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qr
QR 분해
구문
설명
___ = qr(___,'real')은 입력 인수와 중간 결과가 실수라고 가정하며, 그에 따라 abs와 conj에 대한 호출을 차단합니다. 이 플래그를 사용하면 qr은 모든 기호 변수가 실수를 나타낸다고 가정합니다. 이 플래그를 사용할 때는 모든 숫자형 인수가 실수인지 확인하십시오.
결과가 켤레 복소수로 나오는 것을 방지하려면 'real'을 사용하십시오.
예제
QR 분해의 R 부분
4×4 윌킨슨 고유값 테스트 행렬의 QR 분해의 R 부분을 계산합니다.
4×4 윌킨슨 고유값 테스트 행렬을 만듭니다.
A = sym(wilkinson(4))
A = [ 3/2, 1, 0, 0] [ 1, 1/2, 1, 0] [ 0, 1, 1/2, 1] [ 0, 0, 1, 3/2]
출력 인수가 하나인 구문을 사용하여 QR 분해의 Q 부분을 반환하지 않고 R 부분을 반환합니다.
R = qr(A)
R = [ 13^(1/2)/2, (4*13^(1/2))/13, (2*13^(1/2))/13, 0] [ 0, (13^(1/2)*53^(1/2))/26, (10*13^(1/2)*53^(1/2))/689, (2*13^(1/2)*53^(1/2))/53] [ 0, 0, (53^(1/2)*381^(1/2))/106, (172*53^(1/2)*381^(1/2))/20193] [ 0, 0, 0, (35*381^(1/2))/762]
파스칼 행렬의 QR 분해
3×3 파스칼 행렬의 QR 분해를 계산합니다.
3×3 파스칼 행렬을 만듭니다.
A = sym(pascal(3))
A = [ 1, 1, 1] [ 1, 2, 3] [ 1, 3, 6]
A의 QR 분해를 나타내는 Q 행렬과 R 행렬을 구합니다.
[Q,R] = qr(A)
Q = [ 3^(1/2)/3, -2^(1/2)/2, 6^(1/2)/6] [ 3^(1/2)/3, 0, -6^(1/2)/3] [ 3^(1/2)/3, 2^(1/2)/2, 6^(1/2)/6] R = [ 3^(1/2), 2*3^(1/2), (10*3^(1/2))/3] [ 0, 2^(1/2), (5*2^(1/2))/2] [ 0, 0, 6^(1/2)/6]
isAlways를 사용하여 A = Q*R인지 확인합니다.
isAlways(A == Q*R)
ans =
3×3 logical array
1 1 1
1 1 1
1 1 1치환 정보
치환을 사용하면 부동소수점 행렬에 대한 QR 분해의 수치적 안정성을 높이는 데 도움이 됩니다. qr 함수는 치환 정보를 행렬 또는 벡터로 반환합니다.
가변 정밀도 연산방식에 사용되는 유효 소숫점 자릿수를 10으로 설정합니다. 부동소수점 숫자로 3×3 기호 힐베르트 행렬을 근사합니다.
previoussetting = digits(10); A = vpa(hilb(3))
A = [ 1.0, 0.5, 0.3333333333] [ 0.5, 0.3333333333, 0.25] [ 0.3333333333, 0.25, 0.2]
먼저 치환 없이 A의 QR 분해를 계산합니다.
[Q,R] = qr(A)
Q = [ 0.8571428571, -0.5016049166, 0.1170411472] [ 0.4285714286, 0.5684855721, -0.7022468832] [ 0.2857142857, 0.6520863915, 0.7022468832] R = [ 1.166666667, 0.6428571429, 0.45] [ 0, 0.1017143303, 0.1053370325] [ 0, 0, 0.003901371573]
A와 Q*R 사이의 차이를 계산합니다. 위에서 구한 Q 행렬과 R 행렬은 반올림 오차 때문에 등식 A*P = Q*R을 엄밀히 충족하지 않습니다.
A - Q*R
ans = [ -1.387778781e-16, -3.989863995e-16, -2.064320936e-16] [ -3.469446952e-18, -8.847089727e-17, -1.084202172e-16] [ -2.602085214e-18, -6.591949209e-17, -6.678685383e-17]
QR 분해의 수치적 안정성을 높이려면 출력 인수 3개를 갖는 구문을 지정하여 치환을 사용하십시오. 기호 변수, 표현식 또는 함수를 포함하지 않는 행렬의 경우, 이 구문은 반환되는 행렬 R의 abs(diag(R))이 감소하도록 피벗 연산을 트리거합니다.
[Q,R,P] = qr(A)
Q =
[ 0.8571428571, -0.4969293466, -0.1355261854]
[ 0.4285714286, 0.5421047417, 0.7228063223]
[ 0.2857142857, 0.6776309272, -0.6776309272]
R =
[ 1.166666667, 0.45, 0.6428571429]
[ 0, 0.1054092553, 0.1016446391]
[ 0, 0, 0.003764616262]
P =
1 0 0
0 0 1
0 1 0등식 A*P = Q*R을 다시 확인합니다. 치환을 사용한 QR 분해의 결과로 반올림 오차가 줄어듭니다.
A*P - Q*R
ans = [ -3.469446952e-18, -4.33680869e-18, -6.938893904e-18] [ 0, -8.67361738e-19, -1.734723476e-18] [ 0, -4.33680869e-19, -1.734723476e-18]
이번에는 'vector' 인수를 사용하여 치환 정보를 벡터로 반환합니다.
[Q,R,p] = qr(A,'vector')
Q =
[ 0.8571428571, -0.4969293466, -0.1355261854]
[ 0.4285714286, 0.5421047417, 0.7228063223]
[ 0.2857142857, 0.6776309272, -0.6776309272]
R =
[ 1.166666667, 0.45, 0.6428571429]
[ 0, 0.1054092553, 0.1016446391]
[ 0, 0, 0.003764616262]
p =
1 3 2A(:,p) = Q*R인지 확인합니다.
A(:,p) - Q*R
ans = [ -3.469446952e-18, -4.33680869e-18, -6.938893904e-18] [ 0, -8.67361738e-19, -1.734723476e-18] [ 0, -4.33680869e-19, -1.734723476e-18]
정확한 기호 계산을 사용하여 반올림 오차를 방지할 수 있습니다.
A = sym(hilb(3)); [Q,R] = qr(A); A - Q*R
ans = [ 0, 0, 0] [ 0, 0, 0] [ 0, 0, 0]
유효 소숫점 자릿수를 디폴트 설정으로 복원합니다.
digits(previoussetting)
QR 분해를 사용하여 행렬 방정식 풀기
qr을 사용하여 행렬 형식의 연립방정식을 풀 수 있습니다.
연립방정식 A*X
= b를 풀어야 한다고 가정하겠습니다. 여기서 A와 b는 다음과 같은 행렬과 벡터입니다.
A = sym(invhilb(5)) b = sym([1:5]')
A = [ 25, -300, 1050, -1400, 630] [ -300, 4800, -18900, 26880, -12600] [ 1050, -18900, 79380, -117600, 56700] [ -1400, 26880, -117600, 179200, -88200] [ 630, -12600, 56700, -88200, 44100] b = 1 2 3 4 5
qr을 사용하여 C = Q'*B와 A = Q*R이 되는 행렬 C와 R을 구합니다.
[C,R] = qr(A,b);
해 X를 계산합니다.
X = R\C
X =
5
71/20
197/70
657/280
1271/630isAlways를 사용하여 X가 시스템 A*X
= b의 해인지 확인합니다.
isAlways(A*X == b)
ans =
5×1 logical array
1
1
1
1
1치환 정보를 갖는 QR 분해를 사용하여 행렬 방정식 풀기
부동소수점 숫자를 포함하는 연립방정식을 풀 때는 치환 행렬 또는 벡터를 갖는 QR 분해를 사용하십시오.
연립방정식 A*X
= b를 풀어야 한다고 가정하겠습니다. 여기서 A와 b는 다음과 같은 행렬과 벡터입니다.
previoussetting = digits(10); A = vpa([2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1]); b = vpa([2; 0; -1]);
qr을 사용하여 C = Q'*B와 A = Q*R이 되는 행렬 C와 R을 구합니다.
[C,R,P] = qr(A,b)
C =
-2.110579412
-0.2132007164
0.7071067812
R =
[ 3.31662479, 0.3015113446, -1.507556723]
[ 0, 1.705605731, -1.492405014]
[ 0, 0, 0.7071067812]
P =
0 0 1
1 0 0
0 1 0해 X를 계산합니다.
X = P*(R\C)
X = 1.0 -0.25 0.75
또는 치환 정보를 벡터로 반환합니다.
[C,R,p] = qr(A,b,'vector')
C =
-2.110579412
-0.2132007164
0.7071067812
R =
[ 3.31662479, 0.3015113446, -1.507556723]
[ 0, 1.705605731, -1.492405014]
[ 0, 0, 0.7071067812]
p =
2 3 1여기서는 해 X를 다음과 같이 계산합니다.
X(p,:) = R\C
X = 1.0 -0.25 0.75
유효 소숫점 자릿수를 디폴트 설정으로 복원합니다.
digits(previoussetting)
"효율적인 크기"의 분해
'econ'을 사용하여 “효율적인 크기”의 QR 분해를 계산합니다.
4×4 파스칼 행렬의 처음 2개 열로 구성된 행렬을 만듭니다.
A = sym(pascal(4)); A = A(:,1:2)
A = [ 1, 1] [ 1, 2] [ 1, 3] [ 1, 4]
이 행렬의 QR 분해를 계산합니다.
[Q,R] = qr(A)
Q = [ 1/2, -(3*5^(1/2))/10, (3^(1/2)*10^(1/2))/10, 0] [ 1/2, -5^(1/2)/10, -(2*3^(1/2)*10^(1/2))/15, 6^(1/2)/6] [ 1/2, 5^(1/2)/10, -(3^(1/2)*10^(1/2))/30, -6^(1/2)/3] [ 1/2, (3*5^(1/2))/10, (3^(1/2)*10^(1/2))/15, 6^(1/2)/6] R = [ 2, 5] [ 0, 5^(1/2)] [ 0, 0] [ 0, 0]
이번에는 이 행렬에 대해 “효율적인 크기”의 QR 분해를 계산합니다. 행 개수가 열 개수보다 크므로 qr은 Q의 처음 2개 열과 R의 처음 2개 행만 계산합니다.
[Q,R] = qr(A,'econ')
Q = [ 1/2, -(3*5^(1/2))/10] [ 1/2, -5^(1/2)/10] [ 1/2, 5^(1/2)/10] [ 1/2, (3*5^(1/2))/10] R = [ 2, 5] [ 0, 5^(1/2)]
켤레 복소수 방지하기
결과가 켤레 복소수로 나오는 것을 방지하려면 'real' 플래그를 사용하십시오.
요소 하나가 변수인 행렬을 만듭니다.
syms x A = [1 2; 3 x]
A = [ 1, 2] [ 3, x]
이 행렬의 QR 분해를 계산합니다. 기본적으로 qr은 x가 복소수를 나타낸다고 가정하므로 결과는 abs 함수를 사용하는 표현식을 포함합니다.
[Q,R] = qr(A)
Q =
[ 10^(1/2)/10, -((3*x)/10 - 9/5)/(abs(x/10 - 3/5)^2...
+ abs((3*x)/10 - 9/5)^2)^(1/2)]
[ (3*10^(1/2))/10, (x/10 - 3/5)/(abs(x/10 - 3/5)^2...
+ abs((3*x)/10 - 9/5)^2)^(1/2)]
R =
[ 10^(1/2), (10^(1/2)*(3*x + 2))/10]
[ 0, (abs(x/10 - 3/5)^2 + abs((3*x)/10 - 9/5)^2)^(1/2)]'real'을 사용하면 qr은 모든 기호 변수가 실수를 나타낸다고 가정하므로 보다 짧은 결과를 반환할 수 있습니다.
[Q,R] = qr(A,'real')
Q =
[ 10^(1/2)/10, -((3*x)/10 - 9/5)/(x^2/10 - (6*x)/5...
+ 18/5)^(1/2)]
[ (3*10^(1/2))/10, (x/10 - 3/5)/(x^2/10 - (6*x)/5...
+ 18/5)^(1/2)]
R =
[ 10^(1/2), (10^(1/2)*(3*x + 2))/10]
[ 0, (x^2/10 - (6*x)/5 + 18/5)^(1/2)]입력 인수
출력 인수
세부 정보
팁
상부 삼각 행렬
R은 조건R = chol(A'*A)를 충족합니다.인수
'econ'과0은 반환된 행렬의 형태에만 영향을 줍니다.기호 객체가 아닌 숫자형 행렬(
sym,syms또는vpa로 만들지 않은 행렬)에 대해qr을 호출하면 MATLAB®qr함수가 호출됩니다.'vector'대신'matrix'를 사용하면 기본적으로qr은 치환 행렬을 반환합니다.'matrix'와'econ'을 사용하면qr은 오류를 발생시킵니다.기호 변수를 많이 사용한 행렬 계산은 속도가 느릴 수 있습니다. 계산 속도를 높이려면 일부 변수에 주어진 값을 대입하여 기호 변수의 수를 줄이십시오.
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