반데르폴 발진기

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이 예제에서는 Simulink®에서 2계 반데르폴(VDP) 미분 방정식을 모델링하는 방법을 보여줍니다. 동역학에서 VDP 발진기는 비보존적이고 비선형인 감쇠를 갖습니다. 높은 진폭에서 발진기는 에너지를 소비합니다. 낮은 진폭에서 발진기는 에너지를 생성합니다. 발진기는 다음 2계 미분 방정식으로 지정됩니다.

$\frac{d^2 x}{dt^2} - \mu\left( 1- x^2 \right) \frac{dx}{dt} + x = 0$

여기서

x는 시간의 함수로 나타낸 위치입니다.
$\mu$ 는 감쇠입니다.

2계 미분 방정식을 상태-공간 형식으로 표현하려면 ${x}_1 = x$ 를 정의합니다. 이 상태-공간 표현은 모델에 ${x}_1$ 과 ${x}_2$ 로 포함되어 있습니다.

${x}_1^{'}={x}_2$

${x}_2^{'}=-{x}_1 + \mu\left( 1- {{x}_1}^2 \right){x}_2$

여기서 각각은 다음을 나타냅니다.

${x}_1^{'} = \frac{dx}{dt}$

${x}_2^{'} = \frac{d^2 x}{dt^2}$

VDP 발진기는 전기 회로를 포함해 물리 및 생명과학에 사용됩니다.

open_system('vdp');

Mu = 1인 경우를 시뮬레이션하기

$\mu = 1$ 이면 VDP 발진기에 비선형 감쇠가 나타납니다.

set_param('vdp/Mu','Gain','1')
sim('vdp');
open_system('vdp/Scope');

Mu = 0인 경우를 시뮬레이션하기

$\mu = 0$ 이면 VDP 발진기에 감쇠가 나타나지 않습니다. 이 간단한 고조파 발진기에서는 에너지가 보존됩니다. 방정식은 다음과 같습니다.

$\frac{d^2 x}{dt^2} + x = 0$

set_param('vdp/Mu','Gain','0')
sim('vdp');
open_system('vdp/Scope');

참고 항목

Integrator | Slider Gain

도움말 항목

Real-Time Van der Pol Simulation (Simulink Desktop Real-Time)
Model Differential Algebraic Equations

참고 문헌

[1] Cartwright, M. L. "Balthazar Van Der Pol." Journal of the London Mathematical Society. Wiley. s1 35 (July 1960): 367–376. https://doi:10.1112/jlms/s1-35.3.367.

[2] Hirsch, Morris W., Stephen Smale, Robert L. Devaney, and Morris W. Hirsch. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 2nd Ed. San Diego: Academic Press, 2004.