interp1

쿼터니언 보간(테이블 룩업)

R2025a 이후

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구문

vq = interp1(x,v,xq)

vq = interp1(x,v,xq,method)

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)

vq = interp1(v,xq)

vq = interp1(v,xq,method)

vq = interp1(v,xq,method,extrapolation)

설명

vq = interp1(x,v,xq)는 구면 선형 보간(SLERP)을 사용하여 특정 쿼리 점에서 1차원 함수의 쿼터니언 값을 보간합니다. x는 샘플 점을 지정하고, v는 대응하는 값 v(x)를 포함하는 쿼터니언을 지정합니다. xq는 쿼리 점을 지정합니다. 기본적으로 이 함수는 "slerp-short" 보간 방법을 사용합니다.

예제

vq = interp1(x,v,xq,method)는 보간 방법을 지정합니다.

예제

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)은 x의 정의역 밖에 있는 xq의 모든 쿼리 점에 대해 반환할 쿼터니언 값을 지정합니다.

예제

vq = interp1(v,xq)는 샘플 점의 디폴트 세트를 가정하여 쿼터니언 값을 보간합니다. 디폴트 점은 1부터 n 사이의 수열이며, 여기서 n은 v의 형태에 따라 다릅니다.

v가 쿼터니언으로 구성된 벡터인 경우 디폴트 점은 1:length(v)입니다.
v가 쿼터니언으로 구성된 배열인 경우 디폴트 점은 1:size(v,1)입니다.

샘플 점 사이의 절대 거리가 중요하지 않을 때 이 구문을 사용하십시오.

예제

vq = interp1(v,xq,method)는 보간 방법을 지정하고 디폴트 샘플 점을 사용합니다.

vq = interp1(v,xq,method,extrapolation)은 외삽 값을 지정하고 디폴트 샘플 점을 사용합니다.

예제

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샘플 점을 사용하여 정의된 쿼터니언 함수 보간하기

라이브 스크립트 열기

샘플 점 x와 대응하는 샘플 값 v를 정의합니다.

x = [1 2 5 6];
eul = [-185:45:-50; -20*ones(1,4); zeros(1,4)]';
v = quaternion(eul,"eulerd","ZYX","frame");

x의 범위에 쿼리 점을 정의합니다.

xq = [1.5 3 4 5.4];

쿼리 점에서 보간합니다.

vq = interp1(x,v,xq);

결과를 시각화하기 위해 샘플 쿼터니언과 보간된 쿼터니언을 사용하여 동일한 점을 회전시킵니다.

pts_samples = rotatepoint(v,[1.05 0 0]);
pts_query = rotatepoint(vq,[1.05 0 0]);

단위구를 플로팅한 다음, 샘플 쿼터니언과 보간된 쿼터니언을 구에 플로팅합니다.

figure
[X,Y,Z] = sphere;
surf(X,Y,Z,FaceAlpha=0.5,EdgeAlpha=0.35)
colormap gray
hold on
scatter3(pts_samples(:,1),pts_samples(:,2),pts_samples(:,3),"filled")
scatter3(pts_query(:,1),pts_query(:,2),pts_query(:,3),"filled")
exampleHelperAnnotateQuats(pts_samples,pts_query,x,xq,10,1.05)
axis equal
title(["Interpolated Quaternions Visualized","Using Rotated Points"])
legend("","Sample Quaternions (v)","Interpolated Quaternions (vq)")

Figure contains an axes object. The axes object with title Interpolated Quaternions Visualized Using Rotated Points contains 11 objects of type surface, scatter, text. These objects represent Sample Quaternions (v), Interpolated Quaternions (vq).

샘플 점을 지정하지 않고 쿼터니언 보간하기

라이브 스크립트 열기

함수 값 세트를 정의합니다.

eul = [-170:20:-70; -20*sind(0:72:360)-25; zeros(1,6)]';
v = quaternion(eul,"eulerd","ZYX","frame");

디폴트 점 1:6 사이에 쿼리 점 세트를 정의합니다. 이 경우, v가 요소를 6개 가진 쿼터니언 배열이므로 디폴트 점은 1:6입니다.

xq = [1.5 2.6 3.5 4.5 5.5];

SQUAD 자연 보간 방법을 사용하여 xq에서 v를 평가합니다. 여기서 디폴트 "slerp-short" 보간 방법을 사용할 수 있지만, 이 보간 함수에서 설명하는 사인파 회전의 경우 SQUAD가 더 매끄러운 보간 경로를 생성합니다.

vq = interp1(v,xq,"squad-natural");

결과를 시각화하기 위해 샘플 쿼터니언과 보간된 쿼터니언을 사용하여 x축의 점을 회전시킵니다.

pts_samples = rotatepoint(v,[1.05 0 0]); 
pts_query = rotatepoint(vq,[1.05 0 0]);

단위구를 플로팅한 다음, 샘플 쿼터니언과 보간된 쿼터니언을 구에 플로팅합니다.

figure
[X,Y,Z] = sphere;
surf(X,Y,Z,FaceAlpha=0.5,EdgeAlpha=0.35)
colormap gray
hold on
scatter3(pts_samples(:,1),pts_samples(:,2),pts_samples(:,3),"filled")
scatter3(pts_query(:,1),pts_query(:,2),pts_query(:,3),"filled")
exampleHelperAnnotateQuats(pts_samples,pts_query,1:6,xq,9,1.05)
axis equal
title(["Interpolated Quaternions Visualized","Using Rotated Points"])
legend("","Sample Quaternions (v)","Interpolated Quaternions (vq)")

Figure contains an axes object. The axes object with title Interpolated Quaternions Visualized Using Rotated Points contains 14 objects of type surface, scatter, text. These objects represent Sample Quaternions (v), Interpolated Quaternions (vq).

SQUAD 보간을 사용하여 더 매끄러운 각속도 얻기

라이브 스크립트 열기

서로 다른 방향을 나타내는 세 개의 쿼터니언을 정의합니다.

q0 = quaternion([0 0 0],"euler","ZYX","frame");
q1 = quaternion([pi/4 pi/6 pi/3],"euler","ZYX","frame");
q2 = quaternion([pi/2 pi/4 pi/2],"euler","ZYX","frame");

원래 키프레임에 대한 시간 벡터를 만듭니다.

x = [1 2 3];

보간에 대한 시간 벡터를 만듭니다.

T = linspace(0,3,300);

"slerp-natural" 방법과 "squad-natural" 방법으로 interp1을 사용하여 보간합니다.

quats_slerp = interp1(x,[q0 q1 q2],T,"slerp-natural")';
quats_squad = interp1(x,[q0 q1 q2],T,"squad-natural")';

두 보간 방법 모두에 대해 각속도를 계산합니다.

ang_vel_slerp = angvel(quats_slerp,T(2)-T(1),"frame");
ang_vel_squad = angvel(quats_squad,T(2)-T(1),"frame");

각속도를 플로팅합니다.

tl = tiledlayout(2,1);
title(tl,"Angular Velocity - SLERP vs SQUAD")

SLERP 보간과 SQUAD 보간에 대한 각속도를 플로팅합니다. SQUAD 보간의 각속도가 SLERP를 사용한 보간보다 더 매끄럽습니다.

nexttile
plot(T,ang_vel_slerp)
ylim padded
title("SLERP Natural")
legend("X","Y","Z")
nexttile
plot(T,ang_vel_squad)
ylim padded
title("SQUAD Natural")
xlabel(tl,"Time")
ylabel(tl,"Angular Velocity (rad/s)")

Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title SLERP Natural contains 3 objects of type line. These objects represent X, Y, Z. Axes object 2 with title SQUAD Natural contains 3 objects of type line.

`x`의 정의역 밖에 있는 모든 쿼리에 대한 상수 값 지정하기

라이브 스크립트 열기

샘플 점 x와 대응하는 샘플 값 v를 정의합니다.

x = [0 1 2];
eul = [0 30 60; 0 20 60; zeros(1,3)]';
v = quaternion(eul,"eulerd","ZYX","frame");

쿼리 점 xq가 x의 정의역을 벗어나도록 확장하여 지정합니다.

xq = [-0.5 0.5 1.5 2.5];

이제 "slerp-short" 보간 방법을 사용하여 xq에서 v를 평가하고, x의 정의역을 벗어난 값들에는 모든 부분이 0으로 설정된 쿼터니언을 할당합니다.

vq = interp1(x,v,xq,"slerp-short",ones("quaternion"))'

vq = 4×1 quaternion array
            1 +        0i +        0j +        0k
      0.98774 + 0.022751i - 0.084907j -  0.12903k
      0.87097 +    0.151i -  0.30755j -  0.35217k
            1 +        0i +        0j +        0k

입력 인수

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`x` — 샘플 점
요소를 N개 가진 벡터

샘플 점으로, N개 요소를 가진 실수로 구성된 벡터로 지정됩니다. x는 적어도 두 개의 샘플 점을 포함해야 하며 x의 값들은 서로 달라야 합니다. x의 길이는 v의 형태에 따라 다릅니다.

v가 쿼터니언으로 구성된 벡터인 경우 length(x)는 length(v)와 같아야 합니다.
v가 쿼터니언으로 구성된 배열인 경우 length(x)는 size(v,1)과 같아야 합니다.

예: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

예: 1:10

예: [3 7 11 15 19 23 27 31]'

`v` — 샘플 쿼터니언
`quaternion` 객체 요소를 N개 가진 배열 | `quaternion` 객체로 구성된 배열

샘플 쿼터니언으로, quaternion 객체로 구성된 N개 요소 벡터 또는 쿼터니언 객체로 구성된 배열로 지정됩니다.

동일한 쿼리 점에서 샘플링된 데이터 세트가 여러 개인 경우 v를 배열로 지정하면 됩니다. 배열의 각 열은 서로 다른 1차원 샘플 값 세트를 포함해야 하며 첫 번째 차원의 길이는 N이어야 합니다. 여기서 N은 지정된 샘플 점 x의 개수입니다.

`xq` — 쿼리 점
스칼라 | 벡터 | 행렬 | 배열

쿼리 점으로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 실수로 구성된 배열로 지정됩니다.

예: 5

예: 1:0.05:10

예: (1:0.05:10)'

예: [0 1 2 7.5 10]

`method` — 보간 방법
`"slerp-short"` (디폴트 값) | `"slerp-natural"` | `"squad-natural"` | `"nearest"` | `"next"` | `"previous"`

보간 방법으로, 다음 표의 옵션 중 하나로 지정됩니다.

방법	설명	연속성	주석
`"slerp-short"`	보간 계수에 의한 샘플 쿼터니언 사이의 구면 선형 보간입니다. 샘플 쿼터니언 사이의 최단 보간 경로를 선택합니다. 최단 경로를 얻기 위해 각 샘플 점에서 입력 쿼터니언과 출력 쿼터니언이 반전될 수 있습니다. SLERP 알고리즘에 대한 자세한 내용은 SLERP 알고리즘 항목을 참조하십시오.	C⁰	적어도 2개의 샘플 쿼터니언 필요 낮은 메모리 요구 사항 효율적인 계산 시간 최단 경로 보간. 가장 빠른 계산 시간
`"slerp-natural"`	보간 계수에 의한 샘플 쿼터니언 사이의 구면 선형 보간으로, 샘플 쿼터니언 사이의 자연 보간 경로를 선택합니다. 입력 쿼터니언과 출력 쿼터니언은 샘플 점에서 동일한 부호를 갖습니다. SLERP 알고리즘에 대한 자세한 내용은 SLERP 알고리즘 항목을 참조하십시오.	C⁰	적어도 2개의 샘플 쿼터니언 필요 낮은 메모리 요구 사항 효율적인 계산 시간 입력 쿼터니언과 출력 쿼터니언은 샘플 점에서 동일한 부호를 갖습니다.
`"squad-natural"`	샘플 쿼터니언 사이의 구면 사각형 보간으로, 가속도의 점진적인 변화에 따른 매끄럽고 연속적인 천이를 제공합니다. 입력 쿼터니언과 출력 쿼터니언은 샘플 점에서 동일한 부호를 갖습니다. SQUAD 알고리즘에 대한 자세한 내용은 SQUAD 알고리즘 항목을 참조하십시오.	C¹	적어도 2개의 샘플 쿼터니언 필요 중간 수준의 메모리 요구 사항 효율적인 계산 시간 매끄러운 천이와 점진적인 가속도 변화
`"nearest"`	최근접이웃 보간. 쿼리 점의 보간된 값은 최근접 샘플 쿼터니언의 값입니다.	불연속	적어도 2개의 샘플 쿼터니언 필요 적당한 수준의 메모리 요구 사항
`"next"`	다음이웃 보간. 쿼리 점의 보간된 값은 다음 샘플 쿼터니언의 값입니다.	불연속	적어도 2개의 샘플 쿼터니언 필요. 메모리 요구 사항과 계산 시간이 `"nearest"`와 동일
`"previous"`	이전이웃 보간 쿼리 점의 보간된 값은 이전 샘플 쿼터니언의 값입니다.	불연속	적어도 2개의 샘플 쿼터니언 필요. 메모리 요구 사항과 계산 시간이 `"nearest"`와 동일

`extrapolation` — 외삽 쿼터니언
`nan("quaternion")` (디폴트 값) | `quaternion` 객체

외삽 쿼터니언으로, quaternion 객체로 지정됩니다. interp1 함수는 x의 정의역을 벗어나 쿼리하는 모든 xq 값에 대해 이 쿼터니언을 반환합니다.

예: interp1([0 1 2],quats,2.5,"slerp-natural")은 값이 NaN + NaNi + NaNj + NaNk인 쿼터니언을 반환합니다.

예: interp1([0 1 2],quats,2.5,"slerp-natural",zeros("quaternion"))은 값이 0 + 0i + 0j + 0k인 쿼터니언을 반환합니다.

출력 인수

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`vq` — 보간된 쿼터니언
스칼라 | 벡터 | 행렬 | 배열

보간된 값으로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 배열로 반환됩니다. vq의 크기는 v 및 xq의 형태에 따라 다릅니다.

`v`의 형태	`xq`의 형태	`vq`의 크기	예
벡터	벡터	`size(xq)`	`size(v) = [1 100]` 이고 `size(xq) = [1 500]`인 경우, `size(vq) = [1 500]`입니다.
벡터	행렬 또는 N차원 배열	`size(xq)`	`size(v) = [1 100]` 이고 `size(xq) = [50 30]`인 경우, `size(vq) = [50 30]`입니다.
배열	벡터	`[length(xq) size(v,2),...,size(v,n)]`	`size(v) = [100 3]` 이고 `size(xq) = [1 500]`인 경우, `size(vq) = [500 3]`입니다.
배열	행렬 또는 N차원 배열	`[size(xq,1),...,size(xq,n),... size(v,2),...,size(v,m)]`	`size(v) = [4 5 6]` 이고 `size(xq) = [2 3 7]`인 경우, `size(vq) = [2 3 7 5 6]`입니다.

알고리즘

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SLERP 알고리즘

쿼터니언 구면 선형 보간(spherical linear interpolation, SLERP)은 평면에서의 선형 보간을 3차원에서의 구면 보간으로 확장한 것입니다. 이 알고리즘은 [1]에서 처음 제안되었습니다. 2개의 쿼터니언 q₁과 q₂가 주어졌을 때, SLERP는 q₁과 q₂를 연결하는 대권을 따라 새로운 쿼터니언 q₀을 보간합니다. 보간 계수 T는 출력 쿼터니언이 q₁과 q₂ 중 어느 쪽에 더 가까운지를 결정합니다.

SLERP 알고리즘은 다음과 같이 정현파로 설명할 수 있습니다.

$q_{0} = \frac{\sin ((1 - T) θ)}{\sin (θ)} q_{1} + \frac{\sin (T θ)}{\sin (θ)} q_{2}$

여기서 q₁과 q₂는 정규화된 쿼터니언이고, θ는 q₁과 q₂ 사이 각거리의 절반입니다.

SQUAD 알고리즘

쿼터니언 구면 및 사각형(spherical and quadrangle, SQUAD) 보간은 SLERP 보간 방법을 확장한 것으로, 쿼터니언 [2]의 시퀀스 사이에서 보간을 수행하기 위해 설계되었습니다. 이 보간 방법에서는 중간 제어 쿼터니언을 도입해 여러 쿼터니언 키프레임에 걸쳐 연속적이고 매끄러운 각속도를 생성하며, 이는 Bézier 곡선이 카테시안 공간에서 매끄러운 경로를 생성하기 위해 제어점을 사용하는 것과 매우 유사합니다. SQUAD 알고리즘은 입력 인수 v를 사용하여 지정된 쿼터니언 키프레임의 각 연속 쌍 사이에 두 개의 제어 쿼터니언을 계산하여 각 쿼터니언 키프레임 쌍으로 사각형을 형성합니다. 이웃한 쿼터니언 키프레임도 이러한 제어 쿼터니언의 계산에 영향을 미쳐서 각 쿼터니언 키프레임 쌍의 보간된 경로 사이에서 매끄럽게 천이되도록 합니다.

SQUAD 보간 알고리즘은 우선 slerp 함수의 입력 인수 T에 해당하는 보간 계수 h를 사용하여 쿼터니언 q_i와 q_i+1 사이에서 SLERP를 사용합니다. 그런 다음 이 알고리즘은 SLERP를 사용하여 제어 쿼터니언 s_i와 s_i+1 사이를 보간합니다. 마지막으로, 알고리즘은 이 두 SLERP 경로 사이에서 SLERP를 사용하여 2h(1–h)를 보간 계수로 사용해 SQUAD 보간 경로를 얻습니다. 마지막 SLERP에 대한 2h(1–h) 보간 계수는 이 보간이 직선 경로가 아닌 매끄러운 곡선 경로가 되도록 하는 2차 함수입니다.

방정식 형식에서, 보간 계수가 h인 q_i와 q_i+1 사이의 SQUAD 보간은 다음과 같이 정의됩니다.

$S q u a d (q_{i}, q_{i + 1}, s_{i}, s_{i + 1}, h) = S l e r p (S l e r p (q_{i}, q_{i + 1}, h), S l e r p (s_{i}, s_{i + 1}, h), 2 h (1 - h)),$

여기서 s_i와 s_i+1은 다음 방정식을 사용하여 정의되는 제어 쿼터니언입니다.

$s_{i} = q_{i} \exp (- \frac{\log (q_{i}^{- 1} q_{i + 1}) + \log (q_{i}^{- 1} q_{i - 1})}{4})$

참고 문헌

[1] Shoemake, Ken. "Animating Rotation with Quaternion Curves." ACM SIGGRAPH Computer Graphics 19, no. 3 (July 1985): 245–54. https://doi.org/10.1145/325165.325242.

[2] Dam, Erik B., Martin Koch, and Martin Lillholm. Quaternions, Interpolation and Animation. Technical Report DIKU-TR-98/5. Department of Computer Science, University of Copenhagen, July 17, 1998. https://web.mit.edu/2.998/www/QuaternionReport1.pdf.

확장 기능

모두 확장

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

버전 내역

R2025a에 개발됨

참고 항목

quaternion | slerp

interp1

구문

설명

예제

샘플 점을 사용하여 정의된 쿼터니언 함수 보간하기

샘플 점을 지정하지 않고 쿼터니언 보간하기

SQUAD 보간을 사용하여 더 매끄러운 각속도 얻기

x의 정의역 밖에 있는 모든 쿼리에 대한 상수 값 지정하기

입력 인수

x — 샘플 점 요소를 N개 가진 벡터

v — 샘플 쿼터니언 quaternion 객체 요소를 N개 가진 배열 | quaternion 객체로 구성된 배열

xq — 쿼리 점 스칼라 | 벡터 | 행렬 | 배열

method — 보간 방법 "slerp-short" (디폴트 값) | "slerp-natural" | "squad-natural" | "nearest" | "next" | "previous"

extrapolation — 외삽 쿼터니언 nan("quaternion") (디폴트 값) | quaternion 객체

출력 인수

vq — 보간된 쿼터니언 스칼라 | 벡터 | 행렬 | 배열

알고리즘

SLERP 알고리즘

SQUAD 알고리즘

참고 문헌

확장 기능

C/C++ 코드 생성 MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

버전 내역

참고 항목

`x`의 정의역 밖에 있는 모든 쿼리에 대한 상수 값 지정하기

`x` — 샘플 점
요소를 N개 가진 벡터

`v` — 샘플 쿼터니언
`quaternion` 객체 요소를 N개 가진 배열 | `quaternion` 객체로 구성된 배열

`xq` — 쿼리 점
스칼라 | 벡터 | 행렬 | 배열

`method` — 보간 방법
`"slerp-short"` (디폴트 값) | `"slerp-natural"` | `"squad-natural"` | `"nearest"` | `"next"` | `"previous"`

`extrapolation` — 외삽 쿼터니언
`nan("quaternion")` (디폴트 값) | `quaternion` 객체

`vq` — 보간된 쿼터니언
스칼라 | 벡터 | 행렬 | 배열

C/C++ 코드 생성
MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.