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특이값

사각 행렬 A의 특이값은 다음을 충족하는 스칼라 σ이고, 특이 벡터는 다음을 충족하는 벡터 쌍 u와 v입니다.

Av=σuAHu=σv,

여기서 AH는 A의 에르미트(Hermitian) 전치 행렬입니다. 특이 벡터 u와 v는 일반적으로 1의 노름(Norm) 값을 갖도록 스케일링됩니다. 또한, u와 v가 A의 특이 벡터이면 -u와 -v도 A의 특이 벡터입니다.

특이값 σ는 A가 복소수이더라도 항상 음이 아닌 실수입니다. 대각 행렬 Σ에 특이값이 있고 이에 대응하는 특이 벡터가 두 직교 행렬 U와 V의 열을 구성하여 다음 방정식을 얻게 됩니다.

AV=UΣAHU=VΣ.

U와 V는 유니타리 행렬이므로 첫 번째 방정식에 오른쪽으로 VH를 곱하면 다음과 같은 특이값 분해 방정식이 생성됩니다.

A=UΣVH.

m×n 행렬의 전체 특이값 분해를 수행하려면 다음이 필요합니다.

  • m×m 행렬 U

  • m×n 행렬 Σ

  • n×n 행렬 V

즉, U와 V가 모두 정사각 행렬이고 Σ의 크기는 A의 크기와 동일합니다. A에 열 개수보다 행 개수가 훨씬 많은 경우(m > n) 그 결과로 생성되는 m×m 행렬 U가 매우 커집니다. 그러나 Σ에서 U에 있는 열의 대부분은 0으로 곱해집니다. 이러한 상황에서 효율적인 크기로 분해를 수행하면 m×n U, n×n Σ, 동일한 V가 생성되어 시간과 저장 용량이 모두 절감됩니다.

In the economy-sized decomposition, columns in U can be ignored if they multiply zeros in the diagonal matrix of singular values.

상미분 방정식의 경우처럼, 한 벡터 공간에서 매핑할 경우에는 고유값 분해가 행렬 분석에 적합합니다. 하지만 가령 차원이 다른 경우처럼 한 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로의 매핑을 분석하는 데는 특이값 분해가 적합합니다. 대부분의 선형 연립방정식은 두 번째 범주에 해당됩니다.

A가 양의 정부호 정사각 대칭 행렬인 경우, A의 고유값 분해와 특이값 분해는 같습니다. 하지만 A가 대칭성과 양의 정부호 특성에서 벗어난다면 두 분해 간의 차이는 증가합니다. 특히, 실수 행렬의 특이값 분해를 수행하면 결과로 항상 실수 행렬을 얻게 되지만 실수 비대칭 행렬의 고유값 분해를 수행하면 결과로 복소수 행렬을 얻게 될 수 있습니다.

예제 행렬의 경우

A =
     9     4
     6     8
     2     7

전체 특이값 분해는 다음과 같습니다.

[U,S,V] = svd(A)

U =

    0.6105   -0.7174    0.3355
    0.6646    0.2336   -0.7098
    0.4308    0.6563    0.6194


S =

   14.9359         0
         0    5.1883
         0         0


V =

    0.6925   -0.7214
    0.7214    0.6925

여기서 U*S*V'A와 반올림 오차 범위 내에서 같음을 확인할 수 있습니다. 이 작은 문제의 경우 효율적인 크기로 분해를 수행하면 결과값이 약간 더 작아질 뿐입니다.

[U,S,V] = svd(A,0)

U =

    0.6105   -0.7174
    0.6646    0.2336
    0.4308    0.6563


S =

   14.9359         0
         0    5.1883


V =

    0.6925   -0.7214
    0.7214    0.6925

여기서도 U*S*V'A와 반올림 오차 범위 내에서 같음을 확인할 수 있습니다.

낮은 랭크 SVD 근사

큰 희소 행렬의 경우 svd를 사용하여 모든 특이값과 특이 벡터를 계산하는 것이 항상 실용적이지만은 않습니다. 예를 들어, 가장 큰 특이값 몇 개만 구하면 되는 상황에서 5000×5000 희소 행렬의 특이값을 모두 계산하는 것은 부담이 됩니다.

특이값과 특이 벡터가 몇 개 정도만 필요한 경우에는 svd 함수보다 svdssvdsketch 함수를 사용하는 것이 좋습니다.

함수사용법
svdssvds를 사용하여 SVD의 랭크-k 근사를 계산합니다. 특이값의 서브셋이 가장 큰 값이어야 하는지, 가장 작은 값이어야 하는지 또는 특정 수에 가장 가까운 값이어야 하는지를 지정할 수 있습니다. svds는 일반적으로 최적의 랭크-k 근사를 계산합니다.
svdsketchsvdsketch를 사용하여 지정된 허용오차를 충족하는 입력 행렬의 부분적 SVD를 계산합니다. svds에서는 사용자가 랭크를 지정해야 하는 반면, svdsketch는 지정된 허용오차를 기반으로 하여 행렬 스케치의 랭크를 적절하게 결정합니다. svdsketch가 최종적으로 사용하는 랭크-k 근사는 허용오차를 충족하지만, svds와 달리 최적의 근사라는 보장은 없습니다.

예를 들어, 밀도가 30% 정도인 희소 형식의 1000×1000 확률 행렬이 있다고 가정하겠습니다.

n = 1000;
A = sprand(n,n,0.3);

가장 큰 특이값 6개는 다음과 같이 구합니다.

S = svds(A)

S =

  130.2184
   16.4358
   16.4119
   16.3688
   16.3242
   16.2838

또한, 가장 작은 특이값 6개는 다음과 같이 구합니다.

S = svds(A,6,'smallest')

S =

    0.0740
    0.0574
    0.0388
    0.0282
    0.0131
    0.0066

비희소 행렬 full(A)로서 메모리에 다 들어갈 수 있는 더 작은 행렬의 경우, svdssvdsketch보다는 svd(full(A))를 사용하는 것이 더 빠를 수도 있습니다. 그러나, 정말 큰 희소 행렬의 경우에는 반드시 svds 또는 svdsketch를 사용해야 합니다.

참고 항목

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관련 항목