Symbolic Math Toolbox를 사용한 해석적 플로팅

라이브 스크립트 열기

Symbolic Math Toolbox™는 숫자 데이터를 명시적으로 생성하지 않고도 수학 표현식의 해석적 플로팅을 제공합니다. 이러한 플롯은 2차원 또는 3차원의 선, 곡선, 등고선, 곡면 또는 메시일 수 있습니다.

다음 예제에서는 기호 함수, 기호 표현식 및 기호 방정식을 입력값으로 받는 다음과 같은 그래픽스 함수를 사용합니다.

fplot
fimplicit
fcontour
fplot3
fsurf
fmesh
fimplicit3

`fplot`을 사용하여 양함수 $y = f (x)$ 플로팅하기

함수 $\sin (\exp (x))$ 를 플로팅합니다.

syms x
fplot(sin(exp(x)))

삼각 함수 $\sin (x)$ , $\cos (x)$ 및 $\tan (x)$ 를 동시에 플로팅합니다.

fplot([sin(x),cos(x),tan(x)])

$a$ 의 여러 값에 대해 $y = f (x, a)$ 로 정의된 함수 플로팅하기

$a = 1, 2$ , $4$ 에 대해 함수 $\sin (\exp (x / a))$ 를 플로팅합니다.

syms x a
expr = sin(exp(x/a));
fplot(subs(expr,a,[1,2,4]))
legend show

함수의 도함수와 적분 플로팅하기

함수 $f (x) = x (1 + x) + 2$ , 그 도함수 $d f (x) / d x$ 및 적분 $\int f (x) d x$ 를 플로팅합니다.

syms f(x)
f(x) = x*(1 + x) + 2

f(x) =  $x (x + 1) + 2$

f_diff = diff(f(x),x)

f_diff =  $2 x + 1$

f_int = int(f(x),x)

f_int = 
 $\frac{x (2 x^{2} + 3 x + 12)}{6}$

fplot([f,f_diff,f_int])
legend({'$f(x)$','$df(x)/dx$','$\int f(x)dx$'},'Interpreter','latex','FontSize',12)

$a$ 를 가로 축으로 하여 함수 $y = g (x_{0}, a)$ 플로팅하기

미분 방정식 $d g (x, a) / d x = 0$ 을 풀어 함수 $g (x, a)$ 를 최소화하는 $x_{0}$ 을 구합니다.

syms g(x,a);
assume(a>0);
g(x,a) = a*x*(a + x) + 2*sqrt(a)

g(x, a) =  $2 \sqrt{a} + a x (a + x)$

x0 = solve(diff(g,x),x)

x0 = 
 $- \frac{a}{2}$

$a$ 가 0부터 5까지일 때 $g (x_{0}, a)$ 의 최소값을 플로팅합니다.

fplot(g(x0,a),[0 5])
xlabel('a')
title('Minimum Value of $g(x_0,a)$ Depending on $a$','interpreter','latex')

`fimplicit`를 사용하여 음함수 $f (x, y) = c$ 플로팅하기

반지름 $r$ 이 1부터 10까지의 정수일 때 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 로 정의된 원을 플로팅합니다.

syms x y
r = 1:10;
fimplicit(x^2 + y^2 == r.^2,[-10 10])
axis square;

`fcontour`를 사용하여 함수 $f (x, y)$ 의 등고선 플로팅하기

등고선 레벨이 –6부터 6까지일 때 함수 $f (x, y) = x^{3} - 4 x - y^{2}$ 의 등고선을 플로팅합니다.

syms x y f(x,y)
f(x,y) = x^3 - 4*x - y^2;
fcontour(f,[-3 3 -4 4],'LevelList',-6:6);
colorbar
title 'Contour of Some Elliptic Curves'

스플라인 보간을 사용하여 해석 함수와 그 근삿값 플로팅하기

해석 함수 $f (x) = x \exp (- x) \sin (5 x) - 2$ 를 플로팅합니다.

syms f(x)
f(x) = x*exp(-x)*sin(5*x) -2;
fplot(f,[0,3])

해석 함수에서 몇 개의 데이터 점을 생성합니다.

xs = 0:1/3:3;
ys = double(subs(f,xs));

데이터 점과 해석 함수를 근사하는 스플라인 보간을 플로팅합니다.

hold on
plot(xs,ys,'*k','DisplayName','Data Points')
fplot(@(x) spline(xs,ys,x),[0 3],'DisplayName','Spline interpolant')
grid on
legend show
hold off

함수의 테일러 근사 플로팅하기

$x = 0$ 근처에서 5차수 및 7차수까지 $\cos (x)$ 의 테일러 전개를 구합니다.

syms x
t5 = taylor(cos(x),x,'Order',5)

t5 = 
 $\frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{2}}{2} + 1$

t7 = taylor(cos(x),x,'Order',7)

t7 = 
 $- \frac{x^{6}}{720} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{2}}{2} + 1$

$\cos (x)$ 및 그 테일러 근사를 플로팅합니다.

fplot(cos(x))
hold on;
fplot([t5 t7],'--')
axis([-4 4 -1.5 1.5])
title('Taylor Series Approximations of cos(x) up to 5th and 7th Order')
legend show
hold off;

구형파의 푸리에 급수 근사 플로팅하기

주기 $2 π$ 및 진폭 $π / 4$ 인 구형파는 푸리에 급수 전개로 근사할 수 있습니다.

$\sin (t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + \frac{1}{5} \sin (5 t) + . . . .$

주기 $2 π$ 및 진폭 $π / 4$ 인 구형파를 플로팅합니다.

syms t y(t)
y(t) = piecewise(0 < mod(t,2*pi) <= pi, pi/4, pi < mod(t,2*pi) <= 2*pi, -pi/4);
fplot(y)

구형파의 푸리에 급수 근사를 플로팅합니다.

hold on;
n = 6;
yFourier = cumsum(sin((1:2:2*n-1)*t)./(1:2:2*n-1));
fplot(yFourier,'LineWidth',1)
hold off

푸리에 급수 근사는 비약 불연속(jump discontinuity)에서 오버슈트되며 근사에 항을 더 많이 더해가도 "링잉 현상"이 사라지지 않습니다. 이 동작을 깁스 현상이라고도 합니다.

`fplot3`을 사용하여 파라미터 곡선 $(x (t), y (t), z (t))$ 플로팅하기

$t$ 가 –10부터 10까지일 때 $(\sin (t), \cos (t), t / 4)$ 로 정의된 나선을 플로팅합니다.

syms t
fplot3(sin(t),cos(t),t/4,[-10 10],'LineWidth',2)
view([-45 45])

`fsurf`를 사용하여 $z = f (x, y)$ 로 정의된 곡면 플로팅하기

$\log (x) + \exp (y)$ 로 정의된 곡면을 플로팅합니다. (숫자 데이터를 생성하지 않은 채) fsurf를 사용하여 그리는 해석적 플로팅은 $x = 0$ 근처에서 곡선 영역과 점근적 영역을 보여줍니다.

syms x y
fsurf(log(x) + exp(y),[0 2 -1 3])
xlabel('x')

`fsurf`를 사용하여 다변량 곡면 $(x (u, v), y (u, v), z (u, v))$ 플로팅하기

다음과 같이 정의한 다변량 곡면을 플로팅합니다.

$x (u, v) = u$

$y (u, v) = f (u) \sin (v)$

$z (u, v) = f (u) \cos (v)$

여기서, $f (u) = \exp (- u^{2} / 3) \sin (u) + 3 / 2$ 입니다.

$u$ 의 플롯 구간을 –5~5로 설정하고 $v$ 의 플롯 구간을 0~2 $π$ 로 설정합니다.

syms f(u) x(u,v) y(u,v) z(u,v)
f(u) = sin(u)*exp(-u^2/3)+1.5;
x(u,v) = u;
y(u,v) = f(u)*sin(v);
z(u,v) = f(u)*cos(v);
fsurf(x,y,z,[-5 5 0 2*pi])

`fmesh`를 사용하여 다변량 곡면 $(x (s, t), y (s, t), z (s, t))$ 플로팅하기

다음과 같이 정의한 다변량 곡면을 플로팅합니다.

$x = r \cos (s) \sin (t)$

$y = r \sin (s) \sin (t)$

$z = r \cos (t)$

여기서, $r = 8 + \sin (7 s + 5 t)$ 입니다. fmesh를 사용하여 플로팅된 곡면을 메시로 표시합니다. $s$ 의 플롯 구간을 0~2 $π$ 로 설정하고 $t$ 의 플롯 구간을 0~ $π$ 로 설정합니다.

syms s t
r = 8 + sin(7*s + 5*t);
x = r*cos(s)*sin(t);
y = r*sin(s)*sin(t);
z = r*cos(t);
fmesh(x,y,z,[0 2*pi 0 pi],'Linewidth',2)
axis equal

`fimplicit3`을 사용하여 음함수 곡면 $f (x, y, z) = c$ 플로팅하기

음함수 곡면 $1 / x^{2} - 1 / y^{2} + 1 / z^{2} = 0$ 을 플로팅합니다.

syms x y z
f = 1/x^2 - 1/y^2 + 1/z^2;
fimplicit3(f)

곡면의 등고선과 기울기 플로팅하기

fsurf를 사용하여 곡면 $\sin (x) + \sin (y) - (x^{2} + y^{2}) / 20$ 을 플로팅합니다. 'ShowContours'를 'on'으로 설정하면 동일한 그래프에 등고선을 표시할 수 있습니다.

syms x y
f = sin(x)+sin(y)-(x^2+y^2)/20

f = 
 $\sin (x) + \sin (y) - \frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{20}$

fsurf(f,'ShowContours','on')
view(-19,56)

다음으로, 더 세밀한 등고선을 사용하여 별도의 그래프에 등고선을 플로팅합니다.

fcontour(f,[-5 5 -5 5],'LevelStep',0.1,'Fill','on')
colorbar

곡면의 기울기를 구합니다. meshgrid를 사용하여 2차원 그리드를 만들고 그리드 좌표를 대입하여 기울기를 수치적으로 계산합니다. quiver를 사용하여 기울기를 표시합니다.

hold on
Fgrad = gradient(f,[x,y])

Fgrad = 
 $(\begin{array}{c} \cos (x) - \frac{x}{10} \\ \cos (y) - \frac{y}{10} \end{array})$

[xgrid,ygrid] = meshgrid(-5:5,-5:5);
Fx = subs(Fgrad(1),{x,y},{xgrid,ygrid});
Fy = subs(Fgrad(2),{x,y},{xgrid,ygrid});
quiver(xgrid,ygrid,Fx,Fy,'k')
hold off

참고 항목

함수

fplot | fimplicit | fcontour | fplot3 | fsurf | fmesh | fimplicit3

Symbolic Math Toolbox를 사용한 해석적 플로팅

fplot을 사용하여 양함수 y=f(x) 플로팅하기

a의 여러 값에 대해 y=f(x,a)로 정의된 함수 플로팅하기

함수의 도함수와 적분 플로팅하기

a를 가로 축으로 하여 함수 y=g(x0,a) 플로팅하기

fimplicit를 사용하여 음함수 f(x,y)=c 플로팅하기

fcontour를 사용하여 함수 f(x,y)의 등고선 플로팅하기