cusum

누적합을 사용하여 평균의 미세한 변화 감지

구문

[iupper,ilower] = cusum(x)

[iupper,ilower] = cusum(x,climit,mshift,tmean,tdev)

[iupper,ilower] = cusum(___,'all')

[iupper,ilower,uppersum,lowersum] = cusum(___)

cusum(___)

설명

[iupper,ilower] = cusum(x)는 목표 평균에서 위와 아래로 5 표준편차를 벗어나게 변동한, x의 상부 및 하부 누적합에 대한 첫 번째 인덱스를 각각 반환합니다. 감지 가능한 최소 평균 이동은 1 표준편차입니다. 이 함수는 x의 처음 25개 샘플에서 목표 평균과 표준편차를 추정합니다.

[iupper,ilower] = cusum(x,climit,mshift,tmean,tdev)는 허용 가능한 표준편차 개수, 즉 상부 및 하부 누적합이 평균에서 벗어날 수 있는 표준편차 개수인 climit를 지정합니다. 또한 감지 가능한 최소 평균 이동, 목표 평균, 목표 표준편차도 지정합니다.

[iupper,ilower] = cusum(___,'all')은 상부 및 하부 누적합이 관리 한계를 초과하는 모든 인덱스를 반환합니다.

[iupper,ilower,uppersum,lowersum] = cusum(___)은 상부 및 하부 누적합도 반환합니다.

cusum(___)에 출력 인수를 지정하지 않으면 목표 평균 위와 아래의 1 표준편차로 정규화된 상부 및 하부 누적합을 플로팅합니다.

예제

cusum 디폴트 값

선형 추세를 갖고 100개 샘플로 구성된 랜덤 신호를 생성하고 플로팅합니다. 재현 가능한 결과를 얻기 위해 난수 생성기를 재설정합니다.

rng('default')

rnds = rand(1,100);
trnd = linspace(0,1,100);

fnc = rnds + trnd;

plot(fnc)

입력 인수의 디폴트 값을 사용하여 cusum을 함수에 적용합니다.

cusum(fnc)

처음 25개 샘플의 평균과 표준편차를 계산합니다. 이러한 수치를 목표 평균과 목표 표준편차로 사용하여 cusum을 적용합니다. 누적합이 목표 평균에서 5 표준편차를 벗어나게 변동하는 점을 강조 표시합니다. 감지 가능한 최소 평균 이동을 1 표준편차로 설정합니다.

mfnc = mean(fnc(1:25));
sfnc = std(fnc(1:25));

cusum(fnc,5,1,mfnc,sfnc)

음의 선형 추세를 사용하여 계산을 반복합니다.

nnc = rnds - trnd;

cusum(nnc)

불안정한 움직임 감지

마모로 인해 불안정해지는 차축의 움직임과 유사한 신호를 생성합니다. 분산이 1/9인 백색 가우스 잡음을 추가합니다. 재현 가능한 결과를 얻기 위해 난수 생성기를 재설정합니다.

rng default

sz = 200;

dr = airy(2,linspace(-14.9371,1.2,sz));
rd = dr + sin(2*pi*(1:sz)/5) + randn(1,sz)/3;

점점 커지는 백그라운드 변동과 그 결과로 생성되는 신호를 플로팅합니다.

plot(dr)
hold on
plot(rd,'.-')
hold off

변동과 잡음이 없을 때의 평균과 표준편차를 구합니다. 잡음 없는 이상적인 신호와 그 신호의 안정된 백그라운드를 플로팅합니다.

id = 0.3*sin(2*pi*(1:sz)/20);
st = id + sin(2*pi*(1:sz)/5);

mf = mean(st)

mf = 
-3.8212e-16

sf = std(st)

sf = 
0.7401

plot(id)
hold on
plot(st,'.-')
hold off

CUSUM 관리도를 사용하여 불안정성이 시작되는 지점을 찾아냅니다. 신호가 이상적인 동작에서 3 표준편차를 벗어난 경우 시스템이 불안정한 것으로 가정합니다. 감지 가능한 최소 이동을 1 표준편차로 지정합니다.

cusum(rd,3,1,mf,sf)

감지 가능한 최소 이동을 증가시켜 위반 기준을 더 엄격하게 합니다. 원치 않는 변동이 발생한 모든 경우를 반환합니다.

cusum(rd,3,1.2,mf,sf,'all')

골프 득점표

골프장의 각 홀에는 공을 넣는 데 필요한 타수를 나타내는 "par"(파)가 있습니다. 숙련된 선수는 대개 해당 파에 매우 근접한 타수를 기록하며 각 홀을 끝냅니다. 시합에서 확실한 우승자로 부상하려면 여러 홀에서 경기를 하고 점수를 누적해야 합니다.

Ben, Jen, Ken이 18홀로 구성된 전체 1라운드 경기를 합니다. 코스는 par-3, par-4, par-5 홀로 구성되어 있습니다. 경기가 끝나면 선수들이 자신의 점수를 계산합니다.

hole = 1:18;
par = [4 3 5 3 4 5 3 4 4 4 5 3 5 4 4 4 3 4];

nms = {'Ben';'Jen';'Ken'};

Ben = [4 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 3 3 3 3 2 3];
Jen = [4 3 4 3 4 4 3 4 4 4 5 3 4 4 5 5 3 3];
Ken = [4 3 4 3 5 5 4 4 4 4 5 3 5 4 5 4 3 5];

T = table(hole',par',Ben',Jen',Ken', ...
    'VariableNames',['hole';'par';nms])

T=18×5 table
    hole    par    Ben    Jen    Ken
    ____    ___    ___    ___    ___

      1      4      4      4      4 
      2      3      3      3      3 
      3      5      4      4      4 
      4      3      2      3      3 
      5      4      3      4      5 
      6      5      5      4      5 
      7      3      2      3      4 
      8      4      3      4      4 
      9      4      3      4      4 
     10      4      4      4      4 
     11      5      3      5      5 
     12      3      2      3      3 
     13      5      3      4      5 
     14      4      3      4      4 
     15      4      3      5      5 
     16      4      3      5      4 
      ⋮

끝났을 때 하부 누적합이 par 밑으로 가장 낮은 선수가 라운드의 승자가 됩니다. 우승자를 결정하기 위해 세 선수의 합을 계산합니다. 임계값을 작게 설정하여 모든 평균 이동을 감지 가능하게 합니다.

[~,b,~,Bensum] = cusum(Ben-par,1,1e-4,0);
[~,j,~,Jensum] = cusum(Jen-par,1,1e-4,0);
[~,k,~,Kensum] = cusum(Ken-par,1,1e-4,0);

plot([Bensum;Jensum;Kensum]')
legend(nms,'Location','best')

이 라운드에서는 Ben이 우승했습니다. 홀별로 타수를 임의로 추가하거나 빼서 다음 경기를 시뮬레이션합니다.

Ben = Ben+randi(3,1,18)-2;
Jen = Jen+randi(3,1,18)-2;
Ken = Ken+randi(3,1,18)-2;

[~,b,~,Bensum] = cusum(Ben-par,1,1e-4,0);
[~,j,~,Jensum] = cusum(Jen-par,1,1e-4,0);
[~,k,~,Kensum] = cusum(Ken-par,1,1e-4,0);

plot([Bensum;Jensum;Kensum]')
legend(nms,'Location','best')

입력 인수

x — 입력 신호

벡터

입력 신호로, 벡터로 지정됩니다.

예: reshape(rand(100,1)*[-1 1],1,200)

climit — 관리 한계

5 (디폴트 값) | 실수형 스칼라

관리 한계로, 표준편차를 단위로 하는 실수형 스칼라로 지정됩니다.

mshift — 감지할 최소 평균 이동

1 (디폴트 값) | 실수형 스칼라

감지할 최소 평균 이동으로, 표준편차를 단위로 하는 실수형 스칼라로 지정됩니다.

tmean — 목표 평균

mean(x(1:25)) (디폴트 값) | 실수형 스칼라

목표 평균으로, 실수형 스칼라로 지정됩니다. 지정하지 않을 경우 tmean은 x의 처음 25개 샘플의 평균으로 추정됩니다.

tdev — 목표 표준편차

std(x(1:25)) (디폴트 값) | 실수형 스칼라

목표 표준편차로, 실수형 스칼라로 지정됩니다. 지정하지 않을 경우 tdev는 x의 처음 25개 샘플의 표준편차로 추정됩니다.

출력 인수

iupper,ilower — 이탈 점 인덱스

정수 스칼라 | 정수 벡터

이탈 점 인덱스로, 정수 스칼라 또는 정수 벡터로 반환됩니다. 모든 신호 샘플이 지정된 허용오차 내에 있는 경우 cusum은 빈 iupper 인수와 ilower 인수를 반환합니다.

uppersum,lowersum — 상부 및 하부 누적합

벡터

상부 및 하부 누적합으로, 벡터로 반환됩니다.

세부 정보

CUSUM 관리도

CUSUM 관리도는 공정 평균의 점진적 변화를 감지하도록 설계되었습니다.

수열 x₁, x₂, x₃, …, x_n과 함께 추정 평균 m_x와 추정 표준편차 σ_x가 주어진 경우 다음을 사용하여 상부 및 하부 누적 공정 합을 정의합니다.

• 상부 누적합

  $$U_i=\{\begin{array}{cc}0,& i=1\\ \max (0,U_{i-1}+x_i-m_x-\frac{1}{2}n{\sigma }_x),& i>1\end{array}$$

• 하부 누적합

  $$L_i=\{\begin{array}{cc}0,& i=1\\ \min (0,L_{i-1}+x_i-m_x+\frac{1}{2}n{\sigma }_x),& i>1\end{array}$$

cusum에서 mshift 인수로 표현되는 변수 n은 이동을 검출할 수 있는, 목표 평균 tmean에서 벗어난 표준편차 개수입니다.

공정이 U_j > cσ_x 또는 L_j < –cσ_x를 따르는 경우 이 공정은 샘플 x_j에서 CUSUM 기준을 위반합니다. 관리 한계 c는 cusum에서 climit 인수로 표현됩니다.

기본적으로 함수는 처음 감지한 위반을 반환합니다. 'all' 플래그를 지정하면 함수는 모든 위반을 반환합니다.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

입력 인수 'all'을 제공할 경우 그 값은 컴파일타임 상수여야 합니다.

버전 내역

R2016a에 개발됨

참고 항목

findchangepts | mean