수와 감쇠비

이 예제에서는 출력이 2개이고 입력이 1개인 이산시간 영점-극점-이득 모델을 만듭니다. 샘플 시간 0.1초를 사용합니다.

sys = zpk({0;-0.5},{0.3;[0.1+1i,0.1-1i]},[1;2],0.1)

sys =
 
  From input to output...
          z
   1:  -------
       (z-0.3)
 
            2 (z+0.5)
   2:  -------------------
       (z^2 - 0.2z + 1.01)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
Model Properties

영점-극점-이득 모델 sys의 고유 주파수와 감쇠비를 계산합니다.

[wn,zeta] = damp(sys)

wn = 3×1

   12.0397
   14.7114
   14.7114

zeta = 3×1

    1.0000
   -0.0034
   -0.0034

wn과 zeta는 sys의 입력 개수와 출력 개수를 합한 개수만큼의 요소를 가집니다. zeta는 오름차순으로 정렬된 wn의 고유 주파수 값에 대응하도록 정렬됩니다.

상태공간 모델의 고유 주파수, 감쇠비 및 극점 계산하기

이 예제에서는 다음 상태공간 모델의 고유 주파수, 감쇠비 및 극점을 계산합니다.

$$A=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right],D=[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}].$$

상태공간 행렬을 사용하여 상태공간 모델을 만듭니다.

A = [-2 -1;1 -2];
B = [1 1;2 -1];
C = [1 0];
D = [0 1];
sys = ss(A,B,C,D);

damp를 사용하여 sys의 고유 주파수, 감쇠비 및 극점을 계산합니다.

[wn,zeta,p] = damp(sys)

wn = 2×1

    2.2361
    2.2361

zeta = 2×1

    0.8944
    0.8944

p = 2×1 complex

  -2.0000 + 1.0000i
  -2.0000 - 1.0000i

sys의 극점은 s 평면의 좌반면에 놓이는 켤레 복소수입니다. 대응하는 감쇠비는 1보다 작습니다. 따라서 sys는 부족감쇠된 시스템입니다.

지정된 주파수 범위에서 희소 모델의 감쇠비 및 극점 계산하기

R2025a 이후

이 예제에서는 광학 필터에 대한 희소 상태공간 모델의 고유 주파수, 감쇠비 및 극점을 계산합니다. 희소 상태공간 모델의 경우, 관심 주파수 범위 내에서 계산된 일부 극점의 감쇠비를 결정할 수 있습니다.

모델을 불러옵니다.

load sparseFilter.mat
size(sys)

Sparse state-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 1668 states.

희소 모델은 종종 규모가 크고 모든 극점을 계산하는 것이 불가능하거나 많은 계산량을 요합니다. 기본적으로 damp 함수는 크기가 가장 작은 처음 1000개의 극점을 계산합니다.

[wn,zeta,p] = damp(sys);
size(p)

ans = 1×2

        1000           1

많은 수의 극점을 계산하는 것을 피하려면, 관심 주파수 범위와 같은 추가 옵션을 지정할 수 있습니다. 일반적으로 사용자가 저주파 대역을 지정하면 함수는 해당 범위 내에서 고유 주파수를 갖는 극점만 계산합니다.

damp(sys,Focus=[10 1000]);

                                                           
   Pole        Damping       Frequency      Time Constant  
                           (rad/seconds)      (seconds)    
                                                           
 -3.76e+01     1.00e+00       3.76e+01         2.66e-02    
 -7.78e+02     1.00e+00       7.78e+02         1.29e-03    
 -7.92e+02     1.00e+00       7.92e+02         1.26e-03    

입력 인수

sys — 선형 동적 시스템

동적 시스템 모델

선형 동적 시스템으로, SISO 또는 MIMO 동적 시스템 모델로 지정됩니다. 사용 가능한 동적 시스템에는 다음이 포함됩니다.

• 연속시간 또는 이산시간 수치적 LTI 모델(예: tf, zpk, ss 모델).

• 일반화된 LTI 모델 또는 불확실 LTI 모델(예: genss, uss (Robust Control Toolbox) 모델). (불확실 모델을 사용하려면 Robust Control Toolbox™가 필요합니다.)

  damp는

  • 조정 가능한 제어 설계 블록의 경우 조정 가능한 컴포넌트의 현재 값을 가정합니다.

  • 불확실한 제어 설계 블록의 경우 공칭 모델 값을 가정합니다.

sys가 희소 상태공간 모델이면(sparss 또는 mechss), 지정된 관심 주파수 대역에 해당하는 일부 극점에 대한 감쇠비와 고유 주파수를 계산합니다. 희소 모델의 경우 이름-값 인수를 사용하여 계산 옵션을 지정하십시오. 아무 옵션도 지정하지 않으면 크기가 가장 작은 처음 1000개의 극점을 계산합니다. 레일리 감쇠가 적용된 mechss 모델이면, (K,M)의 고유값으로부터 극점을 계산합니다. 그 외의 경우에는 동등한 sparss 모델로부터 극점을 계산합니다. (R2025a 이후)

이름-값 인수

선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN으로 지정합니다. 여기서 Name은 인수 이름이고 Value는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.

예: [wn,zeta] = damp(sparseSys,Focus=[0 10],Display="off")

Focus — 관심 주파수 범위

[0 Inf] (디폴트 값) | 벡터

R2025a 이후

관심 주파수 범위로, [fmin,fmax] 형식의 벡터로 지정됩니다. 관심 주파수 범위를 지정하면, 알고리즘은 해당 범위 내에서 고유 주파수를 가진 극점만 계산합니다. 이산시간 모델이면 Tustin 변환을 통해 동등한 고유 주파수를 근사합니다.

준정부호 대칭 희소 모델이면 0 ≤ fmin < fmax ≤ ∞의 임의의 주파수 범위를 지정할 수 있습니다. 비대칭 sparss 모델이면 주파수 범위를 [0,fmax] 또는 [fmin,inf]로 지정해야 합니다.

소프트웨어는 지정된 주파수 범위 내에서 모든 극점을 계산하므로, 일반적으로 사용자가 저주파 범위를 지정하여 많은 수의 극점이 계산되는 것을 제한합니다. 기본적으로 관심 범위는 지정되지 않으며([0 Inf]) 알고리즘은 최대 MaxNumber개의 극점을 계산합니다.

MaxNumber — 계산할 극점과 영점의 최대 개수

1000 (디폴트 값) | 양의 정수

R2025a 이후

계산할 극점과 영점의 최대 개수로, 양의 정수로 지정됩니다. 이 값은 알고리즘이 계산하는 극점의 수를 제한합니다.

Shift — 스펙트럼 이동

0 (디폴트 값) | 유한한 스칼라

R2025a 이후

스펙트럼 이동으로, 유한한 스칼라로 지정됩니다.

A-sigma*E에 대한 역거듭제곱 반복을 사용하여 지정된 범위 [0,fmax]에서 고유 주파수를 갖는 극점을 계산하며, 이를 통해 이동 sigma에 가장 가까운 고유값을 얻습니다. A가 특이값이고 sigma가 0이면 역행렬이 존재하지 않으므로 알고리즘은 실패합니다. 따라서 적분 동작(s = 0 또는 이산시간 모델이면 z = 1)이 있는 희소 모델의 경우, 이 옵션을 사용하여 극점이나 영점을 이 이동 값에 가장 가까운 값으로 묵시적으로 이동할 수 있습니다. 이동 값을 원래 모델의 기존 극점 값과 동일하지 않은 값으로 지정하십시오.

Tolerance — 계산된 극점의 정확도

1e-12 (디폴트 값) | 양의 유한한 스칼라

R2025a 이후

계산된 극점의 정확도에 대한 허용오차로, 양의 유한한 스칼라로 지정됩니다. 이 값은 역거듭제곱 반복을 통해 계산되는 고유값의 수렴을 제어합니다.

Display — 진행률 리포트를 표시하거나 숨기기

"on" (디폴트 값) | "off"

R2025a 이후

진행률 리포트를 표시하거나 숨길지 여부로, "off" 또는 "on"으로 지정됩니다.

출력 인수

wn — 각 극점의 고유 주파수

벡터

sys의 각 극점의 고유 주파수로, 주파수 값의 오름차순으로 정렬된 벡터로 반환됩니다. 주파수는 sys의 TimeUnit 속성의 역수의 단위로 표현됩니다.

sys가 지정된 샘플 시간을 갖는 이산시간 모델인 경우 wn은 이에 대응되는 연속시간 극점에서의 고유 주파수를 포함합니다. 샘플 시간이 지정되지 않은 경우 damp는 샘플 시간 값을 1로 가정하고 그에 따라 wn을 계산합니다. 자세한 내용은 알고리즘 항목을 참조하십시오.

zeta — 각 극점의 감쇠비

벡터

각 극점의 감쇠비로, wn과 동일한 순서로 정렬된 벡터로 반환됩니다.

sys가 지정된 샘플 시간을 갖는 이산시간 모델인 경우 zeta는 이에 대응되는 연속시간 극점에서의 감쇠비를 포함합니다. 샘플 시간이 지정되지 않은 경우 damp는 샘플 시간 값을 1로 가정하고 그에 따라 zeta를 계산합니다. 자세한 내용은 알고리즘 항목을 참조하십시오.

p — 동적 시스템 모델의 극점

벡터

동적 시스템 모델의 극점으로, wn과 동일한 순서로 정렬된 벡터로 반환됩니다. p는 순서를 제외하면 pole(sys)의 출력과 동일합니다. 극점에 대한 자세한 내용은 pole을 참조하십시오.

알고리즘

damp는 다음 표에 정의된 바와 같이 시스템 극점의 고유 주파수, 시정수 및 감쇠비를 계산합니다.

	연속시간	이산시간(샘플 시간 = Ts)
극점 위치	$$s$$	$$z$$
대응되는 연속시간 극점	$$\text{Not applicable}$$	$$s=\frac{ln(z)}{T_s}$$
고유 주파수	$${\omega }_n=\left|s\right|$$	$${\omega }_n=\left|s\right|=\left|\frac{ln(z)}{T_s}\right|$$
감쇠비	$$\zeta =-cos(\angle s)$$	$$\begin{array}{lll}\zeta \hfill & =-cos(\angle s)\hfill & =-cos(\angle ln(z))\hfill \end{array}$$
시정수	$$\tau =\frac{1}{{\omega }_n\zeta }$$	$$\tau =\frac{1}{{\omega }_n\zeta }$$

샘플 시간이 지정되지 않은 경우 damp는 샘플 시간 값을 1로 가정하고 그에 따라 zeta를 계산합니다.

희소 상태공간 모델의 경우, 지정된 주파수 대역에서 극점을 계산하기 위한 역거듭제곱 반복에 크릴로프-슈어(Krylov-Schur) 알고리즘[1]을 사용합니다. (R2025a 이후)

참고 문헌

[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2025a: 희소 모델 지원: 관심 주파수 범위에서 일부 극점을 계산함

이제 관심 주파수 범위를 지정하여 희소 상태공간 모델의 극점을 일부만 계산할 수 있습니다. 기본적으로 이 함수는 크기가 가장 작은 처음 1000개의 극점을 계산합니다. 많은 수의 극점을 계산하는 것을 피하려면, 새로운 구문 [wn,z,p] = damp(sparseSys,Name=Value)를 사용하여 관심 주파수 범위나 계산할 최대 극점 수와 같은 옵션을 지정할 수 있습니다.

R2023b: 출력 동작이 변경됨

시스템이 0 또는 무한대에서 극점을 갖는 경우 damp 함수 출력 동작이 변경되었습니다.

함수는 이제 다음 값을 반환합니다.

• 연속시간

  극점 위치	고유 주파수	감쇠비
  0	0	–1
  Inf	Inf	–1

• 이산시간

  극점 위치	고유 주파수	감쇠비
  0	Inf	+1
  1	0	–1
  Inf	Inf	–1

안정적인 무한 극점과 불안정한 무한 극점 간에는 수치적으로 차이가 없습니다. 따라서 함수는 모든 무한 극점을 불안정한 것으로 간주합니다.

이전에는 함수가 이러한 경우에 NaN을 반환했습니다.

참고 항목

eig | esort | dsort | pole | pzmap | zero