ellipj

야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function)

구문

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M)

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M,tol)

설명

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M)은 대응하는 인수 U와 파라미터 M의 요소에 대해 함수를 실행하고, 결과로 야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function) SN, CN, DN을 반환합니다. 입력 인수 U와 M은 크기가 동일해야 합니다. 또는 U와 M 중 하나가 스칼라여야 합니다.

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M,tol)은 tol(허용오차)까지의 정확도로 야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function)를 계산합니다. tol의 디폴트 값은 eps입니다. tol 값을 올리면 정확도는 떨어지지만 답을 더 빠르게 계산할 수 있습니다.

예제

야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function) 구하기

U = 0.5, M = 0.25인 야코비 타원 함수를 구합니다.

[s,c,d] = ellipj(0.5,0.25)

s = 
0.4751

c = 
0.8799

d = 
0.9714

야코비 타원 함수 플로팅

-5≤U≤5와 M = 0.7에 대한 야코비 타원 함수를 플로팅합니다.

M = 0.7;
U = -5:0.01:5;
[S,C,D] = ellipj(U,M);
plot(U,S,U,C,U,D);
legend('SN','CN','DN','Location','best')
grid on
title('Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn')

야코비 타원 sn 함수의 곡면 플롯 생성

허용된 M의 범위와 -5≤U≤5에 대한 야코비 타원 sn 함수의 곡면 플롯을 생성합니다.

[M,U] = meshgrid(0:0.1:1,-5:0.1:5);
S = ellipj(U,M);
surf(U,M,S)
xlabel('U')
ylabel('M')
zlabel('sn')
title('Surface Plot of Jacobi Elliptic Function sn')

허용오차를 변경하여 야코비 타원 적분의 계산 속도 향상

tol의 디폴트 값은 eps입니다. tic과 toc을 이용해 임의의 M에 대한 디폴트 값으로 런타임을 구합니다. tol을 1000배로 늘린 다음 실행 시간을 구합니다. 런타임을 비교합니다.

tic
ellipj(0.253,0.937)

ans = 
0.2479

toc

Elapsed time is 0.023740 seconds.

tic
ellipj(0.253,0.937,eps*1000)

ans = 
0.2479

toc

Elapsed time is 0.008566 seconds.

허용오차를 크게 늘리면 ellipj가 확연히 더 빠르게 실행됩니다.

입력 인수

U — 입력 배열

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

입력 배열로, 스칼라, 벡터, 행렬, 다차원 배열 중 하나로 지정됩니다. U는 실수 값으로 제한됩니다. U가 비 스칼라인 경우 M은 U와 같은 크기의 비 스칼라이거나 스칼라여야 합니다.

데이터형: single | double

M — 입력 배열

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

입력 배열로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정됩니다. M은 0≤ m ≤1인 값을 취할 수 있습니다. M이 비 스칼라인 경우 U는 M과 같은 크기의 비 스칼라이거나 스칼라여야 합니다. [1]의 16.10과 16.11 방정식에 설명된 변환을 사용하여 M의 다른 값을 이 범위로 매핑합니다.

데이터형: single | double

tol — 결과의 정확도

eps (디폴트 값) | 음이 아닌 실수

결과의 정확도로, 음이 아닌 실수로 지정됩니다. 디폴트 값은 eps입니다.

데이터형: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64

출력 인수

SN — 야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function) sn

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function) sn으로, 스칼라, 벡터, 행렬, 다차원 배열 중 하나로 반환됩니다.

CN — 야코비 타원 함수 cn

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function) cn으로, 스칼라, 벡터, 행렬, 다차원 배열 중 하나로 반환됩니다.

DN — 야코비 타원 함수 dn

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function) dn으로, 스칼라, 벡터, 행렬, 다차원 배열 중 하나로 반환됩니다.

세부 정보

야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function)

야코비 타원 함수는 다음과 같은 적분으로 정의됩니다.

$$u={\displaystyle {\int }_0^{\varphi }\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}}.$$

그리고 다음과 같습니다.

$$sn(u)=\sin \varphi ,cn(u)=\cos \varphi ,dn(u)=\sqrt{1-m{\sin }^2\varphi }.$$

타원 함수의 일부 정의는 파라미터 m 대신 타원 절댓값 k나 모듈러 각 α를 사용합니다. 이들은 다음과 같은 관계식을 가집니다.

$$k^2=m={\sin }^{2}a.$$

야코비 타원 함수는 많은 수학적 항등식을 따릅니다. 유용한 샘플은 [1] 항목을 참조하십시오.

알고리즘

ellipj는 [1]의 산술-기하 평균 메서드를 사용하여 야코비 타원 함수(Jacobi Elliptic Function)를 계산합니다. 다음 세 개의 값에서 시작합니다.

$$a_0=1,b_0=\sqrt{1-m},c_0=\sqrt{m}.$$

ellipj는 다음 식을 사용하여 반복적으로 계산합니다.

$$\begin{array}{l}{a}_i=\frac{1}{2}(a_{i-1}+b_{i-1})\\ b_i={(}^{a_{i-1}}\\ c_i=\frac{1}{2}(a_{i-1}-b_{i-1}).\end{array}$$

그리고 다음을 사용하여 진폭을 라디안으로 계산합니다.

$$\sin (2{\varphi }_{n-1}-{\varphi }_n)=\frac{c_n}{a_n}\sin ({\varphi }_n),$$

이때 위상 펼침(Phase Unwrapping)을 올바로 조정해야 합니다. 그러면 야코비 타원 함수는 간단히 다음과 같은 결과를 갖습니다.

$$\begin{array}{l}sn(u)=\sin {\varphi }_0\\ cn(u)=\cos {\varphi }_0\\ dn(u)=\sqrt{1-m\cdot sn{(u)}^2}.\end{array}$$

참고 문헌

[1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, 17.6.

확장 기능

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

ellipke