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복소 선적분

이 예제에서는 integral 함수의 'Waypoints' 옵션을 사용하여 복소 선적분을 계산하는 방법을 보여줍니다. MATLAB®에서는 'Waypoints' 옵션을 사용하여 첫 번째 적분 한계에서 첫 번째 중간점으로, 첫 번째 중간점에서 두 번째 중간점 등으로 연결되고 최종적으로 마지막 중간점에서 적분의 두 번째 한계로 연결되는 일련의 직선 경로를 정의할 수 있습니다.

익명 함수를 사용하여 피적분 함수 정의하기

다음을 적분합니다.

Cezzdz

여기서 C는 원점에서 ez/z의 단순 극점을 둘러싸는 닫힌 경로입니다.

익명 함수를 사용하여 피적분 함수를 정의합니다.

fun = @(z) exp(z)./z;

중간점을 사용하지 않고 적분하기

파라미터화를 통해 복소수 값 함수의 경로 적분을 계산할 수 있습니다. 일반적으로, 경로를 지정한 후 이를 미분하여 원래 피적분 함수를 파라미터화하는 데 사용합니다. 이 경우에는 경로를 단위원으로 지정합니다. 하지만, 어떤 경우든 결과는 선택한 경로의 영향을 받지 않습니다.

g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta);
gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta);
q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)
q1 = -0.0000 + 6.2832i

이 파라미터화 방법은 안정적이기는 하나 적분을 수행하기 전에 도함수를 계산해야 하므로 어렵고 시간이 오래 걸릴 수 있습니다. 단순 함수의 경우에도, 올바른 결과를 얻으려면 여러 줄의 코드를 작성해야 합니다. 결과는 극점(이 경우 원점)을 둘러싸는 모든 닫힌 경로에서 동일하므로, integral'Waypoints' 옵션을 대신 사용하여 극점을 둘러싸는 정사각형 경로 또는 삼각형 경로를 생성할 수 있습니다.

극점을 둘러싸지 않는 경로를 따라 적분하기

적분 한계나 중간점 벡터의 요소가 복소수인 경우 integral은 복소 평면에서 일련의 직선 경로에 대해 적분을 수행합니다. 경로의 기본 방향은 반시계 방향이고, 시계 방향의 경로를 지정하는 것은 -1을 곱하는 것과 같습니다. 한 개의 함수 특이점을 둘러싸도록 경로를 지정합니다. 극점을 둘러싸지 않는 경로를 지정하면, 폐루프 적분의 값은 코시(Cauchy)의 적분 정리에 의해 반드시 0이 됩니다.

이를 확인하기 위해 원점을 벗어나 있는 정사각형 경로를 따라 fun을 적분해 보십시오. 동일한 적분 한계를 사용하여 닫힌 경로를 생성합니다.

C = [2+i 2+2i 1+2i];
q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)
q = 0.0000e+00 + 2.2204e-16i

결과는 eps에 가까우며, 사실상 0입니다.

내부에 극점이 있는 경로를 따라 적분하기

원점에 있는 극점을 완전히 둘러싸는 정사각형 경로를 지정한 다음 적분합니다.

C = [1+i -1+i -1-i 1-i];
q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)
q2 = -0.0000 + 6.2832i

이 결과는 위에서 계산한 q1과 일치하지만, 더 단순한 코드를 사용합니다.

이 문제의 완전한 답은 2πi입니다.

2*pi*i
ans = 0.0000 + 6.2832i

참고 항목

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