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고르첼 알고리즘을 사용한 DFT 추정

이 예제에서는 고르첼 함수를 사용하여 DFT 기반 DTMF 검출 알고리즘을 구현하는 방법을 보여줍니다.

이중톤 다중 주파수(DTMF) 신호는 음성 통신 제어의 근간이 되며 현대적인 전화 기술에서 번호를 누르고 전화 교환대를 구성하는 데 전 세계적으로 널리 사용됩니다. 음성 사서함, 이메일, 텔레뱅킹과 같은 시스템에서도 사용됩니다.

DTMF 톤 생성하기

DTMF 신호는 2개의 상호 배타적인 주파수 집단에서 가져온 주파수를 갖는 2개의 정현파, 즉 2개의 톤의 합계로 구성됩니다. 이러한 주파수는 수신기가 고조파를 다른 DTMF 주파수로 잘못 감지하지 못하도록 선택됩니다. 각각의 톤 쌍은 저주파수 무리의 주파수 하나(697Hz, 770Hz, 852Hz, 941Hz)와 고주파수 무리의 주파수 하나(1209Hz, 1336Hz, 1477Hz)를 포함하며, 고유한 기호를 나타냅니다. 전화기 패드의 푸시 버튼에 할당되는 주파수는 다음과 같습니다.

전화 패드의 각 버튼에 대해 DTMF 신호를 생성하고 플로팅합니다. 각 신호는 샘플 레이트가 8Khz이고 지속 시간이 100ms입니다.

symbol = {'1','2','3','4','5','6','7','8','9','*','0','#'};
[tones, Fs, f, lfg, hfg] = helperDTMFToneGenerator(symbol, false);
helperDFTEstimationPlot1(tones, symbol, Fs, f);

Figure contains 12 axes. Axes 1 with title Symbol "1": [697,1209] contains an object of type line. Axes 2 with title Symbol "2": [697,1336] contains an object of type line. Axes 3 with title Symbol "3": [697,1477] contains an object of type line. Axes 4 with title Symbol "4": [770,1209] contains an object of type line. Axes 5 with title Symbol "5": [770,1336] contains an object of type line. Axes 6 with title Symbol "6": [770,1477] contains an object of type line. Axes 7 with title Symbol "7": [852,1209] contains an object of type line. Axes 8 with title Symbol "8": [852,1336] contains an object of type line. Axes 9 with title Symbol "9": [852,1477] contains an object of type line. Axes 10 with title Symbol "*": [941,1209] contains an object of type line. Axes 11 with title Symbol "0": [941,1336] contains an object of type line. Axes 12 with title Symbol "#": [941,1477] contains an object of type line.

DTMF 톤 재생하기

예를 들어, 전화번호 508-647-7000에 해당하는 톤을 재생합니다. "0" 기호는 11번째 톤에 해당합니다.

% To hear, uncomment these lines:

% for i = [5 11 8 6 4 7 7 11 11 11]
%     p = audioplayer(tones(:,i),Fs,16);
%     play(p)
%     pause(0.5)
% end

고르첼 알고리즘을 사용하여 DTMF 톤 추정하기

ITU 표준에서 정의하는 DTMF 신호의 최소 지속 시간은 40ms입니다. 따라서 추정 및 검출에 사용할 수 있는 샘플은 최대 0.04 x 8000 = 320개입니다. DTMF 디코더는 이러한 짧은 신호에 포함된 주파수를 추정해야 합니다.

이 추정 문제에 대한 한 가지 일반적인 접근 방법은 7개의 기본 톤에 가까운 이산시간 푸리에 변환(DFT) 샘플을 계산하는 것입니다. DFT 기반 솔루션에서는 주파수 영역에서 205개의 샘플을 사용하면 원래 주파수와 DFT가 추정되는 점 사이의 오차가 최소화된다는 것이 증명된 바 있습니다.

Nt = 205;
original_f = [lfg(:);hfg(:)]  % Original frequencies
original_f = 7×1

         697
         770
         852
         941
        1209
        1336
        1477

k = round(original_f/Fs*Nt);  % Indices of the DFT
estim_f = round(k*Fs/Nt)      % Frequencies at which the DFT is estimated
estim_f = 7×1

         702
         780
         859
         937
        1210
        1327
        1483

원래 주파수와 DFT가 추정되는 점 사이의 오차를 최소화하기 위해 톤을 자르고 추후 처리를 위해 205개의 샘플(25.6ms)만 남겨 두겠습니다.

tones = tones(1:205,:);

이 시점에서 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 사용하여 DFT를 계산할 수도 있습니다. 하지만 이 맥락에서 고르첼 알고리즘이 널리 사용되는 이유는 DFT가 추정되는 점의 개수가 적기 때문입니다. 이 경우에는 FFT 알고리즘보다 고르첼 알고리즘이 더 효율적입니다.

for toneChoice = 1:12
    % Select tone
    tone = tones(:,toneChoice);
    % Estimate DFT using Goertzel
    ydft(:,toneChoice) = goertzel(tone,k+1); % Goertzel uses 1-based indexing   
end

전화 패드에 대응되는 그리드 상에 각 톤의 고르첼 DFT 크기 추정값을 플로팅합니다.

helperDFTEstimationPlot2(ydft,symbol,f, estim_f);

Figure contains 12 axes. Axes 1 with title Symbol "1": [697,1209] contains an object of type stem. Axes 2 with title Symbol "2": [697,1336] contains an object of type stem. Axes 3 with title Symbol "3": [697,1477] contains an object of type stem. Axes 4 with title Symbol "4": [770,1209] contains an object of type stem. Axes 5 with title Symbol "5": [770,1336] contains an object of type stem. Axes 6 with title Symbol "6": [770,1477] contains an object of type stem. Axes 7 with title Symbol "7": [852,1209] contains an object of type stem. Axes 8 with title Symbol "8": [852,1336] contains an object of type stem. Axes 9 with title Symbol "9": [852,1477] contains an object of type stem. Axes 10 with title Symbol "*": [941,1209] contains an object of type stem. Axes 11 with title Symbol "0": [941,1336] contains an object of type stem. Axes 12 with title Symbol "#": [941,1477] contains an object of type stem.

DTMF 톤 검출하기

위에서 추정된 7개의 주파수에 존재하는 에너지를 측정하여 디지털 톤을 검출할 수 있습니다. 저주파 무리와 고주파 무리에 있는 최대 에너지 성분을 취하여 각 기호를 분리할 수 있습니다.

부록

이 예제에서는 다음 헬퍼 함수가 사용되었습니다.

참고 항목