Warum liefert A^(-1)*b keine Warnung aber A\b bzw. inv(A)*b schon wenn A singulär ist?

Hallo,

Matrix A ist singulär.

Wie unterscheiden sich beim Berechnen der Inversen von A die Methode A^(-1)*b von den Methoden inv(A)*b und A\b ? Gibt es außerdem einen Unterschied zwischen Methode inv(A)*b und Methode A\b?

LisaB

A = [1 -1; 0 0]

A = 2×2

1 -1 0 0

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b = [-0.5; -0.5]

b = 2×1

-0.5000 -0.5000

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x = A^(-1)*b    % keine Warnung

x = 2×1

-Inf -Inf

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x = A\b         % Warnung

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 2×1

-Inf -Inf

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x = inv(A)*b    % Warnung

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 2×1

-Inf -Inf

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Answer 1

[Harald]

Hallo,

laut Dokumentation: "X^(-1) is equivalent to inv(X)". Warum das eine eine Warnung wirft und das andere nicht, kann ich auch nicht beantworten.

Zwischen A\b und inv(A)*b ist der Unterschied, dass im ersten Fall die Inverse nicht explizit berechnet wird, sondern "nur" das Gleichungssystem A*x = b gelöst wird. Im Algorithms-Bereich der Doku siehst du, wie das wann gemacht wird:

https://de.mathworks.com/help/matlab/ref/double.mldivide.html?overload=%5C+false#bt4jslc-6

A\b ist schneller (wird natürlich erst bei größeren Matrizen deutlich) und liefert tendenziell genauere Ergebnisse.

rng(0)
A = rand(10000);
b = rand(10000,1);
tic; x1 = A\b; toc

Elapsed time is 2.670614 seconds.

tic; x2 = inv(A)*b; toc

Elapsed time is 5.151322 seconds.

res1 = norm(A*x1 - b)

res1 = 7.1242e-10

res2 = norm(A*x2 - b)

res2 = 1.7215e-09

Viele Grüße,

Harald