eig

기호 행렬의 고유값과 고유벡터

구문

lambda = eig(A)

[V,D] = eig(A)

[V,D,p] = eig(A)

설명

lambda = eig(A)는 정사각 기호 행렬 A의 고유값을 기호 벡터로 반환합니다.

[V,D] = eig(A)는 A의 고유벡터와 고유값을 기호 행렬 V와 D로 반환합니다. V의 열은 A의 고유벡터를 나타냅니다. D의 주대각선은 A의 고유값을 나타냅니다.

• V의 크기가 A와 같은 경우 행렬 A는 A*V = V*D를 충족하는 완전한 선형 독립 고유벡터 집합을 갖습니다.

• V가 A보다 적은 개수의 열을 가지고 있는 경우 행렬 A는 부족 행렬입니다. 이 경우 고유값 λ 중 적어도 하나는 대수적 중복도 m이 m > 1이며, λ와 연결된 선형 독립 고유벡터 수가 m보다 작습니다.

[V,D,p] = eig(A)는 인덱스로 구성된 벡터 p도 반환합니다. p의 길이는 선형 독립 고유벡터의 개수와 동일하며, 따라서 A*V = V*D(p,p)를 충족합니다.

참고

기호 eig 함수는 MATLAB^® eig 함수와 다른 구문과 기능을 사용하여 고유값과 고유 벡터를 기호적으로 계산합니다. 예를 들어, 기호 eig 함수는 일반 고유값 문제(입력 인수가 두 개 있음)를 푸는 것을 지원하지 않습니다. 이 문제를 해결하려면 입력 행렬을 MATLAB 숫자형으로 변환하고 대신 MATLAB eig 함수를 사용합니다.

예제

고유값 계산하기

5차 마방진의 고유값을 계산합니다.

A = sym(magic(5));
lambda = eig(A)

lambda = 
$$\left(\begin{array}{c}65\\ \sqrt{\frac{625}{2}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}}\\ \sqrt{\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}+\frac{625}{2}}\\ -\sqrt{\frac{625}{2}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}}\\ -\sqrt{\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}+\frac{625}{2}}\end{array}\right)$$

수치적 고유값을 고정밀도로 계산하기

가변 정밀도 연산방식을 사용하여 5차 마방진의 수치적 고유값을 계산합니다.

A = magic(5);
lambda = eig(vpa(A))

lambda = 
$$\left(\begin{array}{c}65.0\\ 21.276765471473795530626426697974\\ 13.126280930709218802525643085949\\ -13.126280930709218802525643085949\\ -21.276765471473795530626426697974\end{array}\right)$$

기호 고유값을 부동소수점으로 변환하기

6차 마방진에서 5×5 기호 행렬을 만듭니다. eig를 사용하여 행렬의 고유값을 계산합니다.

M = magic(6);
A = sym(M(1:5,1:5));
lambda = eig(A)

lambda = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,1\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,2\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,3\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,4\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,5\right)\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=z^5-100\hspace{0.17em}{z}^4+134\hspace{0.17em}{z}^3+66537\hspace{0.17em}{z}^2-450198\hspace{0.17em}z-1294704\end{array}$$

eig 함수는 기호 숫자에 대해서는 정확한 고유값을 구할 수 없습니다. 대신 root 함수로 반환합니다.

고유값에 대한 수치적 근삿값을 구하려면 vpa를 사용합니다.

lambdaVpa = vpa(lambda)

lambdaVpa = 
$$\left(\begin{array}{c}-2.181032364984695108354692701065\\ 9.8395828502812312578803604206392\\ -25.131641669799891607267584639192\\ 26.341617610275869035465716505806\\ 91.131473574227486422276200413812\end{array}\right)$$

부족 행렬의 고유값과 고유벡터 계산하기

MATLAB® 테스트 행렬 중에서 부족 행렬 하나에 대한 정확한 고유값과 고유벡터를 계산합니다.

A = sym(gallery(5))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccccc}-9& 11& -21& 63& -252\\ 70& -69& 141& -421& 1684\\ -575& 575& -1149& 3451& -13801\\ 3891& -3891& 7782& -23345& 93365\\ 1024& -1024& 2048& -6144& 24572\end{array}\right)$$

[V,D] = eig(A)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{21}{256}\\ -\frac{71}{128}\\ \frac{973}{256}\\ 1\end{array}\right)$$

D = 
$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

출력값 V는 0으로 구성된 5겹 고유값을 갖는 5×1 열 벡터입니다. 이 결과는 행렬 A가 대수적 중복도 5와 기하적 중복도 1의 고유값 0을 가짐을 나타냅니다.

선형 독립 고유벡터와 해당 고유값 구하기

4×4 기호 행렬의 정확한 고유값과 고유벡터를 계산합니다. 고유값을 해당 선형 독립 고유벡터에 연결하는 인덱스로 구성된 벡터를 반환합니다.

syms c
A = [c 1 0 0; 0 c 0 0; 0 0 3*c 0; 0 0 0 3*c];
[V,D,p] = eig(A)

V = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

D = 
$$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& 3\hspace{0.17em}c& 0\\ 0& 0& 0& 3\hspace{0.17em}c\end{array}\right)$$

p = 1×3

     1     3     4

행렬 A는 두 개의 고유값 $\mathit{c}$와 $3\mathit{c}$를 가지며, 각 고유값은 두 번 나타납니다. 한편, 선형 독립 고유벡터는 3개입니다. 인덱스로 구성된 벡터 p는 다음을 나타냅니다.

• p(1) = 1, 즉 첫 번째 고유벡터(V의 첫 번째 열)는 고유값 $\mathit{c}$가 있는 D의 첫 번째 대각선 요소에 대응됩니다.

• p(2) = 3, 즉 두 번째 고유벡터(V의 두 번째 열)는 고유값 $3\mathit{c}$가 있는 D의 세 번째 대각선 요소에 대응됩니다.

• p(3) = 4, 즉 세 번째 고유벡터(V의 세 번째 열)는 고유값 $3\mathit{c}$가 있는 D의 네 번째 대각선 요소에 대응됩니다.

이 결과는 두 번 나타나는 고유값 $\mathit{c}$가 단 하나의 선형 독립 고유벡터를 가짐을 나타냅니다(고유값 $\mathit{c}$는 대수적 중복도 2와 기하적 중복도 1을 가짐). 두 번 나타나는 고유값 $3\mathit{c}$는 두 개의 선형 독립 고유벡터를 갖습니다(고유값 $3\mathit{c}$는 대수적 중복도 2와 기하적 중복도 2를 가짐).

행렬 A*V가 V*D(p,p)와 동일함을 확인합니다.

A*V

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 3\hspace{0.17em}c& 0\\ 0& 0& 3\hspace{0.17em}c\end{array}\right)$$

V*D(p,p)

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 3\hspace{0.17em}c& 0\\ 0& 0& 3\hspace{0.17em}c\end{array}\right)$$

tf = isequal(A*V,V*D(p,p))

tf = logical
   1

입력 인수

A — 정사각 행렬

기호 행렬

정사각 행렬로, 기호 행렬로 지정됩니다.

출력 인수

lambda — 고유값(벡터로 반환됨)

기호 열 벡터 | 기호 숫자로 구성된 열 벡터

고유값으로, 기호 열 벡터 또는 기호 숫자로 구성된 열 벡터로 반환됩니다.

V — 우고유벡터

정사각 기호 행렬

우고유벡터(right eigenvector)로, 정사각 기호 행렬로 반환됩니다. V의 열이 A의 우고유벡터입니다.

D — 고유값(행렬로 반환됨)

기호 대각 행렬

고유값으로, 기호 대각 행렬로 반환됩니다. A의 고유값이 D의 주대각선에 있습니다.

p — 인덱스로 구성된 벡터

기호 행 벡터

인덱스로 구성된 벡터로, 기호 행 벡터로 반환됩니다. p의 길이는 A의 선형 독립 고유벡터의 총 개수입니다.

팁

• 기호 변수를 많이 사용한 행렬 계산은 속도가 느릴 수 있습니다. 계산 속도를 높이려면 일부 변수에 지정된 값을 대입하여 기호 변수의 개수를 줄이십시오.

• 기호 객체가 아닌 숫자형 행렬(sym, syms 또는 vpa로 만들지 않은 행렬)에 대해 eig를 호출하면 MATLAB eig 함수가 호출됩니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2021b: eig(A)가 고유값을 root 함수로 반환함

eig(A)가 기호 숫자로 정확한 고유값을 구할 수 없는 경우 이제는 그 대신 root 함수로 정확한 고유값을 반환합니다. 이전 릴리스에서는 eig(A)가 고유값을 부동소수점 숫자로 반환합니다.

예를 들어 5×5 기호 행렬의 고유값을 계산합니다. eig 함수는 정확한 고유값을 root 함수로 반환합니다. 이 출력값은 다항식의 근을 구할 때 solve 또는 root 함수에서 반환하는 결과와 일치합니다.

M = magic(6);
A = sym(M(1:5,1:5));
lambda = eig(A)

lambda = 
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 1)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 2)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 3)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 4)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 5)

고유값에 대한 수치적 근삿값을 구하려면 vpa를 사용합니다.

lambdaVpa = vpa(lambda)

lambdaVpa =
 -2.181032364984695108354692701065
 9.8395828502812312578803604206392
-25.131641669799891607267584639192
 26.341617610275869035465716505806
 91.131473574227486422276200413812

참고 항목

charpoly | jordan | svd | vpa

도움말 항목

• Eigenvalues