schur

슈어 분해(Schur Decomposition)

구문

T = schur(A)

T = schur(A,mode)

[U,T] = schur(___)

설명

T = schur(A)는 A의 슈어 행렬을 반환합니다.

A가 실수 행렬인 경우 T = schur(A,mode)는 mode가 "real"이면 실수 준삼각 슈어 행렬을 반환하고, mode가 "complex"이면 복소수 삼각 슈어 행렬을 반환합니다. A가 복소수 행렬인 경우 schur는 mode의 값에 관계없이 복소수 슈어 형식을 반환합니다.

[U,T] = schur(___)는 A = U*T*U'를 충족하는 유니타리 행렬 U도 반환합니다.

예제

행렬의 슈어 형식

3×3 행렬을 만들고 그 슈어 형식을 계산합니다. 결과는 대각선상에 A의 고유값(즉, 1, 2, 3)이 있는 행렬입니다.

A = [-149 -50 -154; 537 180 546; -27 -9 -25];
T = schur(A)

T = 3×3

    1.0000   -7.1119  815.8706
         0    2.0000   55.0236
         0         0    3.0000

큰 비대각선 요소는 이 행렬이 조건이 나쁜 고유값을 가진다는 것을 나타내며, 이는 condeig 함수를 사용하여 조건수를 구하는 방식으로 확인할 수 있습니다.

condeig(A)

ans = 3×1

  603.6390
  395.2366
  219.2920

복소수 고유값을 가지는 행렬의 슈어 형식

복소수 고유값을 가지는 3×3 행렬을 만듭니다.

A = [3 1 1; 0 2 0; -2 1 1]

A = 3×3

     3     1     1
     0     2     0
    -2     1     1

A의 실수 슈어 형식을 계산합니다. 대각선상의 2×2 블록 행렬은 한 쌍의 켤레 복소수 고유값을 나타냅니다.

T1 = schur(A)

T1 = 3×3

    2.0000    0.3820    1.3764
   -2.6180    2.0000    0.3249
         0         0    2.0000

ordeig 함수를 사용하여 실수 슈어 형식의 고유값을 구합니다.

ordeig(T1)

ans = 3×1 complex

   2.0000 + 1.0000i
   2.0000 - 1.0000i
   2.0000 + 0.0000i

mode를 "complex"로 지정하여 A의 복소수 슈어 형식을 계산합니다. T2의 대각선 요소의 값은 A의 슈어 형식의 고유값이며, ordeig의 출력값과 동일합니다.

T2 = schur(A,"complex")

T2 = 3×3 complex

   2.0000 + 1.0000i   2.2361 + 0.0000i  -0.3035 - 0.4911i
   0.0000 + 0.0000i   2.0000 - 1.0000i   1.2858 + 0.1159i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i

행렬의 슈어 분해

3×3 마방진 행렬을 만들고 그 슈어 분해 인자를 계산합니다.

A = magic(3);
[U,T] = schur(A)

U = 3×3

   -0.5774   -0.8131   -0.0749
   -0.5774    0.4714   -0.6667
   -0.5774    0.3416    0.7416

T = 3×3

   15.0000    0.0000   -0.0000
         0    4.8990   -3.4641
         0         0   -4.8990

기계 정밀도 내에서 A-U*T*U' 및 U'*U - eye(size(U))의 노름이 0인지 확인합니다.

norm(A-U*T*U')

ans = 
6.7711e-15

norm(U'*U - eye(size(U)))

ans = 
5.0471e-16

입력 인수

A — 입력 행렬

정사각 행렬

입력 행렬로, 실수 또는 복소수 정사각 행렬로 지정됩니다. A는 조밀 행렬이어야 합니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

mode — 슈어 형식 시스템

"real" (디폴트 값) | "complex"

슈어 형식 시스템으로, "real" 또는 "complex"로 지정됩니다.

• A가 실수인 경우 mode는 "real" 또는 "complex"일 수 있습니다. mode가 "real"인 경우 schur는 실수 준삼각 행렬 T를 반환합니다. mode가 "complex"인 경우 schur는 복소수 삼각 행렬 T를 반환합니다.

• A가 복소수인 경우 schur는 mode를 무시하고 대각선상에 A의 고유값이 있는 상부 삼각 행렬인 복소수 슈어 형식을 반환합니다.

출력 인수

U — 슈어 벡터

유니타리 행렬

슈어 벡터로, A = U*T*U'를 충족하는 유니타리 행렬로 반환됩니다. U의 열은 각각 슈어 벡터에 대응됩니다. 슈어 행렬 T가 삼각 행렬인 경우 U의 첫 번째 열은 T의 첫 번째 요소에 대응하는 A의 고유벡터입니다.

T — 슈어 행렬

정사각 행렬

슈어 행렬로, 실수 또는 복소수 정사각 행렬로 반환됩니다. mode가 "complex"이면 T는 삼각 행렬입니다. mode가 "real"이면 T는 준삼각 행렬입니다.

세부 정보

준삼각 행렬

준 상부 삼각 행렬은 실수 행렬의 슈어 분해 또는 일반화된 슈어(QZ) 분해로 인해 발생할 수 있습니다. 준 상부 삼각 행렬은 대각선을 따라 0이 아닌 값으로 구성된 1×1 블록과 2×2 블록이 있는 블록 상부 삼각 행렬입니다.

이러한 대각선 블록의 고유값은 행렬의 고유값이기도 합니다. 1×1 블록은 실수 고유값에 대응하고, 2×2 블록은 켤레 복소수 고유값 쌍에 대응합니다.

유니타리 행렬

가역 복소수 정사각 행렬 U는 그 켤레 전치가 역행렬이기도 한 경우, 즉 $$U^{*}U=U{U}^{*}=I$$를 충족하는 경우 유니타리 행렬입니다.

팁

• rsf2csf 함수를 사용하여 행렬의 실수 슈어 형식을 복소수 슈어 형식으로 변환할 수 있습니다. [U,T] = rsf2csf(A)는 [U,T] = schur(A,"complex")와 동일한 출력값을 반환합니다.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 생성된 코드는 MATLAB^®이 반환하는 것과 다른 슈어 분해를 반환할 수 있습니다.

• 입력 행렬에 nonfinite 값이 포함되어 있는 경우 생성된 코드는 오류를 발생시키지 않습니다. 대신, 출력값에 NaN 값이 포함됩니다.

• 코드 생성 시 이 함수에 대해 희소 행렬 입력값은 지원되지 않습니다.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

eig | hess | qz | rsf2csf | ordeig | condeig