function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
を root2d.m というファイル名の mファイルとして保存し、
>> fun = @root2d;
>> x0 = [0,0];
>> x = fsolve(fun,x0)
をMATLABコマンドウィンドウ上で実行すると解が求められそうですがいかがでしょうか?