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ddensd

중립(Neutral) 유형의 지연 미분 방정식(DDE) 풀기

설명

예제

sol = ddensd(ddefun,dely,delyp,history,tspan)

y '(t) = f(t, y(t), y(dy1),..., y(dyp), y '(dyp1),..., y '(dypq))(1)
형식을 갖는 중립 유형의 지연 미분 방정식 시스템을 적분합니다.

  • t는 시간을 나타내는 독립 변수입니다.

  • dyi는 p개의 해 지연입니다.

  • dypj는 q개의 도함수 지연입니다.

sol = ddensd(ddefun,dely,delyp,history,tspan,options)는 디폴트 적분 파라미터를 options(ddeset 함수에서 생성된 구조체)에 지정된 파라미터로 바꿉니다.

예제

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Paul이 제시한 다음과 같은 중립 DDE를 $0 \le t \le \pi$에 대해 풉니다.

$$y'(t) = 1 + y(t) - 2y(t/2)^2 - y'(t-\pi)$$

해 내역은 $t \le 0$에 대해 $y(t) = \cos(t)$입니다.

편집기에서 새 프로그램 파일을 만듭니다. 이 파일에는 메인 함수와 4개의 로컬 함수가 포함됩니다.

1계 DDE를 ddefun이라는 로컬 함수로 정의합니다.

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel) 
    yp = 1 + y - 2*ydel^2 - ypdel;
end

해 지연을 dely라는 로컬 함수로 정의합니다.

function dy = dely(t,y) 
    dy = t/2;
end

도함수 지연을 delyp라는 로컬 함수로 정의합니다.

function dyp = delyp(t,y) 
    dyp = t-pi;
end

해 내역을 history라는 로컬 함수로 정의합니다.

function y = history(t)
    y = cos(t);
end

적분 구간을 정의하고 ddensd를 사용하여 DDE를 풉니다. 이 코드를 메인 함수에 추가합니다.

tspan = [0 pi];
sol = ddensd(@ddefun,@dely,@delyp,@history,tspan);

$0$$\pi$ 사이에서 간격이 균일한 점 100개에서의 해를 구합니다. 이 코드를 메인 함수에 추가합니다.

tn = linspace(0,pi);
yn = deval(sol,tn);

결과를 플로팅합니다. 이 코드를 메인 함수에 추가합니다.

plot(tn,yn);
xlim([0 pi]);
ylim([-1.2 1.2]);
xlabel('time t');
ylabel('solution y');

전체 프로그램을 실행하여 해를 계산하고 플롯을 표시합니다. 파일 ddex4.m에는 이 예제에 대한 전체 코드가 포함되어 있습니다. 명령줄에 edit ddex4를 입력하면 편집기에서 코드를 볼 수 있습니다.

입력 인수

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도함수로, 구문이 yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel)인 함수 핸들로 지정됩니다. 다음 표에는 ddefun 인수에 대한 설명이 나와 있습니다.

ddefun 인수설명
t시간 t의 현재 값을 나타내는 스칼라 값입니다.
y 수식 1에서 y(t)를 나타내는 벡터입니다. 이 벡터의 크기는 nx1입니다. 여기서 n은 풀려는 시스템의 방정식 개수입니다.
ydelydel(:,i)가 y(dyi)를 나타내는 행렬입니다. 이 행렬의 크기는 nxp입니다. 여기서 n은 풀려는 시스템의 방정식 개수이며 p수식 1에서 y(dy)의 항 개수입니다.
ypdelypdel(:,j)가 y '(dypj)를 나타내는 행렬입니다. 이 행렬의 크기는 nxq입니다. 여기서 n은 풀려는 시스템의 방정식 개수이며 q수식 1의 y (dyp)의 항 개수입니다.
ypddefun이 반환한 결과입니다. nx1 벡터이며, 이 벡터의 요소는 수식 1의 우변을 나타냅니다.

해 지연으로, 함수 핸들로 지정되며 수식 1에서 dy1,..., dyp로 반환됩니다. 또는 벡터 형식의 상수값으로 지연을 전달할 수도 있습니다.

dely를 함수 핸들로 지정한 경우 구문은 dy = dely(t,y)여야 합니다. 다음 표에는 이 함수의 인수에 대한 설명이 나와 있습니다.

dely 인수설명
t시간 t의 현재 값을 나타내는 스칼라 값입니다.
y수식 1에서 y(t)를 나타내는 벡터입니다. 이 벡터의 크기는 nx1입니다. 여기서 n은 풀려는 시스템의 방정식 개수입니다.
dydely 함수가 반환한 벡터로, 이 벡터의 값은 수식 1에서 해 지연 dyi입니다. 이 벡터의 크기는 px1입니다. 여기서 p는 방정식에서 해 지연의 개수입니다. 각 요소는 t보다 작거나 같아야 합니다.

형식이 dyi = t - τi인 상수 해 지연을 지정하려면 dely가 벡터여야 합니다. 여기서 dely(i) = τi입니다. 이 벡터의 각 값은 0보다 크거나 같아야 합니다.

dy가 문제에 없는 경우에는 dely[]로 설정합니다.

데이터형: function_handle | single | double

도함수 지연으로, 함수 핸들로 지정되며 수식 1에서 dyp1,..., dypq로 반환됩니다. 또는 벡터 형식의 상수값으로 지연을 전달할 수도 있습니다.

delyp가 함수 핸들인 경우 구문은 dyp = delyp(t,y)여야 합니다. 다음 표에는 이 함수의 인수에 대한 설명이 나와 있습니다.

delyp 인수설명
t시간 t의 현재 값을 나타내는 스칼라 값입니다.
y수식 1에서 y(t)를 나타내는 벡터입니다. 이 벡터의 크기는 nx1입니다. 여기서 n은 풀려는 시스템의 방정식 개수입니다.
dypdelyp 함수가 반환한 벡터로, 이 벡터의 값은 수식 1에서 도함수 지연 dypj입니다. 이 벡터의 크기는 qx1이어야 합니다. 여기서 q는 방정식에서 해 지연 dypj의 개수입니다. dyp의 각 요소는 t보다 작아야 합니다. 이 제한의 한 예외는 다음과 같습니다. 초기값 DDE를 풀고 있는 경우 dyp의 값은 t = t0일 때 t와 같을 수 있습니다. 자세한 내용은 초기값 중립 지연 미분 방정식 항목을 참조하십시오.

형식이 dypj = t - τj인 상수 도함수 지연을 지정하려면 delyp는 벡터여야 합니다. 여기서 delyp(j) = τj입니다. 이 벡터의 각 값은 0보다 커야 합니다. 중립 유형의 DDE에 대한 초기값 문제를 풀 때 예외적으로 이 제한이 적용되지 않습니다. 그 경우에 delyp의 값은 t = t0일 때 0일 수 있습니다. 자세한 내용은 초기값 중립 지연 미분 방정식 항목을 참조하십시오.

dyp가 문제에 없는 경우에는 delyp[]로 설정합니다.

데이터형: function_handle | single | double

해 내역(Solution History)으로, 함수 핸들, 열 벡터, 이전 적분의 sol 구조체, 셀형 배열 중 하나로 지정됩니다. 이 인수는 t ≤ t0일 때의 해입니다.

  • 내역이 시간의 흐름에 따라 변하는 경우 해 내역을 구문이 y = history(t)인 함수 핸들로 지정합니다. 이 함수는 t <= t0에 대한 해 y(t)의 근삿값 nx1 벡터를 반환합니다. 이 벡터의 길이 n은 풀려는 시스템의 방정식 개수입니다.

  • y(t)가 상수인 경우 history를 상수 값의 nx1 벡터로 지정할 수 있습니다.

  • ddensd를 호출하여 t0에 대한 이전 적분을 계속하는 경우 내역을 이전 적분의 출력 인수 sol로 지정할 수 있습니다.

  • 초기값 DDE를 풀고 있는 경우 내역을 셀형 배열 {y0, yp0}으로 지정합니다. 첫 번째 요소 y0은 초기값 y(t0)으로 구성된 열 벡터입니다. 두 번째 요소 yp0은 요소가 초기 도함수 y '(t0)인 열 벡터입니다. 벡터들은 서로 일치해야 하고, t0에서 수식 1를 충족해야 합니다. 자세한 내용은 초기값 중립 지연 미분 방정식 항목을 참조하십시오.

데이터형: function_handle | single | double | struct | cell

적분 구간으로, 벡터 [t0 tf]로 지정됩니다. 첫 번째 요소 t0은 t의 초기값입니다. 두 번째 요소 tf는 t의 최종 값입니다. t0의 값은 tf보다 작아야 합니다.

데이터형: single | double

적분 파라미터(옵션)로, ddeset 함수가 생성하여 반환한 구조체로 지정됩니다. 일반적으로 사용되는 속성은 'RelTol', 'AbsTol', 'Events' 옵션 중에서만 선택할 수 있도록 합니다. options 지정에 대한 자세한 내용은 ddeset 함수 도움말 페이지를 참조하십시오.

출력 인수

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해로, 다음 필드를 포함하는 구조체로 반환됩니다.

sol.xddensd에서 선택된 메시입니다.
sol.y메시 점에서 y(t)에 대한 근삿값입니다.
sol.yp메시 점에서 y '(t)에 대한 근삿값입니다.
sol.solver솔버 'ddensd'를 식별하는 문자형 벡터입니다.

soldeval 함수에 전달하여 특정 지점에서 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어, y = deval(sol, 0.5*(sol.x(1) + sol.x(end)))는 적분 구간의 중간점에서 해를 구합니다.

세부 정보

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초기값 중립 지연 미분 방정식

초기값 DDE는 모든 i 및 j에 대해 dyi≥t0 및 dypj≥t0을 가집니다. t = t0일 때 모든 지연 항은 y(dyi) = y(t0)과 y '(dypj) = y '(t0)으로 축소됩니다.

y '(t0) = f(t0, y(t0), y(t0),..., y(t0), y '(t0),..., y '(t0))(2)
t > t0인 경우 모든 도함수 지연은 dyp < t를 충족해야 합니다.

초기값 중립 DDE를 풀 때 ddensd에 y '(t0)를 제공해야 합니다. 이를 위해 history를 셀형 배열 {Y0,YP0}으로 지정해야 합니다. 여기서 Y0은 초기값 y(t0)으로 구성된 열 벡터이고 YP0은 초기 도함수 y '(t0)으로 구성된 열 벡터입니다. 벡터들은 서로 일치해야 하고, t0에서 수식 2를 충족해야 합니다.

알고리즘

이 솔버에 사용된 알고리즘에 대한 자세한 내용은 Shampine [2] 항목을 참조하십시오.

참고 문헌

[1] Paul, C.A.H. “A Test Set of Functional Differential Equations.” Numerical Analysis Reports. No. 243. Manchester, UK: Math Department, University of Manchester, 1994.

[2] Shampine, L.F. “Dissipative Approximations to Neutral DDEs.” Applied Mathematics & Computation. Vol. 203, Number 2, 2008, pp. 641–648.

참고 항목

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R2012b에 개발됨