qr

기호 행렬의 QR 분해

구문

R = qr(A)

[Q,R] = qr(A)

[Q,R,P] = qr(A)

[___] = qr(A,"econ")

[Q,R,P] = qr(___,outputForm)

[___] = qr(A,0)

[C,R] = qr(A,B)

[C,R,P] = qr(A,B)

[___] = qr(A,B,"econ")

[C,R,P] = qr(___,outputForm)

[___] = qr(A,B,0)

___ = qr(___,"real")

설명

R = qr(A)는 QR 분해 A = Q*R의 R 인수를 반환합니다. 여기서 A는 m×n 기호 행렬이고 R은 m×n 상부 삼각 기호 행렬이고 Q는 m×m 유니타리 기호 행렬입니다.

[Q,R] = qr(A)는 A = Q*R이 되는 상부 삼각 행렬 R과 유니타리 행렬 Q를 반환합니다.

[Q,R,P] = qr(A)는 A*P = Q*R이 되는 치환 행렬 P도 반환합니다. A의 모든 요소가 부동소수점 숫자로 근사될 수 있다면 이 구문은 abs(diag(R))이 감소하도록 치환 행렬 P를 선택합니다. 그렇지 않은 경우 P = eye(n)을 반환합니다.

[___] = qr(A,"econ")은 이전 출력 인수 조합 중 하나를 사용하여 효율적인 크기의 분해를 반환합니다. 출력값의 크기는 m×n 행렬 A의 크기에 따라 달라집니다.

• m > n인 경우 qr은 Q의 처음 n개 열과 R의 처음 n개 행만 계산합니다.

• m ≤ n인 경우 효율적인 크기의 분해는 "econ" 옵션이 없는 QR 분해와 같습니다.

"econ"을 사용하면 기본적으로 qr이 치환 정보를 행렬 P로 반환합니다.

[Q,R,P] = qr(___,outputForm)은 치환 정보 P를 행렬로 반환할지 또는 벡터로 반환할지 지정합니다. 예를 들어 outputForm이 "vector"인 경우 A(:,P) = Q*R입니다. outputForm의 디폴트 값은 A*P = Q*R이 되는 "matrix"입니다.

[___] = qr(A,0)은 qr(A,"econ","vector")와 동일합니다. 이 구문은 권장되지 않습니다. "econ" 옵션을 대신 사용하십시오.

[C,R] = qr(A,B)는 C = Q'*B 및 A = Q*R이 되는 상부 삼각 행렬 R과 행렬 C를 반환합니다. 여기서 A와 B의 행 개수는 동일해야 합니다.

C와 R은 행렬 방정식 A*X = B의 해를 X = R\C로 나타냅니다.

[C,R,P] = qr(A,B)는 A*P = Q*R이 되는 치환 행렬 P도 반환합니다. A의 모든 요소가 부동소수점 숫자로 근사될 수 있다면 이 구문은 abs(diag(R))이 감소하도록 치환 행렬 P를 선택합니다. 그렇지 않은 경우 P = eye(n)을 반환합니다.

C, R, P는 행렬 방정식 A*X = B의 해를 X = P*(R\C)로 나타냅니다.

[___] = qr(A,B,"econ")은 이전 출력 인수 조합 중 하나를 사용하여 효율적인 크기의 분해를 반환합니다. 출력값의 크기는 m×n 행렬 A의 크기에 따라 달라집니다.

• m > n인 경우 qr은 C와 R의 처음 n개 행만 계산합니다.

• m ≤ n인 경우 효율적인 크기의 분해는 "econ" 옵션이 없는 QR 분해와 같습니다.

"econ"을 사용하면 기본적으로 qr이 치환 정보를 행렬 P로 반환합니다.

[C,R,P] = qr(___,outputForm)은 치환 정보 P를 행렬로 반환할지 또는 벡터로 반환할지 지정합니다. 예를 들어, outputForm이 "vector"인 경우 행렬 방정식 A*X = B의 해는 X(P,:) = R\C입니다. outputForm의 디폴트 값은 A*X = B의 해가 X = P*(R\C)가 되는 "matrix"입니다.

[___] = qr(A,B,0)은 qr(A,B,"econ","vector")와 동일합니다. 이 구문은 권장되지 않습니다. "econ" 옵션을 대신 사용하십시오.

___ = qr(___,"real")은 입력 인수와 중간 결과가 실수라고 가정하며, 그에 따라 abs와 conj에 대한 호출을 차단합니다. 이 옵션을 사용하면 qr은 모든 기호 변수가 실수를 나타낸다고 가정합니다. 이 구문에서는 모든 숫자 인수가 실수여야 합니다.

결과가 켤레 복소수로 나오는 것을 방지하려면 "real"을 사용하십시오.

예제

QR 분해의 상부 삼각 인수

4×4 윌킨슨 고유값 테스트 행렬의 QR 분해의 상부 삼각 R 인수를 계산합니다.

4×4 윌킨슨 고유값 테스트 행렬을 만듭니다.

A = sym(wilkinson(4))

A = 
$$\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{2}& 1& 0& 0\\ 1& \frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& 1\\ 0& 0& 1& \frac{3}{2}\end{array}\right)$$

Q 인수를 반환하지 않고 QR 분해의 R 인수를 반환합니다.

R = qr(A)

R = 
$$\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{13}}{2}& \frac{4\hspace{0.17em}\sqrt{13}}{13}& \frac{2\hspace{0.17em}\sqrt{13}}{13}& 0\\ 0& \frac{\sqrt{13}\hspace{0.17em}\sqrt{53}}{26}& \frac{10\hspace{0.17em}\sqrt{13}\hspace{0.17em}\sqrt{53}}{689}& \frac{2\hspace{0.17em}\sqrt{13}\hspace{0.17em}\sqrt{53}}{53}\\ 0& 0& \frac{\sqrt{53}\hspace{0.17em}\sqrt{381}}{106}& \frac{172\hspace{0.17em}\sqrt{53}\hspace{0.17em}\sqrt{381}}{20193}\\ 0& 0& 0& \frac{35\hspace{0.17em}\sqrt{381}}{762}\end{array}\right)$$

파스칼 행렬의 QR 분해

3×3 파스칼 행렬의 QR 분해를 계산합니다.

3×3 파스칼 행렬을 만듭니다.

A = sym(pascal(3))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\end{array}\right)$$

A의 QR 분해를 나타내는 Q 행렬과 R 행렬을 구합니다.

[Q,R] = qr(A)

Q = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}& 0& -\frac{\sqrt{6}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{3}& 2\hspace{0.17em}\sqrt{3}& \frac{10\hspace{0.17em}\sqrt{3}}{3}\\ 0& \sqrt{2}& \frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}}{2}\\ 0& 0& \frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right)$$

isAlways를 사용하여 A = Q*R인지 확인합니다.

TF = isAlways(A == Q*R)

TF = 3×3 logical array

   1   1   1
   1   1   1
   1   1   1

치환된 QR 분해

치환을 사용하면 부동소수점 행렬에 대한 QR 분해의 수치적 안정성을 높일 수 있습니다. qr 함수는 치환 정보를 행렬 또는 벡터로 반환합니다.

가변 정밀도 연산방식에 사용되는 십진 유효 자릿수를 10으로 설정합니다. 부동소수점 숫자로 3×3 기호 힐베르트 행렬을 근사합니다.

previoussetting = digits(10);
A = vpa(hilb(3))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1.0& 0.5& 0.3333333333\\ 0.5& 0.3333333333& 0.25\\ 0.3333333333& 0.25& 0.2\end{array}\right)$$

먼저 치환 없이 A의 QR 분해를 계산합니다.

[Q,R] = qr(A)

Q = 
$$\left(\begin{array}{ccc}0.8571428571& -0.5016049166& 0.1170411472\\ 0.4285714286& 0.5684855721& -0.7022468832\\ 0.2857142857& 0.6520863915& 0.7022468832\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1.166666667& 0.6428571429& 0.45\\ 0& 0.1017143303& 0.1053370325\\ 0& 0& 0.003901371573\end{array}\right)$$

A와 Q*R 사이의 차이를 계산합니다. 위에서 구한 Q 행렬과 R 행렬은 반올림 오차 때문에 등식 A = Q*R을 엄밀히 충족하지 않습니다.

E = A - Q*R

E = 
$$\left(\begin{array}{ccc}-3.469446952e-18& -6.938893904e-18& -4.33680869e-18\\ 0& -1.734723476e-18& -8.67361738e-19\\ 0& -8.67361738e-19& -4.33680869e-19\end{array}\right)$$

QR 분해의 수치적 안정성을 높이려면 출력 인수 3개를 갖는 구문을 지정하여 치환을 사용하십시오. 기호 변수, 표현식 또는 함수를 포함하지 않는 행렬의 경우, 이 구문은 반환되는 행렬 R의 abs(diag(R))이 감소하도록 피벗 연산을 트리거합니다.

[Q,R,P] = qr(A)

Q = 
$$\left(\begin{array}{ccc}0.8571428571& -0.4969293466& -0.1355261854\\ 0.4285714286& 0.5421047417& 0.7228063223\\ 0.2857142857& 0.6776309272& -0.6776309272\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1.166666667& 0.45& 0.6428571429\\ 0& 0.1054092553& 0.1016446391\\ 0& 0& 0.003764616262\end{array}\right)$$

P = 3×3

     1     0     0
     0     0     1
     0     1     0

등식 A*P = Q*R을 확인합니다. 치환을 사용한 QR 분해의 결과로 반올림 오차가 줄어듭니다.

E = A*P - Q*R

E = 
$$\left(\begin{array}{ccc}-3.469446952e-18& -4.33680869e-18& -6.938893904e-18\\ 0& -8.67361738e-19& -1.734723476e-18\\ 0& -4.33680869e-19& -1.734723476e-18\end{array}\right)$$

이번에는 "vector" 인수를 사용하여 치환 정보를 벡터로 반환합니다.

[Q,R,p] = qr(A,"vector")

Q = 
$$\left(\begin{array}{ccc}0.8571428571& -0.4969293466& -0.1355261854\\ 0.4285714286& 0.5421047417& 0.7228063223\\ 0.2857142857& 0.6776309272& -0.6776309272\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1.166666667& 0.45& 0.6428571429\\ 0& 0.1054092553& 0.1016446391\\ 0& 0& 0.003764616262\end{array}\right)$$

p = 1×3

     1     3     2

A(:,p) = Q*R인지 확인합니다.

E = A(:,p) - Q*R

E = 
$$\left(\begin{array}{ccc}-3.469446952e-18& -4.33680869e-18& -6.938893904e-18\\ 0& -8.67361738e-19& -1.734723476e-18\\ 0& -4.33680869e-19& -1.734723476e-18\end{array}\right)$$

기호 계산이 정확하면 반올림 오차가 발생하지 않습니다.

A = sym(hilb(3));
[Q,R] = qr(A);
E = A - Q*R

E = 
$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

십진 유효 자릿수를 이전 설정으로 복원합니다.

digits(previoussetting)

QR 분해를 사용하여 행렬 방정식 풀기

qr을 사용하여 행렬 형식의 연립방정식을 풀 수 있습니다.

연립방정식 A*X = b를 풉니다. 여기서 A는 5×5 기호 행렬이고 b는 5×1 기호 벡터입니다.

A = sym(invhilb(5))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccccc}25& -300& 1050& -1400& 630\\ -300& 4800& -18900& 26880& -12600\\ 1050& -18900& 79380& -117600& 56700\\ -1400& 26880& -117600& 179200& -88200\\ 630& -12600& 56700& -88200& 44100\end{array}\right)$$

b = sym([1:5]')

b = 
$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$$

C = Q'*b와 A = Q*R이 되는 행렬 C와 R을 구합니다.

[C,R] = qr(A,b);

해 X를 계산합니다.

X = R\C

X = 
$$\left(\begin{array}{c}5\\ \frac{71}{20}\\ \frac{197}{70}\\ \frac{657}{280}\\ \frac{1271}{630}\end{array}\right)$$

isAlways를 사용하여 X가 연립방정식 A*X = b의 해인지 확인합니다.

tf = isAlways(A*X == b)

tf = 5×1 logical array

   1
   1
   1
   1
   1

치환된 QR 분해를 사용하여 행렬 방정식 풀기

부동소수점 숫자를 포함하는 연립방정식을 풀 때는 치환 행렬 또는 치환 벡터를 갖는 QR 분해를 사용하십시오.

연립방정식 A*X = b를 풉니다. 여기서 A는 가변 정밀도가 있는 3×3 기호 행렬이고 b는 가변 정밀도가 있는 3×1 기호 벡터입니다. C = Q'*b와 A = Q*R이 되는 행렬 C와 R을 구합니다.

previoussetting = digits(10);
A = vpa([2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1]);
b = vpa([2; 0; -1]);
[C,R,P] = qr(A,b)

C = 
$$\left(\begin{array}{c}-2.110579412\\ -0.2132007164\\ 0.7071067812\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{ccc}3.31662479& 0.3015113446& -1.507556723\\ 0& 1.705605731& -1.492405014\\ 0& 0& 0.7071067812\end{array}\right)$$

P = 3×3

     0     0     1
     1     0     0
     0     1     0

해 X를 계산합니다.

X = P*(R\C)

X = 
$$\left(\begin{array}{c}1.0\\ -0.25\\ 0.75\end{array}\right)$$

또는 치환 정보를 벡터로 반환합니다.

[C,R,p] = qr(A,b,"vector")

C = 
$$\left(\begin{array}{c}-2.110579412\\ -0.2132007164\\ 0.7071067812\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{ccc}3.31662479& 0.3015113446& -1.507556723\\ 0& 1.705605731& -1.492405014\\ 0& 0& 0.7071067812\end{array}\right)$$

p = 1×3

     2     3     1

치환 벡터 p로 해 X를 계산합니다.

X(p,:) = R\C

X = 
$$\left(\begin{array}{c}1.0\\ -0.25\\ 0.75\end{array}\right)$$

십진 유효 자릿수를 이전 설정으로 복원합니다.

digits(previoussetting)

효율적인 크기의 QR 분해

"econ" 옵션을 사용하여 효율적인 크기의 QR 분해를 계산합니다.

4×4 파스칼 행렬의 처음 2개 열로 구성된 행렬을 만듭니다.

A = sym(pascal(4));
A = A(:,1:2)

A = 
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$$

이 행렬의 QR 분해를 계산합니다.

[Q,R] = qr(A)

Q = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& -{\sigma }_1& \frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{10}}{10}& 0\\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{5}}{10}& -\frac{2\hspace{0.17em}\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{10}}{15}& \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{5}}{10}& -\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{10}}{30}& -\frac{\sqrt{6}}{3}\\ \frac{1}{2}& {\sigma }_1& \frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{10}}{15}& \frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{5}}{10}\end{array}$$

R = 
$$\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 0& \sqrt{5}\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

이제 이 행렬의 효율적인 크기의 QR 분해를 계산합니다. A의 행 개수가 열 개수보다 크므로 qr은 Q의 처음 2개 열과 R의 처음 2개 행만 계산합니다.

[Q,R] = qr(A,"econ")

Q = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{5}}{10}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{5}}{10}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{5}}{10}\\ \frac{1}{2}& \frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{5}}{10}\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 0& \sqrt{5}\end{array}\right)$$

켤레 복소수 방지하기

"real" 옵션을 사용하면 QR 분해 결과가 켤레 복소수로 나오는 것을 방지할 수 있습니다.

요소가 기호 변수인 행렬을 만듭니다.

syms x
A = [1 2; 3 x]

A = 
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& x\end{array}\right)$$

이 행렬의 QR 분해를 계산합니다. 기본적으로 qr은 x가 복소수를 나타낸다고 가정하므로 결과는 abs 함수를 사용하는 표현식을 포함합니다.

[Q,R] = qr(A)

Q = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{10}}{10}& -\frac{\frac{3\hspace{0.17em}x}{10}-\frac{9}{5}}{{\sigma }_1}\\ \frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{10}}{10}& \frac{\frac{x}{10}-\frac{3}{5}}{{\sigma }_1}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\sqrt{{\left|\frac{x}{10}-\frac{3}{5}\right|}^2+{\left|\frac{3\hspace{0.17em}x}{10}-\frac{9}{5}\right|}^2}\end{array}$$

R = 
$$\left(\begin{array}{cc}\sqrt{10}& \frac{\sqrt{10}\hspace{0.17em}\left(3\hspace{0.17em}x+2\right)}{10}\\ 0& \sqrt{{\left|\frac{x}{10}-\frac{3}{5}\right|}^2+{\left|\frac{3\hspace{0.17em}x}{10}-\frac{9}{5}\right|}^2}\end{array}\right)$$

"real" 옵션을 사용하면 qr은 모든 기호 변수가 실수를 나타낸다고 가정하므로 보다 짧은 결과를 반환할 수 있습니다.

[Q,R] = qr(A,"real")

Q = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{10}}{10}& -\frac{\frac{3\hspace{0.17em}x}{10}-\frac{9}{5}}{\sqrt{\frac{x^2}{10}-\frac{6\hspace{0.17em}x}{5}+\frac{18}{5}}}\\ \frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{10}}{10}& \frac{\frac{x}{10}-\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{x^2}{10}-\frac{6\hspace{0.17em}x}{5}+\frac{18}{5}}}\end{array}\right)$$

R = 
$$\left(\begin{array}{cc}\sqrt{10}& \frac{\sqrt{10}\hspace{0.17em}\left(3\hspace{0.17em}x+2\right)}{10}\\ 0& \sqrt{\frac{x^2}{10}-\frac{6\hspace{0.17em}x}{5}+\frac{18}{5}}\end{array}\right)$$

입력 인수

A — 기호 입력값

m×n 기호 행렬

기호 입력값으로, m×n 기호 행렬로 지정됩니다.

B — 기호 입력값

기호 벡터 | 기호 행렬

기호 입력값으로, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다. B에는 A와 같은 개수의 행이 있어야 합니다.

outputForm — 치환 출력값의 형태

"matrix" (디폴트 값) | "vector"

치환 출력값의 형태로, "matrix" 또는 "vector"로 지정됩니다. 이 옵션은 치환 출력값 P가 치환 행렬 또는 벡터 중 무엇으로 반환될지를 제어합니다. 이 옵션을 사용하려면 세 개의 출력 인수를 qr에 지정해야 합니다.

• outputForm이 "matrix"이면 P는 A*P = Q*R을 충족하는 치환 행렬입니다.

• outputForm이 "vector"이면 P는 A(:,P) = Q*R을 충족하는 치환 벡터입니다.

출력 인수

R — QR 분해의 R 인수

상부 삼각 기호 행렬

QR 분해의 R 인수로, m×n 행렬 A에 대해 A = Q*R을 충족하는 상부 삼각 기호 행렬로 반환됩니다.

Q — QR 분해의 Q 인수

유니타리 기호 행렬

QR 분해의 Q 인수로, m×n 행렬 A에 대해 A = Q*R을 충족하는 유니타리 기호 행렬로 반환됩니다.

• 완전 분해의 경우, qr(A)는 Q를 m×m 유니타리 기호 행렬로 반환합니다.

• m > n인 사각 행렬 A의 경우 효율적인 크기의 분해 qr(A,"econ")은 Q의 처음 n개 열과 R의 처음 n개 행만 계산합니다.

P — 치환 정보

행렬 | 벡터

치환 정보로, 배정밀도 값으로 구성된 행렬 또는 벡터로 반환됩니다. P의 형태는 outputForm의 값에 따라 달라집니다.

C — 선형 시스템 인수

기호 행렬

선형 시스템 인수로, C = Q'*B 및 X = R\C가 되는 행렬 방정식 A*X = B의 해를 나타내는 기호 행렬로 반환됩니다. 치환 출력값 P를 지정하면 outputForm이 "matrix"일 때는 해가 X = P*(R\C)가 되고, outputForm이 "vector"일 때는 해가 X(P,:) = R\C가 됩니다.

세부 정보

행렬의 QR 분해

QR 분해는 m×n 행렬 A를 A = Q*R로 표현합니다. 완전 분해의 경우, Q는 m×m 유니타리 행렬이고 R은 m×n 상부 삼각 행렬입니다. A의 성분이 실수이면 Q는 직교 행렬입니다.

팁

• 상부 삼각 행렬 R은 조건 R = chol(A'*A)를 충족합니다.

• 인수 "econ"과 0은 반환된 행렬의 형태에만 영향을 줍니다.

• 기호 객체가 아닌 숫자형 행렬(sym, syms 또는 vpa로 만들지 않은 행렬)에 대해 qr을 호출하면 MATLAB^® qr 함수가 호출됩니다.

• 기호 변수를 많이 사용한 행렬 계산은 속도가 느릴 수 있습니다. 계산 속도를 높이려면 일부 변수에 지정된 값을 대입하여 기호 변수의 개수를 줄이십시오.

버전 내역

R2014a에 개발됨

R2023a: 효율적인 크기의 분해는 치환 정보를 행렬로 반환합니다

기호 입력값을 효율적인 크기로 분해하기 위한 구문 [Q,R,P] = qr(A,"econ")과 [C,R,P] = qr(A,B,"econ")은 이제 치환 정보를 행렬 P로 반환합니다. 이전 릴리스에서는 구문이 치환 정보를 벡터 P로 반환했습니다.

• R2023a부터 구문 qr(__,"econ")과 qr(__,"econ","matrix")는 모두 동일합니다. 둘 다 치환 정보를 행렬 P로 반환합니다. 또한 구문 qr(__,0)과 qr(__,"econ","vector")는 동일합니다. 둘 다 치환 정보를 벡터 P로 반환합니다.

• R2023a 이전에는 구문 qr(__,"econ"), qr(__,0), qr(__,"econ","vector")가 모두 동일했습니다. 모두 치환 정보를 벡터 P로 반환했습니다. 이전에는 구문 qr(__,"econ","matrix")가 오류를 반환했습니다.

참고 항목

chol | eig | lu | svd