fgoalattain
다중 목적 함수를 이용한 목표 달성 문제 풀기
구문
설명
fgoalattain
은 목표 달성 문제를 풉니다. 이는 다중 목적 함수 최적화 문제를 최소화하기 위해 정식화된 문제입니다.
fgoalattain
은 다음으로 지정된 문제의 최솟값을 구합니다.
weight
, goal
, b, beq는 벡터이고, A와 Aeq는 행렬이고, F(x), c(x), ceq(x)는 벡터를 반환하는 함수입니다. F(x), c(x), ceq(x)는 비선형 함수일 수 있습니다.
x, lb, ub는 벡터 또는 행렬로 전달될 수 있습니다. 행렬 인수 항목을 참조하십시오.
는 목표 달성 문제를 풀며, 여기에는 범위 x
= fgoalattain(fun
,x0
,goal
,weight
,A
,b
,Aeq
,beq
,lb
,ub
)lb
≤ x
≤ ub
가 적용됩니다. 등식이 존재하지 않는 경우 Aeq = []
및 beq = []
을 설정하십시오. x(i)
의 하한이 비유계인 경우 lb(i) = -Inf
를 설정하고, x(i)
의 상한이 비유계인 경우 ub(i) = Inf
를 설정하십시오.
참고
반복이 제약 조건을 위반할 수 있음 항목을 참조하십시오.
참고
문제의 지정된 입력값 범위에 모순이 있는 경우 출력값 x
는 x0
이 되고 출력값 fval
은 []
이 됩니다.
[
은 해 x
,fval
,attainfactor
,exitflag
,output
] = fgoalattain(___)x
에서의 달성 지수, fgoalattain
의 종료 상황을 설명하는 값 exitflag
, 최적화 과정에 대한 정보가 포함된 구조체 output
을 추가로 반환합니다.
예제
기본적인 목표 달성 문제
2개의 목적을 갖는 함수를 생각해 보겠습니다.
이 함수는 명백히 에서 를 최소화하여 값 2를 얻고 에서 를 최소화하여 값 5를 얻습니다.
목표 [3,6]과 가중치 [1,1]을 설정하고 x0
= 1에서 시작해 목표 달성 문제를 풉니다.
fun = @(x)[2+(x-3)^2;5+x^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1]; x0 = 1; x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 2.0000
해에서 의 값을 구합니다.
fun(x)
ans = 2×1
3.0000
6.0000
fgoalattain
은 목표를 정확히 달성합니다.
선형 제약 조건을 사용한 목표 달성
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 가중치는 [1,1]이며 선형 제약 조건은 입니다.
목적 함수, 목표, 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
A*x <= b
를 나타내는 선형 제약 조건 행렬 A
와 b
를 만듭니다.
A = [1,1]; b = 4;
초기점 [1,1]을 설정하고 목표 달성 문제를 풉니다.
x0 = [1,1]; x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0694 1.9306
해에서 의 값을 구합니다.
fun(x)
ans = 2×1
3.1484
6.1484
fgoalattain
은 목표를 충족하지 않습니다. 가중치가 같으므로 솔버가 같은 양만큼 각각의 목표를 과소달성합니다.
범위가 있는 목표 달성
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 가중치는 [1,1]이며 범위는 , 입니다.
목적 함수, 목표, 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
범위를 만듭니다.
lb = [0,2]; ub = [3,5];
초기점을 [1,4]로 설정하고 목표 달성 문제를 풉니다.
x0 = [1,4];
A = []; % no linear constraints
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.6667 2.3333
해에서 의 값을 구합니다.
fun(x)
ans = 2×1
2.8889
5.8889
fgoalattain
은 목표를 초과 달성합니다. 가중치가 같으므로 솔버가 같은 양만큼 각각의 목표를 과다달성합니다.
비선형 제약 조건을 사용한 목표 달성
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 가중치는 [1,1]이며 비선형 제약 조건은 입니다.
목적 함수, 목표, 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
비선형 제약 조건 함수는 norm4.m
파일에 있습니다.
type norm4
function [c,ceq] = norm4(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 4;
선형 제약 조건과 범위를 위한 빈 입력 인수를 만듭니다.
A = []; Aeq = []; b = []; beq = []; lb = []; ub = [];
초기점을 [1,1]로 설정하고 목표 달성 문제를 풉니다.
x0 = [1,1]; x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@norm4)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.1094 1.6641
해에서 의 값을 구합니다.
fun(x)
ans = 2×1
4.5778
7.1991
fgoalattain
은 목표를 충족하지 않습니다. 가중치는 같지만 는 목표 3에서 약 1.58만큼 떨어져 있고 는 목표 6에서 약 1.2만큼 떨어져 있습니다. 비선형 제약 조건으로 인해 해 x
가 목표와 동일한 값을 달성하지 못합니다.
디폴트가 아닌 옵션을 사용한 목표 달성
반복 과정 표시를 반환하도록 옵션을 설정하여 목표 달성 풀이 과정을 모니터링합니다.
options = optimoptions('fgoalattain','Display','iter');
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 가중치는 [1,1]이며 선형 제약 조건은 입니다.
목적 함수, 목표, 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
A*x <= b
를 나타내는 선형 제약 조건 행렬 A
와 b
를 만듭니다.
A = [1,1]; b = 4;
선형 등식 제약 조건, 범위, 비선형 제약 조건을 위한 빈 입력 인수를 만듭니다.
Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; nonlcon = [];
초기점 [1,1]을 설정하고 목표 달성 문제를 풉니다.
x0 = [1,1]; x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Attainment Max Line search Directional Iter F-count factor constraint steplength derivative Procedure 0 4 0 4 1 9 -1 2.5 1 -0.535 2 14 -1.712e-08 0.2813 1 0.883 3 19 0.1452 0.005926 1 0.883 4 24 0.1484 2.868e-06 1 0.883 5 29 0.1484 6.666e-13 1 0.883 Hessian modified Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0694 1.9306
보고된 달성 지수가 양의 값이면 fgoalattain
이 목표를 충족하는 해를 구하지 못한다는 의미입니다.
목표 달성 결과에서 목적 함수 값 가져오기
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 가중치는 [1,1]이며 선형 제약 조건은 입니다.
목적 함수, 목표, 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
A*x <= b
를 나타내는 선형 제약 조건 행렬 A
와 b
를 만듭니다.
A = [1,1]; b = 4;
초기점 [1,1]을 설정하고 목표 달성 문제를 풉니다. 목적 함수의 값을 요청합니다.
x0 = [1,1]; [x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0694 1.9306
fval = 2×1
3.1484
6.1484
목적 함수 값이 목표보다 더 높습니다. 즉 fgoalattain
이 목표를 충족하지 못한다는 의미입니다.
목표 달성 결과에서 모든 출력값 가져오기
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 가중치는 [1,1]이며 선형 제약 조건은 입니다.
목적 함수, 목표, 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
A*x <= b
를 나타내는 선형 제약 조건 행렬 A
와 b
를 만듭니다.
A = [1,1]; b = 4;
초기점 [1,1]을 설정하고 목표 달성 문제를 풉니다. 목적 함수의 값, 달성 지수, 종료 플래그, 출력 구조체, 라그랑주 승수를 요청합니다.
x0 = [1,1]; [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0694 1.9306
fval = 2×1
3.1484
6.1484
attainfactor = 0.1484
exitflag = 4
output = struct with fields:
iterations: 6
funcCount: 29
lssteplength: 1
stepsize: 4.1023e-13
algorithm: 'active-set'
firstorderopt: []
constrviolation: 6.6663e-13
message: 'Local minimum possible. Constraints satisfied....'
lambda = struct with fields:
lower: [2x1 double]
upper: [2x1 double]
eqlin: [0x1 double]
eqnonlin: [0x1 double]
ineqlin: 0.5394
ineqnonlin: [0x1 double]
attainfactor
가 양의 값이면 목표가 달성되지 않은 상태임을 나타내며, fval
을 goal
과 비교해 이를 확인할 수도 있습니다.
lambda.ineqlin
값이 0이 아니며, 이는 선형 부등식이 해를 제한함을 뜻합니다.
목표 달성에서 가중치, 목표, 제약 조건의 효과
목적 함수는 다음과 같습니다.
여기서 p_1
= [2,3]이고 p_2
= [4,1]입니다. 목표는 [3,6]이고 초기 가중치는 [1,1]입니다.
목적 함수, 목표, 초기 가중치를 만듭니다.
p_1 = [2,3]; p_2 = [4,1]; fun = @(x)[2 + norm(x-p_1)^2;5 + norm(x-p_2)^2/4]; goal = [3,6]; weight = [1,1];
선형 제약 조건 를 설정합니다.
A = [1 1]; b = 4;
점 x0 = [1 1]
에서 시작하여 목표 달성 문제를 풉니다.
x0 = [1 1]; [x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0694 1.9306
fval = 2×1
3.1484
6.1484
fval
의 각 성분이 goal
의 대응되는 성분보다 크므로, 목표가 달성되지 않았음을 알 수 있습니다.
weight(1)
을 더 작은 값으로 설정하여 첫 번째 목표를 충족하는 일의 중요성을 높입니다.
weight(1) = 1/10; [x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0115 1.9885
fval = 2×1
3.0233
6.2328
이제 fval(1)
의 값은 goal(1)
에 훨씬 더 가까운 반면, fval(2)
는 goal(2)
에서 더 멉니다.
goal(2)
를 현재 해보다 큰 7로 변경합니다. 해가 변합니다.
goal(2) = 7; [x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.9639 2.0361
fval = 2×1
2.9305
6.3047
fval
의 두 성분 모두 goal
의 대응되는 성분보다 작습니다. 하지만 fval(1)
은 fval(2)
가 goal(2)
에 가까운 정도보다 훨씬 더 goal(1)
에 가깝습니다. 일반적으로 가중치가 작을수록, 목표를 달성할 수 없는 경우에는 목표 성분에 더 근접하게 되고 목표를 달성할 수 있는 경우에는 과다달성 정도가 더 작아집니다.
가중치를 같은 값이 되도록 변경합니다. fval
결과는 목표로부터의 거리가 같습니다.
weight(2) = 1/10; [x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.7613 2.2387
fval = 2×1
2.6365
6.6365
제약 조건을 사용하면 결과 fval
이 목표에 가까운 정도를 다르게 만들 수 있습니다. 예를 들어, x(2)
에 대해 상한을 2로 설정합니다.
ub = [Inf,2]; lb = []; Aeq = []; beq = []; [x,fval] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
2.0000 2.0000
fval = 2×1
3.0000
6.2500
이 경우, fval(1)
은 목표를 정확히 충족하지만 fval(2)
는 목표보다 작습니다.
입력 인수
fun
— 목적 함수
함수 핸들 | 함수 이름
목적 함수로, 함수 핸들 또는 함수 이름으로 지정됩니다. fun
은 벡터 x
를 받고 x
에서 계산된 목적 함수 값인 벡터 F
를 반환하는 함수입니다. 함수 fun
을 함수 파일에 대한 함수 핸들로 지정할 수 있습니다.
x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight)
여기서 myfun
은 다음과 같은 MATLAB® 함수입니다.
function F = myfun(x) F = ... % Compute function values at x.
fun
을 익명 함수에 대한 함수 핸들로 지정할 수도 있습니다.
x = fgoalattain(@(x)sin(x.*x),x0,goal,weight);
fgoalattain
함수는 x
를 x0
인수 형태로 목적 함수와 비선형 제약 조건 함수에 전달합니다. 예를 들어, x0
이 5×3 배열이면 fgoalattain
함수는 x
를 5×3 배열로 fun
에 전달합니다. fgoalattain
함수는 x
를 열 벡터 x(:)
로 변환한 후 선형 제약 조건 행렬 A
또는 Aeq
와 x
를 곱합니다.
목적 함수를 목표 값에 최대한 가깝게 만들려면(즉, 목표 값보다 크거나 작지 않게 함) optimoptions
를 사용하여 EqualityGoalCount
옵션을 목표 값 근방에 있어야 하는 목적 함수의 개수로 설정하십시오. 이러한 목적 함수들은 fun
이 반환하는 벡터 F
의 첫 요소들로 반드시 분할되어야 합니다.
목적 함수의 기울기도 계산할 수 있고 다음 설정처럼 SpecifyObjectiveGradient
옵션도 true
라고 가정하겠습니다.
options = optimoptions('fgoalattain','SpecifyObjectiveGradient',true)
이 경우, 함수 fun
은 두 번째 출력 인수에 x
에서 계산된 기울기 값 G
를 행렬로 반환해야 합니다. 기울기는 점 x
에서 계산된 각 F
의 편도함수 dF/dx로 구성됩니다. F
가 길이가 m
인 벡터이고 x
의 길이가 n
이면(여기서 n
은 x0
의 길이임), F(x)
의 기울기 G
는 n
×m
행렬입니다. 여기서 G(i,j)
는 x(i)
에 대한 F(j)
의 편도함수입니다(즉, G
의 j
번째 열이 j
번째 목적 함수 F(j)
의 기울기임).
참고
SpecifyObjectiveGradient
를 true
로 설정하는 것은 문제에 비선형 제약 조건이 없거나 문제에 SpecifyConstraintGradient
가 true
로 설정된 비선형 제약 조건이 있는 경우에만 효과가 있습니다. 내부적으로 목적 함수가 제약 조건에 내포되어 있으므로 솔버가 기울기를 추정하지 않기 위해서는 두 기울기(목적 함수와 제약 조건)가 모두 제공되어야 합니다.
데이터형: char
| string
| function_handle
x0
— 초기점
실수형 벡터 | 실수형 배열
초기점으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. 솔버는 x0
의 요소 개수와 x0
의 크기를 사용하여 fun
이 받는 변수의 개수와 크기를 확인합니다.
예: x0 = [1,2,3,4]
데이터형: double
goal
— 달성하려는 목표
실수형 벡터
달성하려는 목표로, 실수형 벡터로 지정됩니다. fgoalattain
은 다음과 같은 부등식이 해 x에서 i의 모든 값에 대해 성립하도록 만드는 최소 승수 γ를 구하려고 합니다.
weight
가 양의 벡터라고 가정할 경우 다음 사항이 적용됩니다.
솔버가 모든 목표를 동시에 달성하는 점
x
를 찾을 경우에는 달성 지수 γ가 음수이며 목표가 과다달성됩니다.솔버가 모든 목표를 동시에 달성하는 점
x
를 찾지 못할 경우에는 달성 지수 γ가 양수이며 목표가 과소달성됩니다.
예: [1 3 6]
데이터형: double
weight
— 상대 달성 지수
실수형 벡터
상대 달성 지수로, 실수형 벡터로 지정됩니다. fgoalattain
은 다음과 같은 부등식이 해 x에서 i의 모든 값에 대해 성립하도록 만드는 최소 승수 γ를 구하려고 합니다.
goal
의 모든 값이 0이 아닌 값이면 활성 목적 함수의 과소달성 또는 과다달성 비율을 같게 만들기 위해 weight
를 abs(goal)
로 설정합니다. 활성 목적 함수는 해에서 더 향상된 목표에 대한 장벽이 되는 목적 함수 집합입니다.
참고
weight
벡터의 성분을 0으로 설정하면 대응하는 목표 제약 조건이 목표 제약 조건이 아니라 강한 제약 조건으로 처리됩니다. 강한 제약 조건을 설정할 수 있는 다른 방법은 입력 인수 nonlcon
을 사용하는 것입니다.
weight
가 양수이면 fgoalattain
은 목적 함수를 목표 값보다 작게 만들려고 합니다. 목적 함수를 목표 값보다 크게 만들려면 weight
를 양수 대신 음수로 설정하십시오. 해에 대한 가중치의 효과를 보려면 목표 달성에서 가중치, 목표, 제약 조건의 효과 항목을 참조하십시오.
목적 함수를 목표 값에 최대한 가깝게 만들려면 EqualityGoalCount
옵션을 사용하고 fun
이 반환하는 벡터의 첫 번째 요소로 목적 함수를 지정하십시오(fun
및 options
참조). 예제는 Multi-Objective Goal Attainment Optimization 항목을 참조하십시오.
예: abs(goal)
데이터형: double
A
— 선형 부등식 제약 조건
실수 행렬
선형 부등식 제약 조건으로, 실수 행렬로 지정됩니다. A
는 M
×N
행렬입니다. 여기서 M
은 부등식 개수이고 N
은 변수 개수(x0
의 요소 개수)입니다. 대규모 문제의 경우, A
를 희소 행렬로 전달하십시오.
A
는 다음과 같이 M
개의 선형 부등식을 인코딩합니다.
A*x <= b
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, b
는 M
개의 요소를 갖는 열 벡터입니다.
예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30,
다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.
A = [1,2;3,4;5,6]; b = [10;20;30];
예: x 성분의 합이 1 이하가 되도록 지정하려면 A = ones(1,N)
및 b = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
b
— 선형 부등식 제약 조건
실수형 벡터
선형 부등식 제약 조건으로, 실수 벡터로 지정됩니다. b
는 A
행렬과 관련된, 요소를 M
개 가진 벡터입니다. b
를 행 벡터로 전달하면 솔버는 내부적으로 b
를 열 벡터 b(:)
으로 변환합니다. 대규모 문제의 경우, b
를 희소 벡터로 전달하십시오.
b
는 다음과 같이 M
개의 선형 부등식을 인코딩합니다.
A*x <= b
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, A
는 크기가 M
×N
인 행렬입니다.
예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30.
다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.
A = [1,2;3,4;5,6]; b = [10;20;30];
예: x 성분의 합이 1 이하가 되도록 지정하려면 A = ones(1,N)
및 b = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
Aeq
— 선형 등식 제약 조건
실수 행렬
선형 등식 제약 조건으로, 실수 행렬로 지정됩니다. Aeq
는 Me
×N
행렬입니다. 여기서 Me
는 부등식 개수이고 N
은 변수 개수(x0
의 요소 개수)입니다. 대규모 문제의 경우, Aeq
를 희소 행렬로 전달하십시오.
Aeq
는 다음과 같이 Me
개의 선형 등식을 인코딩합니다.
Aeq*x = beq
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, beq
는 Me
개의 요소를 갖는 열 벡터입니다.
예를 들어, 다음 부등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20,
다음 제약 조건을 입력하여 부등식을 지정합니다.
Aeq = [1,2,3;2,4,1]; beq = [10;20];
예: x 성분의 합이 1이 되도록 지정하려면 Aeq = ones(1,N)
및 beq = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
beq
— 선형 등식 제약 조건
실수형 벡터
선형 등식 제약 조건으로, 실수 벡터로 지정됩니다. beq
는 Aeq
행렬과 관련된, 요소를 Me
개 가진 벡터입니다. beq
를 행 벡터로 전달하면 솔버는 내부적으로 beq
를 열 벡터 beq(:)
으로 변환합니다. 대규모 문제의 경우, beq
를 희소 벡터로 전달하십시오.
beq
는 다음과 같이 Me
개의 선형 등식을 인코딩합니다.
Aeq*x = beq
,
여기서 x
는 N
개의 변수 x(:)
으로 구성된 열 벡터이고, Aeq
는 크기가 Me
×N
인 행렬입니다.
예를 들어, 다음 등식을 살펴보겠습니다.
x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20.
다음 제약 조건을 입력하여 등식을 지정합니다.
Aeq = [1,2,3;2,4,1]; beq = [10;20];
예: x 성분의 합이 1이 되도록 지정하려면 Aeq = ones(1,N)
및 beq = 1
을 사용하십시오.
데이터형: double
lb
— 하한
실수형 벡터 | 실수형 배열
하한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0
의 요소 개수가 lb
의 요소 개수와 같은 경우 lb
는 다음을 지정합니다.
모든 i
에 대해 x(i) >= lb(i)
numel(lb) < numel(x0)
이면 lb
는 다음을 지정합니다.
1 <= i <= numel(lb)
에 대해 x(i) >= lb(i)
lb
의 요소 개수가 x0
의 요소 개수보다 적으면 솔버가 경고를 발생시킵니다.
예: 모든 x 성분이 양수가 되도록 지정하려면 lb = zeros(size(x0))
을 사용하십시오.
데이터형: double
ub
— 상한
실수형 벡터 | 실수형 배열
상한으로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 지정됩니다. x0
의 요소 개수가 ub
의 요소 개수와 같은 경우 ub
는 다음을 지정합니다.
모든 i
에 대해 x(i) <= ub(i)
numel(ub) < numel(x0)
이면 ub
는 다음을 지정합니다.
1 <= i <= numel(ub)
에 대해 x(i) <= ub(i)
ub
의 요소 개수가 x0
의 요소 개수보다 적으면 솔버가 경고를 발생시킵니다.
예: 모든 x 성분이 1보다 작도록 지정하려면 ub = ones(size(x0))
을 사용하십시오.
데이터형: double
nonlcon
— 비선형 제약 조건
함수 핸들 | 함수 이름
비선형 제약 조건으로, 함수 핸들 또는 함수 이름으로 지정됩니다. nonlcon
은 벡터 또는 배열 x
를 받고 두 개의 배열 c(x)
와 ceq(x)
를 반환하는 함수입니다.
c(x)
는x
의 비선형 부등식 제약 조건으로 구성된 배열입니다.fgoalattain
은 다음을 충족하려고 시도합니다.c(x) <= 0
for all entries ofc
.ceq(x)
는x
의 비선형 등식 제약 조건으로 구성된 배열입니다.fgoalattain
은 다음을 충족하려고 시도합니다.ceq(x) = 0
for all entries ofceq
.
예를 들면 다음을 입력합니다.
x = fgoalattain(@myfun,x0,...,@mycon)
여기서 mycon
은 다음과 같은 MATLAB 함수입니다.
function [c,ceq] = mycon(x) c = ... % Compute nonlinear inequalities at x. ceq = ... % Compute nonlinear equalities at x.
제약 조건의 기울기도 계산할 수 있고 다음 설정처럼 SpecifyConstraintGradient
옵션도 true
라고 가정하겠습니다.
options = optimoptions('fgoalattain','SpecifyConstraintGradient',true)
이 경우, 함수 nonlcon
은 세 번째 출력 인수와 네 번째 출력 인수에 c(x)
의 기울기 GC
와 ceq(x)
의 기울기 GCeq
도 반환해야 합니다. 제공되는 기울기를 받지 않는 솔버에 사용하기 위해 기울기를 “조건화”하는 방법에 대한 설명은 비선형 제약 조건 항목을 참조하십시오.
nonlcon
이 m
개의 성분으로 구성된 벡터 c
를 반환하고 x
의 길이가 n
이면(여기서 n
은 x0
의 길이임), c(x)
의 기울기 GC
는 n
×m
행렬입니다. 여기서 GC(i,j)
는 x(i)
에 대한 c(j)
의 편도함수입니다(즉, GC
의 j
번째 열이 j
번째 부등식 제약 조건 c(j)
의 기울기임). 마찬가지로, ceq
에 p
개의 성분이 있으면 ceq(x)
의 기울기 GCeq
는 n
×p
행렬입니다. 여기서 GCeq(i,j)
는 x(i)
에 대한 ceq(j)
의 편도함수입니다(즉, GCeq
의 j
번째 열이 j
번째 등식 제약 조건 ceq(j)
의 기울기임).
참고
SpecifyConstraintGradient
를 true
로 설정하는 것은 SpecifyObjectiveGradient
가 true
로 설정된 경우에만 효과가 있습니다. 내부적으로 목적 함수가 제약 조건에 내포되어 있으므로 솔버가 기울기를 추정하지 않기 위해서는 두 기울기(목적 함수와 제약 조건)가 모두 제공되어야 합니다.
참고
Optimization Toolbox™ 함수는 double
형 입력값만 받기 때문에 사용자 제공 목적 함수와 비선형 제약 조건 함수는 double
형 출력값을 반환해야 합니다.
필요한 경우 비선형 제약 조건 함수 nonlcon
을 파라미터화하는 방법에 대한 설명은 추가 파라미터 전달하기 항목을 참조하십시오.
데이터형: char
| function_handle
| string
options
— 최적화 옵션
optimoptions
의 출력값 | optimset
등이 반환하는 구조체
최적화 옵션으로, optimoptions
의 출력값 또는 optimset
등이 반환하는 구조체로 지정됩니다.
일부 옵션은 optimoptions
표시에 나타나지 않습니다. 이러한 옵션은 다음 표에서 기울임꼴로 표시되어 있습니다. 자세한 내용은 최적화 옵션 보기 항목을 참조하십시오.
optimset
에 대해 다른 이름을 가진 옵션에 대한 자세한 내용은 현재 옵션 이름과 이전 옵션 이름 항목을 참조하십시오.
옵션 | 설명 |
---|---|
ConstraintTolerance | 제약 조건 위반에 대한 종료 허용오차로, 음이 아닌 스칼라입니다. 디폴트 값은
|
Diagnostics | 최소화하거나 풀려는 함수에 대한 진단 정보를 표시합니다. |
DiffMaxChange | 유한 차분 기울기에 대한 변수의 최대 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 |
DiffMinChange | 유한 차분 기울기에 대한 변수의 최소 변화량입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 |
| 표시 수준입니다(반복 과정 표시 참조):
|
EqualityGoalCount | 목적 함수
|
FiniteDifferenceStepSize | 유한 차분에 대한 스칼라 또는 벡터 스텝 크기 인자입니다.
sign′(x) = sign(x) 입니다(단, sign′(0) = 1 임). 중심 유한 차분은 다음과 같습니다.
FiniteDifferenceStepSize 는 벡터로 확장됩니다. 디폴트 값은 전향 유한 차분의 경우 sqrt(eps) 이고 중심 유한 차분의 경우 eps^(1/3) 입니다.
|
FiniteDifferenceType | 기울기를 추정하는 데 사용되는 유한 차분의 유형으로, 알고리즘은 두 유형의 유한 차분을 모두 추정하는 경우 범위를 준수하려고 노력합니다. 예를 들어, 전향 스텝보다는 후향 스텝을 선택하여 범위 외부에 있는 점에서 실행되는 것을 방지할 수 있습니다.
|
FunctionTolerance | 함수 값에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은
|
FunValCheck | 목적 함수 값과 제약 조건 값이 유효한지 여부를 나타내는 검사입니다. |
MaxFunctionEvaluations | 허용되는 함수 실행의 최대 횟수(음이 아닌 정수)입니다. 디폴트 값은
|
MaxIterations | 허용되는 최대 반복 횟수(음이 아닌 정수)입니다. 디폴트 값은
|
MaxSQPIter | 허용되는 최대 SQP 반복 횟수입니다(양의 정수). 디폴트 값은 |
MeritFunction | 이 옵션이 |
OptimalityTolerance | 1차 최적성에 대한 종료 허용오차(음이 아닌 스칼라)입니다. 디폴트 값은
|
OutputFcn | 각 반복마다 최적화 함수가 호출하는 하나 이상의 사용자 정의 함수입니다. 함수 핸들 또는 함수 핸들 셀형 배열을 전달합니다. 디폴트 값은 없음( |
PlotFcn | 알고리즘이 실행되는 동안 다양한 진행률 측정값을 보여주는 플롯입니다. 미리 정의된 플롯에서 선택하거나 사용자가 직접 작성할 수 있습니다. 이름, 함수 핸들 또는 이름이나 함수 핸들로 구성된 셀형 배열을 전달합니다. 사용자 지정 플롯 함수의 경우, 함수 핸들을 전달하십시오. 디폴트 값은 없음(
사용자 지정 플롯 함수는 출력 함수와 동일한 구문을 사용합니다. Optimization Toolbox의 출력 함수 항목과 Output Function and Plot Function Syntax 항목을 참조하십시오.
|
RelLineSrchBnd | 직선 탐색 스텝 길이에 대한 상대적 범위(음이 아닌 실수 스칼라 값)입니다. |
RelLineSrchBndDuration |
|
SpecifyConstraintGradient | 사용자가 정의하는 비선형 제약 조건 함수의 기울기입니다. 이 옵션이
|
SpecifyObjectiveGradient | 사용자가 정의하는 목적 함수의 기울기입니다. 기울기를 정의하는 방법을 보려면
|
StepTolerance |
|
TolConSQP | 내부 반복 SQP 제약 조건 위반에 대한 종료 허용오차입니다(양의 스칼라). 디폴트 값은 |
TypicalX | 일반적인 |
UseParallel | 병렬 연산을 나타냅니다. |
예: optimoptions('fgoalattain','PlotFcn','optimplotfval')
problem
— 문제 구조체
구조체
문제 구조체로, 다음 표에 있는 필드를 가진 구조체로 지정됩니다.
필드 이름 | 항목 |
---|---|
| 목적 함수 fun |
| x 의 초기점 |
| 달성하려는 목표 |
| 목표의 상대적 중요도 인자 |
| 선형 부등식 제약 조건에 대한 행렬 |
| 선형 부등식 제약 조건에 대한 벡터 |
| 선형 등식 제약 조건에 대한 행렬 |
| 선형 등식 제약 조건에 대한 벡터 |
lb | 하한으로 구성된 벡터 |
ub | 상한으로 구성된 벡터 |
| 비선형 제약 조건 함수 |
| 'fgoalattain' |
| optimoptions 로 생성되는 옵션 |
problem
구조체에 최소한 objective
, x0
, goal
, weight
, solver
, options
필드를 반드시 제공해야 합니다.
데이터형: struct
출력 인수
x
— 해(Solution)
실수형 벡터 | 실수형 배열
해로, 실수형 벡터나 실수형 배열로 반환됩니다. x
의 크기는 x0
의 크기와 같습니다. 일반적으로 x
는 exitflag
가 양수인 경우 문제에 대한 국소해입니다. 해의 품질에 대한 자세한 내용은 솔버가 성공한 경우 항목을 참조하십시오.
fval
— 해에서 계산된 목적 함수 값
실수형 배열
해에서 계산된 목적 함수 값으로, 실수형 배열로 반환됩니다. 일반적으로 fval
= fun(x)
입니다.
attainfactor
— 달성 지수
실수
달성 지수로, 실수로 반환됩니다. attainfactor
에는 해에서의 γ 값이 포함됩니다. attainfactor
가 음수이면 목표가 과다달성된 것이고, attainfactor
가 양수이면 목표가 과소달성된 것입니다. goal
을 참조하십시오.
exitflag
— fgoalattain
가 중지된 이유
정수
fgoalattain
가 중지된 이유로, 정수로 반환됩니다.
| 함수가 해 |
| 탐색 방향의 크기가 지정된 허용오차보다 작고 제약 조건 위반 값이 |
| 방향 도함수의 크기가 지정된 허용오차보다 작고 제약 조건 위반 값이 |
| 반복 횟수가 |
| 출력 함수나 플롯 함수에 의해 중지되었습니다. |
| 실현가능점을 찾을 수 없습니다. |
output
— 최적화 과정에 대한 정보
구조체
최적화 과정에 대한 정보로, 다음 표에 있는 필드를 가진 구조체로 반환됩니다.
iterations | 수행된 반복 횟수 |
funcCount | 함수 실행 횟수 |
lssteplength | 탐색 방향을 기준으로 한 직선 탐색 스텝의 크기 |
constrviolation | 제약 조건 함수의 최댓값 |
stepsize |
|
algorithm | 사용된 최적화 알고리즘 |
firstorderopt | 1차 최적성에 대한 측정값 |
message | 종료 메시지 |
알고리즘
fgoalattain
알고리즘에 대한 설명과 목표 달성 개념에 관한 논의는 Algorithms 항목을 참조하십시오.
대체 기능
앱
최적화 라이브 편집기 작업은 fgoalattain
에 대한 시각적 인터페이스를 제공합니다.
확장 기능
자동 병렬 지원
Parallel Computing Toolbox™를 사용해 자동 병렬 계산을 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.
병렬로 실행하려면 'UseParallel'
옵션을 true
로 설정하십시오.
options = optimoptions('
solvername
','UseParallel',true)
자세한 내용은 Using Parallel Computing in Optimization Toolbox 항목을 참조하십시오.
버전 내역
R2006a 이전에 개발됨
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