ctrb

상태공간 모델의 가제어성

구문

Co = ctrb(A,B)

Co = ctrb(sys)

설명

유한한 시간 내에 시스템을 어떤 상태로든 구동하는 제어 신호를 적용할 수 있는 경우, 이러한 동적 시스템을 제어가 가능하다고 말합니다. 이러한 특성을 가도달성이라고도 합니다. ctrb는 상태 행렬 또는 상태공간 모델에서 가제어성 행렬을 계산합니다. 이 행렬을 사용하여 가제어성을 확인할 수 있습니다.

예를 들어 Nx개의 상태, Ny개의 출력, Nu개의 입력이 있는 연속시간 상태공간 모델이 있다고 가정하겠습니다.

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

여기서 x, u, y는 각각 상태, 입력, 출력을 나타내며 A, B, C, D는 다음과 같은 크기의 상태공간 행렬입니다.

A는 Nx×Nx 실수 값 또는 복소수 값 행렬입니다.
B는 Nx×Nu 실수 값 또는 복소수 값 행렬입니다.
C는 Ny×Nx 실수 값 또는 복소수 값 행렬입니다.
D는 Ny×Nu 실수 값 또는 복소수 값 행렬입니다.

ctrb $C o = [\begin{matrix} B & A B & A^{2} B & \dots & A^{n - 1} B \end{matrix}]$ 에 의해 생성된 가제어성 행렬이 완전 랭크를 갖는 경우, 즉 랭크가 상태공간 모델의 상태 수와 같은 경우 시스템은 제어 가능합니다. 가제어성 행렬 Co에는 Nx개의 행과 Nxu개의 열이 있습니다. 예제는 SISO 상태공간 모델의 가제어성 항목을 참조하십시오.

예제

Co = ctrb(A,B)는 상태 행렬 A와 입력-상태 행렬 B를 사용하여 가제어성 행렬 Co를 반환합니다. Co가 완전 랭크를 갖는 경우, 즉 Co의 랭크가 상태 수와 같은 경우 시스템은 제어 가능합니다.

예제

Co = ctrb(sys)는 상태공간 모델 sys의 가제어성 행렬을 반환합니다. 이 구문은 다음과 동일합니다.

Co = ctrb(sys.A,sys.B);

예제

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시스템 가제어성 확인하기

라이브 스크립트 열기

A 행렬과 B 행렬을 정의합니다.

A = [1  1;
     4 -2];
B = [1 -1;
     1 -1];

가제어성 행렬을 계산합니다.

Co = ctrb(A,B);

제어 불가능한 상태의 개수를 확인합니다.

unco = length(A) - rank(Co)

unco = 1

제어 불가능한 상태는 Co가 완전 랭크 2를 갖지 않음을 나타냅니다. 따라서 이 시스템은 제어 가능하지 않습니다.

SISO 상태공간 모델의 가제어성

라이브 스크립트 열기

이 예제에서는 2개의 상태를 갖는 다음 SISO 상태공간 모델이 있다고 가정하겠습니다.

$A = [\begin{array}{cc} - 1.5 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 0.5 \\ 0 \end{array}] C = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}] D = 1$

다음 상태공간 행렬로 정의된 SISO 상태공간 모델을 만듭니다.

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 1;
sys = ss(A,B,C,D);

가제어성 행렬을 계산하고 랭크를 구합니다.

Co = ctrb(sys)

Co = 2×2

    0.5000   -0.7500
         0    0.5000

가제어성 행렬의 크기는 A 행렬과 B 행렬의 크기에 따라 다릅니다. 예를 들어 행렬 A가 Nx×Nx 행렬이고 행렬 B가 Nx×Nu 행렬이면 결과 행렬 Co에는 Nx개의 행과 Nxu개의 열이 있습니다. 여기서 Nx는 상태의 개수이고 Nu는 입력의 개수입니다.

rank(Co)

ans = 2

가제어성 행렬 Co의 랭크가 상태의 개수와 같으므로 시스템 sys는 제어 가능합니다.

또는 A 행렬과 B 행렬만 사용하여 가제어성 행렬을 구할 수도 있습니다.

Co = ctrb(sys.A,sys.B);
rank(Co)

ans = 2

입력 인수

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`A` — 상태 행렬
`Nx`×`Nx` 행렬

상태 행렬로, Nx×Nx 행렬로 지정됩니다. 여기서 Nx는 상태의 개수입니다.

`B` — 입력-상태 행렬
`Nx`×`Nu` 행렬

입력-상태 행렬로, Nx×Nu 행렬로 지정됩니다. 여기서 Nx는 상태의 개수이고 Nu는 입력의 개수입니다.

`sys` — 상태공간 모델 또는 모델 배열
`ss` 모델 객체 | `genss` 모델 객체 | `uss` 모델 객체

상태공간 모델 또는 모델 배열로, 다음과 같이 지정됩니다.

상태공간 모델(ss) 객체: 입력 A, B, C, D가 숫자형 행렬이거나 다른 모델 객체 유형에서 변환하는 경우.
일반화된 상태공간 모델(genss) 객체: 하나 이상의 행렬 A, B, C, D에 조정 가능한 파라미터(예: realp 파라미터) 또는 일반화된 행렬(genmat)이 포함된 경우. 이 함수는 조정 가능형 파라미터에 대해 현재 값을 사용합니다.
불확실한 상태공간 모델(uss) 객체: 하나 이상의 입력 A, B, C , D에 불확실한 행렬이 포함된 경우. 이 함수는 불확실한 파라미터에 대해 공칭 값을 사용합니다. 불확실 모델을 사용하려면 Robust Control Toolbox™가 필요합니다.

출력 인수

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`Co` — 가제어성 행렬
배열

가제어성 행렬로, 배열로 반환됩니다. sys가 다음과 같은 경우입니다.

Nx개의 상태와 Nu개의 입력이 있는 단일 상태공간 모델인 경우, 결과 배열 Co에는 Nx개의 행과 Nxu개의 열이 있습니다.
상태공간 모델로 구성된 배열 sys(:,:,j1,...,jN)인 경우 Co는 N+2 차원의 배열, 즉 Co(:,:,j1,...,jN)입니다.

참고 문헌

[1] Paige, C. C. "Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability." IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 26, Number 1, 1981, pp. 130-138.