csapi

3차 스플라인 보간

구문

pp = csapi(x,y)

values = csapi(x,y,xx)

설명

참고

3차 스플라인을 보간할 때 더 간단하지만 유연성은 떨어지는 방법을 사용하려면 곡선 피팅기 앱 또는 fit 함수를 사용해 보십시오. 평활화 스플라인 소개 항목도 참조하십시오.

pp = csapi(x,y)는 매듭 시퀀스 x를 가지며 j=1:length(x)에 대해 x(j)에서 값 y(:,j)를 갖는 3차 스플라인 s의 ppform을 반환합니다. 값 y(:,j)는 스칼라, 벡터, 행렬 및 N차원 배열일 수 있습니다. 함수는 동일한 데이터 지점을 사용하여 데이터 점의 평균을 구한 다음 지점을 기준으로 정렬합니다. x가 정렬된 데이터 지점인 경우 스플라인 s는 다음과 같은 not-a-knot 끝점 조건을 충족합니다.

$$jum{p}_{x(2)}{D}_s^3=0=jum{p}_{x(end-1)}{D}^3(s)$$

여기서 D³s는 s의 3계 도함수입니다.

x가 길이가 n1, ..., nm인 시퀀스 x1, ..., xm으로 구성된 셀형 배열인 경우 y는 크기가 [n1,...,nm]인(또는 보간 함수가 d 값을 갖는 경우 크기가 [d,n1,...,nm]인) 배열입니다. 이 경우 pp는 이러한 데이터에 대한 m-3차 스플라인 보간 s의 ppform입니다. 구체적으로 보면 다음과 같습니다.

$$s\left(x(i_1),\cdots ,x(i_m)\right)=y\left(:,i_1,\dots ,i_m\right)$$

여기서 $$i_1=1:nl$$이고 $$i_m=1:nm$$입니다.

이 보간 3차 스플라인에 대해 값을 구하거나 미분, 플로팅과 같은 연산을 수행하려면 pp 구조체를 사용하십시오. 자세한 내용은 fnval, fnder, fnplt 함수를 참조하십시오.

values = csapi(x,y,xx)는 점 xx에서 계산된 평활화 스플라인의 값을 반환합니다. 이 구문은 fnval(csapi(x,y),xx)와 동일합니다.

이 명령은 MATLAB^® 함수 spline과 동일하며, csapi가 (이제는 spline도) 벡터 값 데이터를 받으며 그리딩된 데이터를 처리할 수 있다는 점을 제외하면 PGS의 Fortran 루틴 CUBSPL의 간소화된 버전입니다.

예제

2개, 3개, 5개 점에 대한 보간

이 예제에서는 Curve Fitting Toolbox™의 csapi 명령을 사용하여 3차 스플라인 보간을 생성하는 방법을 보여줍니다.

2개 점에 대한 보간

다음 명령은

values = csapi(x,y,xx)

not-a-knot 끝점 조건을 사용하여 주어진 데이터(x,y)에 대한 3차 스플라인 보간을 하여 xx에서의 값을 반환합니다. 여기서의 보간 함수는 절점 시퀀스 x를 갖는 조각별 3차 함수입니다. 이 함수의 3차 조각이 합쳐져 2개의 연속 도함수를 갖는 하나의 함수가 생성됩니다. "not-a-knot" 끝점 조건은 첫 번째 내부 절점과 마지막 내부 절점에서 3계 도함수도 연속적(반올림 오차까지)이라는 조건입니다.

데이터 점을 2개만 지정하면 직선 보간이 생성됩니다.

x = [0 1];
y = [2 0];
xx = linspace(0,6,121);
plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro')
title('Interpolant to Two Points')

3개 점에 대한 보간

3개의 데이터 점을 지정하면 함수가 포물선을 출력합니다.

x = [2 3 5];
y = [1 0 4];
plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro')
title('Interpolant to Three Points')

5개 점에 대한 보간

보다 일반적으로, 4개 또는 5개 데이터 점을 지정하면 함수가 3차 스플라인을 출력합니다.

x = [1 1.5 2 4.1 5];
y = [1 -1 1 -1 1];
plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro')
title('Cubic Spline Interpolant to Five Points')

Ricker 웨이블릿에 대한 쌍삼차 스플라인 보간 플로팅하기

x가 4개 이상의 요소를 갖는 벡터라고 가정했을 때, pp = csapi(x,y) 문은 다음 문과 동일한 스플라인을 pp에 대입합니다(반올림 오차 이내에서 동일). 단, 이 두 번째 방법으로 구한 스플라인의 표현은 x(2)와 x(n-1)에서 절점을 사용하지 않습니다.

pp = fn2fm(spapi(augknt(x([1 3:(end-2) end]),4),x,y),"pp");

간단한 이변량 예제로, Ricker 웨이블릿에 대한 쌍삼차 스플라인 보간을 플로팅해 봅니다.

x =.0001 + (-4:.2:4); 
y = -3:.2:3;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
r = pi*sqrt(xx.^2+yy.^2); 
z = sin(r)./r;
bcs = csapi({x,y},z); 
fnplt(bcs) 
axis([-5 5 -5 5 -.5 1])

MATLAB®은 요소 z(i,j)를 (x(j),y(i))에서의 값으로 간주하므로 코드는 meshgrid를 호출할 때 x와 y를 뒤바꿉니다. Curve Fitting Toolbox®는 근사 이론 표준을 따르는 반면 z(i,j)는 (x(i),y(j))에서의 값입니다.

이러한 이유로 인해, 아래에서처럼 MATLAB mesh 함수를 사용하여 이러한 이변량 스플라인의 값을 플로팅할 때는 주의를 기울여야 합니다.

xf = linspace(x(1),x(end),41); 
yf = linspace(y(1),y(end),41);
mesh(xf,yf,fnval(bcs,{xf,yf}).')

fnval로부터 얻은 값으로 구성된 행렬의 전치가 사용된 것을 주목하십시오.

입력 인수

x — 데이터 지점

벡터 | 셀형 배열

피팅할 데이터 값 y로 구성된 데이터 지점으로, 벡터로 지정되거나 다변량 데이터에 대해서는 셀형 배열로 지정됩니다. 스플라인 f는 각 데이터 지점 x에 있는 매듭을 사용하여 j의 모든 값에 대해 f(x(j)) = y(:,j)가 되도록 만들어집니다.

그리딩된 다변량 데이터의 경우, 각 변수 차원 f(x1(i),x2(j),...xn(k)) = y(:,i,j,...,k)의 데이터 지점을 지정하는 셀형 배열로 x를 지정할 수 있습니다.

데이터형: single | double

y — 피팅할 데이터 값

벡터 | 행렬 | 배열

스플라인 생성 중에 피팅할 데이터 값으로, 벡터, 행렬 또는 배열로 지정됩니다. 데이터 값 y(:,j)는 스칼라, 행렬 또는 n차원 배열이 될 수 있습니다. 동일한 데이터 지점 x에서 주어지는 데이터 값은 평균화됩니다.

데이터형: single | double

xx — 계산 점

벡터 | 셀형 배열

스플라인이 계산되는 계산 점으로, 벡터로 지정되거나 다변량 데이터에 대해서는 벡터로 구성된 셀형 배열로 지정됩니다. 스플라인 계산은 fnval을 사용하여 수행됩니다.

데이터형: single | double

출력 인수

pp — ppform 형식의 스플라인

스플라인 구조체

ppform 형식의 스플라인으로, 다음 필드를 갖는 구조체로 반환됩니다. ppform에 대한 자세한 내용은 ppform을 참조하십시오.

Form — 스플라인 형식

pp

스플라인 형식으로, pp로 반환됩니다. pp는 스플라인이 조각별 다항식 형식으로 주어졌음을 나타냅니다.

Breaks — 스플라인의 매듭 위치

벡터 | 셀형 배열

스플라인의 매듭 위치로, 벡터로 반환되거나 다변량 데이터에 대해서는 벡터로 구성된 셀형 배열로 반환됩니다. 벡터는 다항식 조각이 정의된 각 구간의 시작과 끝을 나타내는 순증가하는 요소를 포함합니다.

Coefs — 다항식의 계수

행렬 | 배열

각 조각에 대한 다항식의 계수로, 행렬로 반환되거나 다변량 데이터에 대해서는 배열로 반환됩니다.

Pieces — 다항식 조각의 개수

스칼라 | 벡터

스플라인을 설명하는 다항식 조각의 개수로, 스칼라로 반환되거나 다변량 데이터에 대해서는 각 변수에 있는 조각 개수로 구성된 벡터로 반환됩니다.

Order — 다항식의 위수

스칼라 | 벡터

스플라인의 각 다항식 조각을 설명하는 다항식 함수의 위수로, 스칼라로 반환되거나 다변량 데이터에 대해서는 각 변수의 위수를 포함하는 벡터로 반환됩니다.

Dim — 차원 수

스칼라

대상 함수의 차원 수로, 스칼라로 반환됩니다.

values — 계산된 스플라인

벡터 | 행렬 | 배열

계산된 스플라인으로, 벡터로 반환되거나 다변량 데이터에 대해서는 행렬 또는 배열로 반환됩니다. 스플라인은 지정된 계산 점 xx에서 계산됩니다.

알고리즘

csapi는 PGS의 Fortran 루틴 CUBSPL을 구현한 것입니다.

알고리즘은 MATLAB의 희소 행렬 기능을 사용하여 관련 삼중대각 선형 시스템을 생성하고 풉니다.

알고리즘은 또한 not-a-knot 끝점 조건을 사용하여 보간의 첫 번째와 두 번째 다항식 조각과 마지막에서 두 번째와 마지막 다항식 조각이 만나도록 강제합니다.

버전 내역

R2006b에 개발됨

참고 항목

csape | spapi | spline

도움말 항목

• 스플라인 피팅 소개