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범위 제약 조건이 있는 2차 계획법: 문제 기반

이 예제에서는 2차 목적 함수를 갖는 스케일링 가능한 범위 제약 조건 문제를 정식화하고 푸는 방법을 보여줍니다. 또한 몇 가지 알고리즘에서의 해의 동작도 보여줍니다. 이 문제는 임의 개수의 변수를 포함할 수 있습니다. 변수의 개수가 스케일에 해당합니다. 이 예제의 솔버 기반 버전은 범위 제약 조건을 사용한 2차 최소화 항목을 참조하십시오.

목적 함수는 문제 변수의 개수 n의 함수로서 다음과 같습니다.

$$2\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i{x}_{i+1}-2x_1-2x_n.$$

문제 만들기

400개의 성분을 갖는 문제 변수 x를 만듭니다. 또한 목적 함수에 대한 표현식 objec도 만듭니다. 각 변수에 대해 하한은 0으로, 상한은 0.9로 지정합니다. 단, ${\mathit{x}}_{\mathit{n}}$은 비유계로 둡니다.

n = 400;
x = optimvar('x',n,'LowerBound',0,'UpperBound',0.9);
x(n).LowerBound = -Inf;
x(n).UpperBound = Inf;
prevtime = 1:n-1;
nexttime = 2:n;
objec = 2*sum(x.^2) - 2*sum(x(nexttime).*x(prevtime)) - 2*x(1) - 2*x(end);

최적화 문제 qprob를 만듭니다. 문제에 목적 함수를 포함시킵니다.

qprob = optimproblem('Objective',objec);

quadprog 'trust-region-reflective' 알고리즘과 함께 표시하지 않음을 지정하는 옵션을 생성합니다. 범위의 가운데쯤에 배치되는 초기점을 생성합니다.

opts = optimoptions('quadprog','Algorithm','trust-region-reflective','Display','off');
x0 = 0.5*ones(n,1);
x00 = struct('x',x0);

문제 풀기 및 해 검토하기

문제를 풉니다.

[sol,qfval,qexitflag,qoutput] = solve(qprob,x00,'options',opts);

해를 플로팅합니다.

plot(sol.x,'b-')
xlabel('Index')
ylabel('x(index)')

종료 플래그와 반복 횟수 및 켤레 기울기 반복 횟수를 보고합니다.

fprintf('Exit flag = %d, iterations = %d, cg iterations = %d\n',...
    double(qexitflag),qoutput.iterations,qoutput.cgiterations)

Exit flag = 3, iterations = 19, cg iterations = 1668

켤레 기울기 반복이 여러 번 있었습니다.

효율성 증대를 위해 옵션 조정하기

SubproblemAlgorithm 옵션을 'factorization'으로 설정하여 켤레 기울기 반복 횟수를 줄입니다. 이 옵션을 사용하면 솔버가 켤레 기울기 스텝을 없애는 비용이 더 많이 드는 내부 풀이 기법을 사용하므로 이 경우에는 전반적으로 소요 시간이 줄어듭니다.

opts.SubproblemAlgorithm = 'factorization';
[sol2,qfval2,qexitflag2,qoutput2] = solve(qprob,x00,'options',opts);
fprintf('Exit flag = %d, iterations = %d, cg iterations = %d\n',...
    double(qexitflag2),qoutput2.iterations,qoutput2.cgiterations)

Exit flag = 3, iterations = 10, cg iterations = 0

반복 횟수 및 켤레 기울기 반복 횟수가 줄어들었습니다.

해와 'interior-point' 해 비교하기

이러한 해를 디폴트 'interior-point' 알고리즘을 사용하여 구한 해와 비교합니다. 'interior-point' 알고리즘은 초기점을 사용하지 않으므로 x00을 solve에 전달하지 마십시오.

opts = optimoptions('quadprog','Algorithm','interior-point-convex','Display','off');
[sol3,qfval3,qexitflag3,qoutput3] = solve(qprob,'options',opts);
fprintf('Exit flag = %d, iterations = %d, cg iterations = %d\n',...
    double(qexitflag3),qoutput3.iterations,0)

Exit flag = 1, iterations = 8, cg iterations = 0

middle = floor(n/2);
fprintf('The three solutions are slightly different.\nThe middle component is %f, %f, or %f.\n',...
    sol.x(middle),sol2.x(middle),sol3.x(middle))

The three solutions are slightly different.
The middle component is 0.896796, 0.898676, or 0.857389.

fprintf('The relative norm of sol - sol2 is %f.\n',norm(sol.x-sol2.x)/norm(sol.x))

The relative norm of sol - sol2 is 0.001445.

fprintf('The relative norm of sol2 - sol3 is %f.\n',norm(sol2.x-sol3.x)/norm(sol2.x))

The relative norm of sol2 - sol3 is 0.035894.

fprintf(['The three objective function values are %f, %f, and %f.\n' ...
    'The ''interior-point'' algorithm is slightly less accurate.'],qfval,qfval2,qfval3)

The three objective function values are -1.985000, -1.985000, and -1.984963.
The 'interior-point' algorithm is slightly less accurate.

관련 항목

• 범위 제약 조건을 사용한 2차 최소화
• 문제 기반 최적화 워크플로