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pmtm

멀티테이퍼 전력 스펙트럼 밀도 추정값

설명

예제

pxx = pmtm(x)는 입력 신호 x의 톰슨(Thomson) 멀티테이퍼 전력 스펙트럼 밀도(PSD) 추정값 pxx를 반환합니다. x가 벡터이면 단일채널로 처리됩니다. x가 행렬이면 PSD가 각 열에 대해 개별적으로 계산되어 pxx의 대응 열에 저장됩니다. 테이퍼는 이산 장형 타원체 시퀀스(DPSS), 즉 슬레피안(Slepian) 시퀀스입니다. 시간과 반대역폭의 곱 nw는 4입니다. 기본적으로 pmtm은 처음 2×nw – 1개 DPSS 시퀀스를 사용합니다. x가 실수 값이면 pxx는 단측 PSD 추정값입니다. x가 복소수 값이면 pxx는 양측 PSD 추정값입니다. 이산 푸리에 변환(DFT)에 포함된 점의 개수 nfft는 최대 256이거나 신호 길이보다 큰 첫 번째 2의 거듭제곱값입니다.

예제

pxx = pmtm(x,nw)는 시간과 반대역폭의 곱 nw를 사용하여 멀티테이퍼 PSD 추정값을 얻습니다. 시간과 반대역폭의 곱은 멀티테이퍼 추정값의 주파수 분해능을 조정합니다. pmtm은 PSD 추정값에 2×nw – 1개 슬레피안 테이퍼를 사용합니다.

예제

pxx = pmtm(x,nw,nfft)는 DFT에 포함된 nfft개 점을 사용합니다. nfft가 신호 길이보다 크면 x가 길이 nfft까지 0으로 채워집니다. nfft가 신호 길이보다 작으면 신호가 모듈로 nfft로 순환됩니다.

[pxx,w] = pmtm(___)은 정규화 주파수 벡터 w를 반환합니다. pxx가 단측 PSD 추정값인 경우, w의 구간은 nfft가 짝수이면 [0,π]이고, nfft가 홀수이면 [0,π)입니다. pxx가 양측 PSD 추정값인 경우, w의 구간은 [0,2π)입니다.

예제

[pxx,f] = pmtm(___,fs)는 주파수 벡터 f를 반환합니다(단위: 단위 시간당 주기). 샘플 레이트 fs는 단위 시간당 샘플 개수입니다. 시간 단위가 초이면 f는 주기/초(Hz) 단위를 사용합니다. 실수 값을 갖는 신호의 경우, f의 구간은 nfft가 짝수이면 [0,fs/2]이고, nfft가 홀수이면 [0,fs/2)입니다. 복소수 값을 갖는 신호의 경우, f의 구간은 [0,fs)입니다. fspmtm에 대한 네 번째 입력값이어야 합니다. 샘플 레이트를 입력하고 위에 열거된 옵션 인수의 디폴트 값을 그대로 사용하려면 이 인수를 빈 값 []로 지정하십시오.

[pxx,w] = pmtm(x,nw,w)w에 지정된 정규화 주파수에서 양측 멀티테이퍼 PSD 추정값을 반환합니다. 벡터 w는 적어도 2개의 요소를 가져야 합니다. 그러지 않으면 함수가 w를 nfft로 해석합니다.

[pxx,f] = pmtm(x,nw,f,fs)는 벡터 f에 지정된 주파수에서 양측 멀티테이퍼 PSD 추정값을 반환합니다. 벡터 f는 적어도 2개의 요소를 가져야 합니다. 그러지 않으면 함수가 f를 nfft로 해석합니다. f의 주파수는 단위 시간당 주기를 단위로 사용합니다. 샘플 레이트 fs는 단위 시간당 샘플 개수입니다. 시간 단위가 초이면 f는 주기/초(Hz) 단위를 사용합니다.

예제

[___] = pmtm(___,method)는 테이퍼가 적용된 개별 PSD 추정값을 메서드 method를 사용하여 결합합니다. method'adapt'(디폴트 값), 'eigen' 또는 'unity' 중 하나일 수 있습니다.

예제

[___] = pmtm(x,e,v)는 NxK 행렬 e의 테이퍼와 주파수 대역 [-w,w]의 집중도 v를 사용합니다. N은 입력 신호 x의 길이입니다. 슬레피안 테이퍼와 이에 대응하는 집중도를 구하려면 dpss를 사용하십시오.

[___] = pmtm(x,dpss_params)는 셀형 배열 dpss_params를 사용하여 입력 인수를 dpss에 전달합니다. 이때 시퀀스 요소 개수는 제외됩니다. 시퀀스의 요소 개수는 dpss에 대한 첫 번째 입력 인수이기 때문에 dpss_params에 포함되지 않습니다. 이 구문을 사용하는 경우를 예로 들면 pxx = pmtm(randn(1000,1),{2.5,3})입니다.

예제

[___] = pmtm(___,'DropLastTaper',dropflag)pmtm이 멀티테이퍼 PSD 추정값을 계산할 때 마지막 테이퍼가 제외되는지 여부를 지정합니다. dropflag는 논리형입니다. dropflag의 디폴트 값은 true이며 이 경우 PSD 추정값에 마지막 테이퍼가 사용되지 않습니다.

예제

[___] = pmtm(___,freqrange)freqrange로 지정된 주파수 범위에 대한 멀티테이퍼 PSD 추정값을 반환합니다. freqrange에 유효한 옵션은 'onesided', 'twosided', 'centered'입니다.

예제

[___,pxxc] = pmtm(___,'ConfidenceLevel',probability)pxxc에서 PSD 추정값의 probability × 100% 신뢰구간을 반환합니다.

예제

pmtm(___)에 출력 인수를 지정하지 않으면 현재 Figure 창에 멀티테이퍼 PSD 추정값을 플로팅합니다.

예제

모두 축소

가산성 N(0,1) 백색 잡음과 함께 각주파수 π/4 rad/sample을 갖는 이산시간 정현파로 구성된 입력 신호의 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다.

가산성 N(0,1) 백색 잡음과 함께 각주파수 π/4 rad/sample을 갖는 사인파를 생성합니다. 신호의 길이는 320개 샘플입니다. 시간과 반대역폭의 곱의 디폴트 값 4와 DFT 길이를 사용하여 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. DFT 점의 디폴트 개수는 512개입니다. 신호가 실수 값이므로 PSD 추정값은 단측이고 PSD 추정값에 512/2+1개 점이 있습니다.

n = 0:319;
x = cos(pi/4*n)+randn(size(n));
pxx = pmtm(x);

멀티테이퍼 PSD 추정값을 플로팅합니다.

pmtm(x)

지정된 시간과 반대역폭의 곱으로 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다.

가산성 N(0,1) 백색 잡음과 함께 각주파수 π/4 rad/sample을 갖는 사인파를 생성합니다. 신호의 길이는 320개 샘플입니다. 시간과 반대역폭의 곱을 2.5로 지정하여 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 분해능 대역폭은 [-2.5π/320,2.5π/320] rad/sample입니다. DFT 점의 디폴트 개수는 512개입니다. 신호가 실수 값이므로 PSD 추정값은 단측이고 PSD 추정값에 512/2+1개 점이 있습니다.

n = 0:319;
x = cos(pi/4*n)+randn(size(n));
pmtm(x,2.5)

가산성 N(0,1) 백색 잡음과 함께 각주파수 π/4 rad/sample을 갖는 이산시간 정현파로 구성된 입력 신호의 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 신호 길이와 동일한 DFT 길이를 사용합니다.

가산성 N(0,1) 백색 잡음과 함께 각주파수 π/4 rad/sample을 갖는 사인파를 생성합니다. 신호의 길이는 320개 샘플입니다. 시간과 반대역폭의 곱을 3으로 지정하고 DFT 길이를 신호 길이와 동일하게 하여 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 신호가 실수 값을 가지기 때문에 기본적으로 길이가 320/2+1인 단측 PSD 추정값이 반환됩니다.

n = 0:319;
x = cos(pi/4*n)+randn(size(n));
pmtm(x,3,length(x))

1kHz로 샘플링된 신호의 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 이 신호는 가산성 N(0,1) 백색 잡음이 있는 100Hz의 사인파입니다. 신호의 지속 시간은 2s입니다. 시간과 반대역폭의 곱을 3으로 지정하고 DFT 길이를 신호 길이와 동일하게 합니다.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));
[pxx,f] = pmtm(x,3,length(x),fs);

멀티테이퍼 PSD 추정값을 플로팅합니다.

pmtm(x,3,length(x),fs)

테이퍼가 적용된 직접 스펙트럼 추정값 각각에 평균적으로 동일한 가중치를 적용하여, 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다.

1kHz로 샘플링된 신호의 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 이 신호는 가산성 N(0,1) 백색 잡음이 있는 100Hz의 사인파입니다. 신호의 지속 시간은 2s입니다. 시간과 반대역폭의 곱을 3으로 지정하고 DFT 길이를 신호 길이와 동일하게 합니다. 'unity' 옵션을 사용하여, 테이퍼가 적용된 직접 스펙트럼 추정값 각각에 평균적으로 동일한 가중치를 적용합니다.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));
[pxx,f] = pmtm(x,3,length(x),fs,'unity');

멀티테이퍼 PSD 추정값을 플로팅합니다.

pmtm(x,3,length(x),fs,'unity')

이 예제에서는 DPSS 시퀀스의 주파수 영역 집중도를 살펴봅니다. 또한 슬레피안 시퀀스를 미리 계산하고 그중에서 분해능 대역폭에 집중된 에너지가 99%를 넘는 시퀀스만 선택하여, 입력 신호의 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다.

이 신호는 가산성 N(0,1) 백색 잡음이 있는 100Hz의 사인파입니다. 신호의 지속 시간은 2s입니다.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));

시간과 반대역폭의 곱을 3.5로 설정합니다. 신호 길이가 2000개 샘플이고 샘플링 간격이 0.001초인 경우 분해능 대역폭은 [-1.75,1.75] Hz가 됩니다. 처음 10개의 슬레피안 시퀀스를 계산하고, 지정된 분해능 대역폭에서 해당 주파수 집중도를 살펴봅니다.

[e,v] = dpss(length(x),3.5,10);

stem(1:length(v),v,'filled')
ylim([0 1.2])
title('Proportion of Energy in [-w,w] of k-th Slepian Sequence')

에너지 집중도가 99%가 넘는 슬레피안 시퀀스 개수를 확인합니다. 선택한 DPSS 시퀀스를 사용하여 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 선택한 테이퍼를 모두 사용하려면 'DropLastTaper'false로 설정하십시오.

hold on
plot(1:length(v),0.99*ones(length(v),1))

idx = find(v>0.99,1,'last')
idx = 5
[pxx,f] = pmtm(x,e(:,1:idx),v(1:idx),length(x),fs,'DropLastTaper',false);

멀티테이퍼 PSD 추정값을 플로팅합니다.

figure
pmtm(x,e(:,1:idx),v(1:idx),length(x),fs,'DropLastTaper',false)

가산성 N(0,1) 잡음이 있는 100Hz 사인파의 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 데이터는 1kHz로 샘플링됩니다. 'centered' 옵션을 사용하여 DC 중심 PSD를 구합니다.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));
[pxx,f] = pmtm(x,3.5,length(x),fs,'centered');

DC 중심 PSD 추정값을 플로팅합니다.

pmtm(x,3.5,length(x),fs,'centered')

다음 예제에서는 멀티테이퍼 PSD 추정값에서 신뢰한계를 사용하는 것을 다룹니다. 통계적 유의성에 있어 필요 조건은 아니지만, 주변 PSD 추정값의 신뢰 하한이 신뢰 상한을 초과하는 멀티테이퍼 PSD 추정값의 주파수는 시계열에서 유의미한 진동을 명확하게 나타냅니다.

가산성 백색 N(0,1) 잡음에서 중첩된 형태의 100Hz 사인파와 150Hz 사인파로 구성된 신호를 생성합니다. 두 사인파의 진폭은 1입니다. 샘플링 주파수는 1kHz입니다. 신호의 지속 시간은 2s입니다.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*150*t)+randn(size(t));

95% 신뢰한계를 갖는 멀티테이퍼 PSD 추정값을 구합니다. 신뢰구간에 따라 PSD 추정값을 플로팅하고 100Hz와 150Hz 근처의 주파수 관심 영역을 확대합니다.

[pxx,f,pxxc] = pmtm(x,3.5,length(x),fs,'ConfidenceLevel',0.95);

plot(f,10*log10(pxx))
hold on
plot(f,10*log10(pxxc),'r-.')
xlim([85 175])
xlabel('Hz')
ylabel('dB')
title('Multitaper PSD Estimate with 95%-Confidence Bounds')

100Hz와 150Hz의 바로 인근에 있는 신뢰 하한은 100Hz와 150Hz 주변을 벗어난 신뢰 상한보다 상당히 높습니다.

가산성 N(0,1) 백색 가우스 잡음(AWGN)에서 3개의 정현파로 구성된 다중채널 신호의 샘플 1024개를 생성합니다. 정현파의 주파수는 π/2 rad/sample, π/3 rad/sample, π/4 rad/sample입니다. 톰슨(Thomson)의 멀티테이퍼 방법을 사용하여 신호의 PSD를 추정하고 플로팅합니다.

N = 1024;
n = 0:N-1;

w = pi./[2;3;4];
x = cos(w*n)' + randn(length(n),3);

pmtm(x)

입력 인수

모두 축소

입력 신호로, 행 벡터나 열 벡터 또는 행렬로 지정됩니다. x가 행렬이면, 이 행렬의 각 열은 독립적인 채널로 처리됩니다.

예: cos(pi/4*(0:159))+randn(1,160)은 단일채널 행 벡터 신호입니다.

예: cos(pi./[4;2]*(0:159))'+randn(160,2)는 2채널 신호입니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부:

시간과 반대역폭의 곱으로, 양의 스칼라로 지정됩니다. 멀티테이퍼 스펙트럼 추정 시 사용자는 멀티테이퍼 추정값의 분해능 대역폭 [–W,W]를 지정합니다. 여기서 어느 정도 작은 k > 1에 대해 W = k/NΔt입니다. 이와 동등한 의미에서, W는 DFT 주파수 분해능의 어느 정도 작은 배수입니다. 시간과 반대역폭의 곱은 분해능 반대역폭과 입력 신호에 포함된 샘플 개수 N을 곱한 것입니다. 푸리에 변환이 [–W,W]에 잘 집중되어 있는(고유값이 단위 값에 가까움) 슬레피안 테이퍼 개수는 2NW – 1입니다.

DFT를 적용할 지점의 개수로, 양의 정수로 지정됩니다. 실수 값을 갖는 입력 신호 x의 경우, nfft가 짝수이면 PSD 추정값 pxx의 길이가 (nfft/2 + 1)이고, nfft가 홀수이면 길이가 (nfft + 1)/2입니다. 복소수 값을 갖는 입력 신호 x의 경우, PSD 추정값은 항상 길이가 nfft입니다. nfft가 빈 값으로 지정되면 디폴트 nfft가 사용됩니다.

데이터형: single | double

샘플 레이트로, 양의 스칼라로 지정됩니다. 샘플 레이트는 단위 시간당 샘플 개수입니다. 시간 단위가 초이면 샘플 레이트의 단위는 Hz입니다.

정규화 주파수로, 적어도 2개의 요소를 가진 행 벡터나 열 벡터로 지정됩니다. 정규화 주파수는 rad/sample을 단위로 사용합니다.

예: w = [pi/4 pi/2]

데이터형: double

주파수로, 적어도 2개의 요소를 가진 행 벡터나 열 벡터로 지정됩니다. 주파수는 단위 시간당 주기를 단위로 사용합니다. 단위 시간은 샘플 레이트 fs로 지정됩니다. fs의 단위가 샘플/초이면 f는 Hz 단위입니다.

예: fs = 1000; f = [100 200]

데이터형: double

테이퍼가 적용된 개별 PSD 추정값에 대한 가중치로, 'adapt', 'eigen' 또는 'unity' 중 하나로 지정됩니다. 디폴트 값은 톰슨(Thomson)의 주파수 종속적 가변 가중치인 'adapt'입니다. 이러한 가중치 계산 방법은 [1]의 368~370페이지에 설명되어 있습니다. 'eigen' 메서드는 테이퍼가 적용된 각 PSD 추정값에 이에 대응하는 슬레피안 테이퍼의 고유값(주파수 집중도)을 가중치로 적용합니다. 'unity' 메서드는 테이퍼가 적용된 각 PSD 추정값에 동일하게 가중치를 적용합니다.

DPSS(슬레피안) 시퀀스로, NxK 행렬(여기서 N은 입력 신호 x의 길이)로 지정됩니다. 행렬 edpss의 출력값입니다.

DPSS(슬레피안) 시퀀스의 고유값으로, 열 벡터로 지정됩니다. DPSS 시퀀스의 고유값은 시퀀스 에너지 비율이 분해능 대역폭 [-W, W]에 집중되어 있음을 나타냅니다. 고유값 범위는 구간 (0,1) 내에 속하며, 대개 처음 2NW-1개 고유값이 1에 가깝고 이후에는 0쪽으로 감소합니다.

dpss의 입력 인수로, 셀형 배열로 지정됩니다. dpss에 대한 첫 번째 입력 인수는 DPSS 시퀀스의 길이이며, dpss_params에서 생략됩니다. DPSS 시퀀스의 길이는 입력 신호 x의 길이에서 구합니다.

예: {3.5,5}

마지막 DPSS 시퀀스를 제외할지 또는 유지할지 여부를 나타내는 플래그로, 논리형으로 지정됩니다. 디폴트 값은 true이며 pmtm은 마지막 테이퍼를 제외시킵니다. 멀티테이퍼 추정값에서 처음 2NW – 1개 DPSS 시퀀스는 단위 값에 가까운 고유값을 갖습니다. 2NW – 1개 보다 작은 시퀀스를 사용하는 경우, 모든 테이퍼의 고유값이 1에 가까울 수 있으며 마지막 테이퍼를 유지하려면 dropflagfalse로 지정하면 됩니다.

PSD 추정값의 주파수 범위로, 'onesided', 'twosided' 또는 'centered'로 지정됩니다. 디폴트 값은 실수 값을 갖는 신호의 경우 'onesided'이고, 복소수 값을 갖는 신호의 경우 'twosided'입니다. 각 옵션에 대응되는 주파수 범위는 다음과 같습니다.

  • 'onesided' — 실수 값을 갖는 입력 신호 x의 단측 PSD 추정값을 반환합니다. nfft가 짝수이면 pxx의 길이는 nfft/2 + 1이고 구간 [0,π] rad/sample에 대해 계산됩니다. nfft가 홀수이면 pxx의 길이는 (nfft + 1)/2이고 구간은 [0,π) rad/sample입니다. fs가 선택적으로 지정된 경우 이에 대응되는 구간은 짝수 길이와 홀수 길이 nfft 각각에 대해 [0,fs/2] cycles/unit time 및 [0,fs/2) cycles/unit time입니다.

  • 'twosided' — 실수 값 또는 복소수 값 입력 x의 양측 PSD 추정값을 반환합니다. 이 경우, pxx의 길이는 nfft이고 구간 [0,2π) rad/sample에 대해 계산됩니다. fs가 선택적으로 지정된 경우 구간은 [0,fs) cycles/unit time입니다.

  • 'centered' — 실수 값 또는 복소수 값 입력 x에 대해 중심이 맞춰진 양측 PSD 추정값을 반환합니다. 이 경우, pxx의 길이는 nfft이며, nfft가 짝수 길이이면 구간 (–π,π] rad/sample에 대해 계산되며, nfft가 홀수 길이이면 구간 (–π,π) rad/sample에 대해 계산됩니다. fs가 선택적으로 지정된 경우 이에 대응되는 구간은 짝수 길이와 홀수 길이 nfft 각각에 대해 (–fs/2, fs/2] cycles/unit time 및 (–fs/2, fs/2) cycles/unit time입니다.

실제 PSD에 대한 포함 확률로, (0,1) 범위의 스칼라로 지정됩니다. 출력값 pxxc는 실제 PSD에 대한 probability × 100% 구간 추정값의 하한과 상한을 포함합니다.

출력 인수

모두 축소

PSD 추정값으로, 음이 아닌 실수 열 벡터나 행렬로 반환됩니다. pxx의 각 열은 x의 대응하는 열에 대한 PSD 추정값입니다. PSD 추정값의 단위는 단위 주파수당 시계열 데이터의 크기 단위의 제곱을 사용합니다. 예를 들어, 입력 데이터의 단위가 볼트이면 PSD 추정값의 단위는 단위 주파수당 제곱 볼트입니다. 볼트 단위의 시계열에 대해, 저항이 1Ω인 것으로 가정하고 샘플 레이트를 헤르츠로 지정할 경우 PSD 추정값의 단위는 헤르츠당 와트입니다.

데이터형: single | double

정규화 주파수로, 실수 열 벡터로 반환됩니다. pxx가 단측 PSD 추정값인 경우, w의 구간은 nfft가 짝수이면 [0,π]이고, nfft가 홀수이면 [0,π)입니다. pxx가 양측 PSD 추정값인 경우, w의 구간은 [0,2π)입니다. DC 중심 PSD 추정값의 경우, w의 구간은 nfft가 짝수이면 (–π,π]이고, nfft가 홀수이면 (–π,π)입니다.

데이터형: double

주기적 주파수로, 실수 열 벡터로 반환됩니다. 단측 PSD 추정값의 경우, f의 구간은 nfft가 짝수이면 [0,fs/2]이고, nfft가 홀수이면 [0,fs/2)입니다. 양측 PSD 추정값의 경우, f의 구간은 [0,fs)입니다. DC 중심 PSD 추정값의 경우, f의 구간은 nfft가 짝수 길이이면 (–fs/2, fs/2] cycles/unit time이고, nfft가 홀수 길이이면 (–fs/2, fs/2) cycles/unit time입니다.

데이터형: double | single

신뢰한계로, 실수 값 요소를 가진 행렬로 반환됩니다. 행렬의 행 크기는 PSD 추정값 pxx의 길이와 같습니다. pxxcpxx보다 두 배 더 많은 열을 가집니다. 홀수 열은 신뢰구간의 하한을 포함하고, 짝수 열은 상한을 포함합니다. 따라서 pxxc(m,2*n-1)은 추정값 pxx(m,n)에 대응하는 신뢰 하한이고 pxxc(m,2*n)은 추정값에 대응하는 신뢰 상한입니다. 신뢰구간의 포함 확률은 probability 입력값으로 결정됩니다.

데이터형: single | double

세부 정보

모두 축소

이산 장형 타원체(슬레피안) 시퀀스

슬레피안 시퀀스는 이산시간 — 연속 주파수 집중도 문제에서 유도됩니다. 인덱스가 0,1,...,N – 1로 제한된 모든 2 시퀀스에 대해 이 문제는 |W| < 1/2Δt인 주파수 대역 [–W,W]에서 최대 에너지 집중도를 갖는 시퀀스를 찾습니다.

이는 NxN의 자기수반 양의 준정부호 연산자의 고유값과 이에 대응하는 고유벡터를 구하는 것과 같습니다. 따라서 고유값은 음이 아닌 실수이고, 중복되지 않은 고유값에 대응하는 고유벡터들은 서로 직교합니다. 이 특정 문제에서 고유값들은 1을 경계로 하며, 각 고유값은 주파수 구간 [–W,W]에서의 시퀀스 에너지 집중도 측정값에 해당합니다.

고유값 문제는 다음 방정식으로 지정됩니다.

n=0N1sin(2πW(nm))π(nm)gn=λk(N,W)gmm=0,1,2,,N1

0차 DPSS 시퀀스 g0은 가장 큰 고유값에 대응하는 고유벡터입니다. 1차 DPSS 시퀀스 g1은 다음으로 가장 큰 고유값에 대응하는 고유벡터이고 0차 시퀀스와 직교합니다. 2차 DPSS 시퀀스 g2는 세 번째로 큰 고유값에 대응하는 고유벡터이고 0차 및 1차 DPSS 시퀀스와 직교합니다. 연산자가 NxN이므로 N개 고유벡터가 있습니다. 그러나 지정된 시퀀스 길이 N과 지정된 대역폭 [-W,W]의 경우 고유값이 단위 값에 매우 가까운, 대략적으로 2NW – 1개의 DPSS 시퀀스가 있다는 것을 알 수 있습니다.

멀티테이퍼 스펙트럼 추정

주기도는 광의의 정상 과정의 실제 전력 스펙트럼 밀도에 대해 일관되게 추정할 수 없습니다. 일관된 PSD 추정값을 얻기 위해 멀티테이퍼 방법은 상호 직교 테이퍼(윈도우)군으로 얻은 수정된 주기도의 평균을 구합니다. 테이퍼는 상호 직교성 외에도 최적의 시간-주파수 집중도 속성을 가집니다. 테이퍼가 직교성과 시간-주파수 집중도를 모두 가진다는 사실은 멀티테이퍼 기법의 성패에 중요한 요인으로 작용합니다. 톰슨(Thomson)의 멀티테이퍼 방법에 사용된 슬레피안 시퀀스에 대한 간략한 설명은 이산 장형 타원체(슬레피안) 시퀀스 항목을 참조하십시오.

멀티테이퍼 방법에서는 K개의 수정된 주기도를 사용합니다. 각각의 수정된 주기도는 서로 다른 슬레피안 시퀀스를 윈도우로 사용하여 얻은 것입니다.

Sk(f)=Δt|n=0N1gk,nxnei2πfnΔt|2

위 식은 k차 슬레피안 시퀀스 gk,n을 사용하여 얻은 수정된 주기도를 나타냅니다.

가장 단순한 형태의 멀티테이퍼 방법은 K개의 수정된 주기도에 대한 평균을 구하여 멀티테이퍼 PSD 추정값을 얻습니다.

S(MT)(f)=1Kk=0K1Sk(f)

멀티테이퍼 PSD 추정값과 웰치(Welch) 방법의 차이점을 유념해야 합니다. 두 방법 모두 대략적으로 상관관계가 없는 PSD 추정값을 평균화하여 주기도의 변동성을 줄입니다. 그러나 상관관계가 없는 PSD 추정값을 구하는 방식이 서로 다릅니다. 멀티테이퍼 방법은 수정된 주기도 각각에 담긴 전체 신호를 사용합니다. 슬레피안 테이퍼의 직교성을 통해, 다른 수정된 주기도와의 상관관계가 줄어듭니다. 웰치의 중첩 세그먼트 평균화 방법은 수정된 주기도 각각의 신호 세그먼트를 사용하고, 분할을 통해 다른 수정된 주기도와의 상관관계를 줄입니다.

위 방정식은 pmtm'unity' 옵션에 해당합니다. 그러나 이산 장형 타원체(슬레피안) 시퀀스 항목에서 설명한 것처럼, 슬레피안 시퀀스는 원하는 주파수 대역에서 동일한 에너지 집중도를 갖지 않습니다. 슬레피안 시퀀스 차수가 높을수록, 집중도가 고유값으로 지정된 대역 [-W,W]에서의 시퀀스 에너지 집중도가 떨어집니다. 따라서 평균화하기 전에, K개의 수정된 주기도에 고유값을 사용하여 가중치를 적용하는 것이 좋습니다. 이는 pmtm에서의 'eigen' 옵션에 해당합니다.

수정된 주기도에 대해 가중 평균값을 구할 때 시퀀스 고유값을 사용하면 슬레피안 시퀀스의 주파수 집중도 속성이 고려됩니다. 그러나 확률 과정의 전력 스펙트럼 밀도와 슬레피안 시퀀스의 주파수 집중도 간의 상호 작용은 고려되지 않습니다. 특히 높은 차수의 슬레피안 시퀀스를 사용하는 경우, 수정된 주기도에서 전력이 매우 낮은 확률 과정의 주파수 영역이 안정적으로 추정되지 않습니다. 따라서 주파수 종속적 적응형 과정을 사용하는 것이 좋습니다. 이 과정은 슬레피안 시퀀스의 주파수 집중도뿐만 아니라 시계열의 전력 분포를 모두 고려합니다. 이 가변 가중치는 pmtm'adapt' 옵션에 해당하며, 멀티테이퍼 추정값을 계산하기 위한 디폴트 값입니다.

참고 문헌

[1] Percival, D. B., and A. T. Walden, Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1993.

[2] Thomson, D. J., “Spectrum estimation and harmonic analysis.” Proceedings of the IEEE®. Vol. 70, 1982, pp. 1055–1096.

참고 항목

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