funm

일반 행렬 함수 실행

구문

F = funm(A,fun) F = funm(A,fun,options) F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) [F,exitflag] = funm(...) [F,exitflag,output] = funm(...)

설명

F = funm(A,fun)은 사용자 정의 함수 fun을 정사각 행렬 인수 A에서 실행합니다. F = fun(x,k)는 벡터 x와 정수 k를 받아 x와 동일한 크기의 벡터 f를 반환해야 합니다. 여기서 f(i)는 x(i)에서 함수 fun이 실행되어 도출된 k번째 도함수입니다. fun으로 표시되는 함수는 특별한 경우로 취급되는 fun = @log를 제외하고 수렴 반경이 무한대인 테일러 급수를 가져야 합니다.

또한 funm을 사용하여 다음 표에 나와 있는 특수 함수를 행렬 A에서 실행할 수도 있습니다.

함수	함수가 행렬 A에서 실행되는 식 구문
`exp`	`funm(A, @exp)`
`log`	`funm(A, @log)`
`sin`	`funm(A, @sin)`
`cos`	`funm(A, @cos)`
`sinh`	`funm(A, @sinh)`
`cosh`	`funm(A, @cosh)`

행렬 제곱근의 경우 sqrtm(A)를 대신 사용합니다. 행렬 지수의 경우 행렬 A에 따라 expm(A) 또는 funm(A, @exp) 중 어느 것이 더 정확한지 결정됩니다.

fun으로 표시되는 함수는 수렴 반경이 무한대인 테일러 급수를 가져야 합니다. @log는 예외적으로 특별한 경우로 취급됩니다. 함수를 파라미터화하기에는 필요한 경우 fun 함수에 추가 파라미터를 제공하는 방법이 설명되어 있습니다.

F = funm(A,fun,options)는 알고리즘의 파라미터를 구조체 options의 값으로 설정합니다.

다음 표에는 options의 필드가 나와 있습니다.

필드	설명	값
`options.Display`	표시 수준	`'off'`(디폴트 값), `'on'`, `'verbose'`
`options.TolBlk`	슈어 형식 블록에 대한 허용오차	양의 스칼라. 디폴트 값은 `0.1`입니다.
`options.TolTay`	대각선 블록의 테일러 급수를 계산하기 위한 종료 허용오차	양의 스칼라. 디폴트 값은 `eps`입니다.
`options.MaxTerms`	테일러 급수 항의 최대 수	양의 정수. 디폴트 값은 `250`입니다.
`options.MaxSqrt`	로그를 계산할 때 역 스케일링과 스퀘어링(Scaling and Squaring) 메서드에 계산될 수 있는 최대 제곱근 수입니다.	양의 정수. 디폴트 값은 `100`입니다.
`options.Ord`	슈어 형식 `T`의 순서를 지정합니다.	길이 `length(A)`의 벡터. `options.Ord(i)`는 `T(i,i)`가 배치되는 블록의 인덱스입니다. 디폴트 값은 `[]`입니다.

F = funm(A,fun,options,p1,p2,...)는 추가 입력 p1,p2,...를 함수에 전달합니다.

[F,exitflag] = funm(...)은 funm의 종료 상황을 설명하는 스칼라 exitflag를 반환합니다. exitflag는 다음과 같은 값을 가질 수 있습니다.

0 — 알고리즘이 성공했습니다.
1 — 하나 이상의 테일러 급수 계산이 수렴되지 않았거나, 로그의 경우 너무 많은 제곱근이 필요합니다. 그러나 계산된 F 값은 여전히 정확할 수 있습니다.

[F,exitflag,output] = funm(...)은 다음 필드를 포함하는 구조체 output을 반환합니다.

필드	설명
`output.terms`	`output.terms(i)`가 i번째 블록을 계산할 때 사용되는 테일러 급수 항 수에 해당하는 벡터이거나, 로그의 경우 2보다 큰 차원 행렬의 제곱근 수입니다.
`output.ind`	다시 정렬된 Schur 인자 `T`의 `(i,j)` 블록이 `T(output.ind{i}, output.ind{j})`에 해당하는 셀형 배열입니다.
`output.ord`	`ordschur`로 전달되는 슈어 형식의 순서
`output.T`	다시 정렬된 슈어 형식

슈어 형식이 대각선인 경우 output = struct('terms',ones(n,1),'ind',{1:n})입니다.

예제

예제 1

다음 명령은 3×3 마방진 행렬의 사인 값을 계산합니다.

F=funm(magic(3), @sin)

F =

   -0.3850    1.0191    0.0162
    0.6179    0.2168   -0.1844
    0.4173   -0.5856    0.8185

예제 2

다음 명령문은

S = funm(X,@sin);
C = funm(X,@cos);

반올림 오차 내에서 다음과 동일한 결과를 생성합니다.

E = expm(i*X);
C = real(E);
S = imag(E);

두 경우 모두 결과는 S*S+C*C = I를 충족시킵니다(I = eye(size(X))).

예제 3

funm에 대한 한 호출에서 함수 exp(x) + cos(x)를 A에서 계산하기 위해 다음 식을 사용합니다.

F = funm(A,@fun_expcos)

여기서 fun_expcos는 다음과 같은 함수입니다.

function f = fun_expcos(x, k)
% Return kth derivative of exp + cos at X.
        g = mod(ceil(k/2),2);
        if mod(k,2)
           f = exp(x) + sin(x)*(-1)^g;
        else
           f = exp(x) + cos(x)*(-1)^g;
        end

알고리즘

funm에 사용되는 알고리즘은 [1]에 설명되어 있습니다.

참고 문헌

[1] Davies, P. I. and N. J. Higham, “A Schur-Parlett algorithm for computing matrix functions,” SIAM J. Matrix Anal. Appl., Vol. 25, Number 2, pp. 464-485, 2003.

[2] Golub, G. H. and C. F. Van Loan, Matrix Computation, Third Edition, Johns Hopkins University Press, 1996, p. 384.

[3] Moler, C. B. and C. F. Van Loan, “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later” SIAM Review 20, Vol. 45, Number 1, pp. 1-47, 2003.