Partial Differential Equation Toolbox를 사용하여 풀 수 있는 방정식

Partial Differential Equation Toolbox™는 다음 형식의 스칼라 방정식과

$$m\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla ·\left(c\nabla u\right)+au=f$$

다음 형식의 고유값 방정식을 풉니다.

$$\begin{array}{l}-\nabla ·\left(c\nabla u\right)+au=\lambda du\\ \text{or}\\ -\nabla ·\left(c\nabla u\right)+au={\lambda }^{2}mu\end{array}$$

스칼라 PDE의 경우 각 모서리 또는 면에 대해 선택할 수 있는 두 가지 경계 조건이 있습니다.

• 디리클레(Dirichlet) — 모서리 또는 면에서 해 u는 다음 방정식을 충족합니다.

  hu = r,

  여기서 h와 r은 공간(x, y 및 3차원인 경우 z), 해 u, 시간의 함수일 수 있습니다. 대개 h = 1로 두고 r을 적절한 값으로 설정합니다.

• 일반화된 노이만(Neumann) 경계 조건 — 모서리 또는 면에서 해 u는 다음 방정식을 충족합니다.

  $$\overrightarrow{n}·\left(c\nabla u\right)+qu=g$$

  $$\overrightarrow{n}$$는 바깥쪽 단위 법선입니다. q와 g는 ∂Ω에서 정의된 함수이며 x, y, z(3차원인 경우), 해 u, 시간(시간 종속 방정식인 경우)의 함수일 수 있습니다.

이 툴박스는 다음 형식의 연립방정식과

$$m\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla ·\left(c\otimes \nabla u\right)+au=f$$

다음 형식의 고유값 연립방정식도 풉니다.

$$\begin{array}{l}-\nabla ·\left(c\otimes \nabla u\right)+au=\lambda du\\ \text{or}\\ -\nabla ·\left(c\otimes \nabla u\right)+au={\lambda }^{2}mu\end{array}$$

N개의 컴포넌트를 갖는 연립 PDE(연립편미분방정식)는 결합된 경계 조건을 갖는 N개의 결합된 PDE입니다. 스칼라 PDE는 N = 1인 경우로, 하나의 PDE만 있음을 의미합니다. 연립 PDE는 일반적으로 N > 1을 의미합니다. 이 문서에서는 경우에 따라 연립 PDE(PDE 시스템)를 다차원 PDE 또는 벡터 해 u를 갖는 PDE로 지칭합니다. 모든 경우에서 연립 PDE는 하나의 지오메트리와 메시를 갖습니다. 달라질 수 있는 것은 방정식의 개수 N뿐입니다.

계수

계수 m, d, c, a, f는 위치(x, y 및 3차원인 경우 z)의 함수일 수 있으며, 고유값 문제를 제외하면 해 u 또는 그 기울기의 함수일 수도 있습니다. 고유값 문제의 경우 계수는 해 u 또는 그 기울기에 종속적이지 않습니다.

스칼라 방정식의 경우 c를 제외한 모든 계수는 스칼라입니다. 계수 c는 2차원 지오메트리에서는 2×2 행렬을, 3차원 지오메트리에서는 3×3 행렬을 나타냅니다. N개의 방정식으로 이루어진 연립 PDE의 경우, 계수 m, d, a는 N×N 행렬이고, f는 N×1 벡터이며, c는 2N×2N 텐서(2차원 지오메트리) 또는 3N×3N 텐서(3차원 지오메트리)입니다. $$c\otimes u$$의 의미는 c Coefficient for specifyCoefficients 항목을 참조하십시오.

m과 d가 모두 0이면 PDE는 정상(stationary)입니다. m 또는 d가 0이 아니면 해당 문제는 시간 종속적입니다. 계수 중 하나라도 해 u 또는 그 기울기에 종속적일 때, 그 문제는 비선형이라고 합니다.

경계 조건

연립 PDE의 경우 디리클레 경계 조건의 일반화된 버전은 hu = r입니다. 이 조건은 행렬 h에 해 벡터 u를 곱한 값이 벡터 r과 같음을 나타냅니다.

연립 PDE의 경우 노이만 경계 조건의 일반화된 버전은 $$n·\left(c\otimes \nabla u\right)+qu=g$$입니다. 예를 들어, 원주 경계 및 구면 경계의 경우 노이만 경계 조건의 일반화된 버전은 다음과 같습니다.

• 경계가 원주(2차원인 경우)이면 경계의 바깥쪽 법선 벡터는 $$n=\left(\cos (\phi ),\sin (\phi )\right)$$로 지정되고, 표기법 $$n·\left(c\otimes \nabla u\right)$$는 N×1 벡터를 의미하며, 그 (i,1) 요소는 다음과 같습니다.

  $${\displaystyle \sum _{j=1}^N\left(\cos (\phi )c_{i,j,1,1}\frac{\partial }{\partial x}+\cos (\phi )c_{i,j,1,2}\frac{\partial }{\partial y}+\sin (\phi )c_{i,j,2,1}\frac{\partial }{\partial x}+\sin (\phi )c_{i,j,2,2}\frac{\partial }{\partial y}\right)}{u}_j$$

  

• 경계가 구면(3차원인 경우)이면 경계의 바깥쪽 법선 벡터는 $$n=\left(\sin (\theta )\cos (\phi ),\sin (\theta )\sin (\phi ),\cos (\theta )\right)$$로 지정되고, 표기법 $$n·\left(c\otimes \nabla u\right)$$는 N×1 벡터를 의미하며, 그 (i,1) 성분은 다음과 같습니다.

  $$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=1}^N\left(\sin \left(\theta \right)\cos \left(\phi \right)c_{i,j,1,1}\frac{\partial }{\partial x}+\sin \left(\theta \right)\cos \left(\phi \right)c_{i,j,1,2}\frac{\partial }{\partial y}+\sin \left(\theta \right)\cos \left(\phi \right)c_{i,j,1,3}\frac{\partial }{\partial z}\right)u_j}\\ +{\displaystyle \sum _{j=1}^N\left(\sin \left(\theta \right)\sin \left(\phi \right)c_{i,j,2,1}\frac{\partial }{\partial x}+\sin \left(\theta \right)\sin \left(\phi \right)c_{i,j,2,2}\frac{\partial }{\partial y}+\sin \left(\theta \right)\sin \left(\phi \right)c_{i,j,2,3}\frac{\partial }{\partial z}\right)u_j}\\ +{\displaystyle \sum _{j=1}^N\left(\cos \left(\theta \right)c_{i,j,3,1}\frac{\partial }{\partial x}+\cos \left(\theta \right)c_{i,j,3,2}\frac{\partial }{\partial y}+\cos \left(\theta \right)c_{i,j,3,3}\frac{\partial }{\partial z}\right)u_j}\end{array}$$

  

각 모서리 또는 면 세그먼트에는 총 N개의 경계 조건이 있습니다.

참고 항목

도움말 항목

• Put Equations in Divergence Form
• PDEModel 객체를 사용하여 문제 풀기
• f Coefficient for specifyCoefficients
• c Coefficient for specifyCoefficients
• m, d, or a Coefficient for specifyCoefficients