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발전기 최적 운용법: 문제 기반

이 예제에서는 수입에서 비용을 뺀 값을 최대화할 수 있도록 가스 연소식 발전기 2대의 가동 일정을 최적화하는 방법을 다룹니다. 이 예제가 완전히 현실적인 상황은 아니지만, 결정 시점에 따라 변하는 비용을 염두에 두는 점은 분명히 다루고 있습니다.

이 문제에 대한 솔버 기반 접근법은 발전기 최적 운용법: 솔버 기반 항목을 참조하십시오.

문제 정의

전력 시장에서는 하루에도 시간대에 따라 가격이 계속 달라집니다. 전기를 공급하는 발전기를 보유하고 있을 경우 가격이 높게 형성되는 시점에 발전기를 가동하도록 일정을 설정함으로써 이러한 가변적 가격 책정을 유리하게 이용할 수 있습니다. 두 대의 발전기를 제어한다고 가정하겠습니다. 각 발전기에는 끄기, 낮음, 높음의 세 가지 발전 수준이 있습니다. 각 발전기는 각 발전 수준마다 연료 소비율과 전력 생산율이 정해져 있습니다. 발전기가 꺼져 있을 때는 연료 소비율이 0입니다.

하루 중 30분의 시간 간격마다(하루는 24시간이므로 총 48개의 시간 간격이 있음) 각 발전기의 발전 수준을 지정할 수 있습니다. 과거 기록을 기준으로 각 시간 간격에서 얻을 수 있는 시간당 발전 메가와트(MWh)당 수입을 알고 있다고 가정하겠습니다. 이 예제에 사용할 데이터는 2013년도 중반 AEMO(Australian Energy Market Operator, https://www.nemweb.com.au/REPORTS/CURRENT/)에서 얻은 것으로, 사용약관(https://www.aemo.com.au/privacy-and-legal-notices/copyright-permissions)에 따라 사용되고 있습니다.

load dispatchPrice; % Get poolPrice, which is the revenue per MWh
bar(poolPrice,.5)
xlim([.5,48.5])
xlabel('Price per MWh at each period')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

발전기를 끈 후 시동하려면 비용이 발생합니다. 당일의 최대 연료 사용량에 대한 제약 조건도 있습니다. 하루 앞서 연료를 구매하게 되며 구매한 만큼만 연료를 사용할 수 있으므로 이러한 제약 조건이 존재하는 것입니다.

문제의 표기 및 파라미터

일정 문제는 이진 정수 계획법 문제로 정식화할 수 있습니다. 인덱스 i, j, k와 이진 일정 벡터 y를 다음과 같이 정의합니다.

  • nPeriods = 시간 주기의 수로, 이 경우에는 48입니다.

  • i = 시간 주기로, 1 <= i <= 48입니다.

  • j = 발전기 인덱스로, 이 예제에서는 1 <= j <= 2입니다.

  • i번째 주기에 발전기 j가 발전 수준 k로 가동할 때 y(i,j,k) = 1입니다. 낮은 전력이 k = 1이 되도록 하고 높은 전력은 k = 2가 되도록 합니다. sum_k y(i,j,k) = 0일 때는 발전기가 꺼진 것입니다.

발전기가 꺼진 후 시동되는 시점을 결정합니다. 이 시점을 결정하려면 기간 i에 발전기 j를 켜기 위해 충전할지 여부를 표시하는 보조 이진 변수 z(i,j)를 정의합니다.

  • i번째 주기에 발전기 j가 꺼지고 i + 1번째 주기에 켜지면 z(i,j) = 1입니다. 그렇지 않으면 z(i,j) = 0입니다. 다시 말해, sum_k y(i,j,k) = 0이고 sum_k y(i+1,j,k) = 1일 때 z(i,j) = 1입니다.

y의 설정을 기준으로 z를 자동으로 설정할 방법이 필요합니다. 아래의 선형 제약 조건에서 이 설정을 다룹니다.

비용, 각 발전기의 발전 수준, 발전기의 소비 수준, 사용 가능한 연료에 대한 문제의 파라미터도 필요합니다.

  • poolPrice(i) -- 간격 i에서 MWh당 수입(단위: 달러)

  • gen(j,k) -- 발전기 j가 발전 수준 k에서 발전하는 전력(단위: MW)

  • fuel(j,k) -- 발전기 j가 발전 수준 k에서 사용하는 연료

  • totalFuel -- 하루에 사용 가능한 연료

  • startCost -- 발전기가 꺼진 후 다시 가동할 때 드는 비용(단위: 달러)

  • fuelPrice -- 단위 연료당 비용

poolPriceload dispatchPrice;를 실행하여 구했습니다. 나머지 파라미터는 다음과 같이 설정합니다.

fuelPrice = 3;
totalFuel = 3.95e4;
nPeriods = length(poolPrice); % 48 periods
nGens = 2; % Two generators
gen = [61,152;50,150]; % Generator 1 low = 61 MW, high = 152 MW
fuel = [427,806;325,765]; % Fuel consumption for generator 2 is low = 325, high = 765
startCost = 1e4; % Cost to start a generator after it has been off

발전기 효율

두 가지 가동 수준에서의 두 발전기의 효율을 조사합니다.

efficiency = gen./fuel; % Calculate electricity per unit fuel use
rr = efficiency'; % for plotting
h = bar(rr);
h(1).FaceColor = 'g';
h(2).FaceColor = 'c';
legend(h,'Generator 1','Generator 2','Location','NorthEastOutside')
ax = gca;
ax.XTick = [1,2];
ax.XTickLabel = {'Low','High'};
ylim([.1,.2])
ylabel('Efficiency')

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type bar. These objects represent Generator 1, Generator 2.

발전기 2가 각 가동 시점(낮음 및 높음)에서 발전기 1보다 약간 더 효율적이지만, 높은 가동 시점에서의 발전기 1은 낮은 가동 시점에서의 발전기 2보다 효율적입니다.

해를 구하기 위한 변수

문제를 설정하려면 모든 문제 데이터와 제약 조건을 문제 형식으로 표현해야 합니다. y(i,j,k)는 문제의 해를 나타내고, 보조 변수 z(i,j)는 발전기를 켜기 위해 충전할지 여부를 나타냅니다. ynPeriods-by-nGens-by-2 배열이고 znPeriods-by-nGens 배열입니다. 모든 변수는 이진 변수입니다.

y = optimvar('y',nPeriods,nGens,{'Low','High'},'Type','integer','LowerBound',0,...
    'UpperBound',1);
z = optimvar('z',nPeriods,nGens,'Type','integer','LowerBound',0,...
    'UpperBound',1);

선형 제약 조건

발전 수준에 1의 값을 갖는 성분이 두 개 이상 없도록 하려면 선형 부등식 제약 조건을 설정하십시오.

powercons = y(:,:,'Low') + y(:,:,'High') <= 1;

주기당 가동 비용은 해당 기간 동안의 연료비입니다. k 수준에서 가동하는 발전기 j의 경우, 소요되는 비용은 fuelPrice * fuel(j,k)입니다.

사용되는 모든 연료를 고려하는 표현식 fuelUsed를 만듭니다.

yFuel = zeros(nPeriods,nGens,2);
yFuel(:,1,1) = fuel(1,1); % Fuel use of generator 1 in low setting
yFuel(:,1,2) = fuel(1,2); % Fuel use of generator 1 in high setting
yFuel(:,2,1) = fuel(2,1); % Fuel use of generator 2 in low setting
yFuel(:,2,2) = fuel(2,2); % Fuel use of generator 2 in high setting

fuelUsed = sum(sum(sum(y.*yFuel)));

다음 제약 조건은 사용되는 연료가 이용 가능한 연료 이하여야 한다는 것을 나타냅니다.

fuelcons = fuelUsed <= totalFuel;

발전기 시동 표시 변수 설정하기

어떻게 하면 z 변수가 자동으로 y 변수가 나타내는 가동/꺼짐 주기와 일치되도록 솔버를 설정할 수 있을까요? sum_k y(i,j,k) = 0sum_k y(i+1,j,k) = 1일 때 만족해야 할 조건은 z(i,j) = 1이라는 점을 상기하십시오.

z(i,j) = 1을 원하는 경우 sum_k ( - y(i,j,k) + y(i+1,j,k) ) > 0입니다.

따라서, 문제 정식화에 다음의 선형 부등식 제약 조건을 포함시킵니다.

sum_k ( - y(i,j,k) + y(i+1,j,k) ) - z(i,j) < = 0.

목적 함수 비용에 변수 z도 포함시킵니다. 목적 함수에 변수 z를 포함함으로써 솔버는 변수의 값을 낮추려고 하는데, 이는 곧 이들 변수를 모두 0으로 설정하려고 시도한다는 의미입니다. 하지만 발전기가 가동되는 구간 동안에는 선형 부등식이 z(i,j)를 강제로 1과 같아지게 합니다.

y(i+1,j,k) - y(i,j,k)를 나타내는 보조 변수 w를 만듭니다. 발전기 시동 부등식을 w로 표현합니다.

w = optimexpr(nPeriods,nGens); % Allocate w
idx = 1:(nPeriods-1);
w(idx,:) = y(idx+1,:,'Low') - y(idx,:,'Low') + y(idx+1,:,'High') - y(idx,:,'High');
w(nPeriods,:) = y(1,:,'Low') - y(nPeriods,:,'Low') + y(1,:,'High') - y(nPeriods,:,'High');
switchcons = w - z <= 0;

목적 함수 정의하기

목적 함수에는 발전기 가동을 위한 연료비, 발전기 가동으로 얻는 수입, 발전기 시동 비용이 포함됩니다.

generatorlevel  = zeros(size(yFuel));
generatorlevel(:,1,1) = gen(1,1); % Fill in the levels
generatorlevel(:,1,2) = gen(1,2);
generatorlevel(:,2,1) = gen(2,1);
generatorlevel(:,2,2) = gen(2,2); 

수입 = .*generatorlevel.*poolPrice

revenue = optimexpr(size(y));
for ii = 1:nPeriods
    revenue(ii,:,:) = poolPrice(ii)*y(ii,:,:).*generatorlevel(ii,:,:);
end

총 연료비 = fuelUsed*fuelPrice

fuelCost = fuelUsed*fuelPrice;

발전기 시동 비용 = z*startCost

startingCost = z*startCost;

이윤 = 수입 - 총 연료비 - 시동 비용

profit = sum(sum(sum(revenue))) - fuelCost - sum(sum(startingCost));

문제 풀기

최적화 문제를 만들고 목적 함수와 제약 조건을 포함시킵니다.

dispatch = optimproblem('ObjectiveSense','maximize');
dispatch.Objective = profit;
dispatch.Constraints.switchcons = switchcons;
dispatch.Constraints.fuelcons = fuelcons;
dispatch.Constraints.powercons = powercons;

공간 절약을 위해 반복 과정은 표시하지 않습니다.

options = optimoptions('intlinprog','Display','final');

문제를 풉니다.

[dispatchsol,fval,exitflag,output] = solve(dispatch,'options',options);
Solving problem using intlinprog.

Optimal solution found.

Intlinprog stopped because the objective value is within a gap tolerance of the
optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default value). The intcon
variables are integer within tolerance, options.IntegerTolerance = 1e-05 (the
default value).

해 검토하기

해를 시간의 함수로 플로팅합니다.

subplot(3,1,1)
bar(dispatchsol.y(:,1,1)*gen(1,1)+dispatchsol.y(:,1,2)*gen(1,2),.5,'g')
xlim([.5,48.5])
ylabel('MWh')
title('Generator 1 Optimal Schedule','FontWeight','bold')
subplot(3,1,2)
bar(dispatchsol.y(:,2,1)*gen(1,1)+dispatchsol.y(:,2,2)*gen(1,2),.5,'c')
title('Generator 2 Optimal Schedule','FontWeight','bold')
xlim([.5,48.5])
ylabel('MWh')
subplot(3,1,3)
bar(poolPrice,.5)
xlim([.5,48.5])
title('Energy Price','FontWeight','bold')
xlabel('Period')
ylabel('$ / MWh')

Figure contains 3 axes. Axes 1 with title Generator 1 Optimal Schedule contains an object of type bar. Axes 2 with title Generator 2 Optimal Schedule contains an object of type bar. Axes 3 with title Energy Price contains an object of type bar.

발전기 2는 발전기 1보다 오래 가동되며, 이는 발전기 2가 더 효율적이므로 예상할 수 있는 바입니다. 발전기 2는 가동될 때마다 높은 발전 수준으로 가동됩니다. 발전기 1은 주로 높은 발전 수준으로 가동되지만, 하나의 시간 단위(주기) 동안은 낮은 발전 수준으로 떨어집니다. 각 발전기는 매일 하나의 연속적인 주기의 집합이 지속되는 동안 가동되므로, 매일 단 한 차례만 시동 비용이 발생합니다.

발전기가 시동되는 주기 동안 z 변수가 1인지 확인합니다.

starttimes = find(round(dispatchsol.z) == 1); % Use round for noninteger results
[theperiod,thegenerator] = ind2sub(size(dispatchsol.z),starttimes)
theperiod = 2×1

    23
    16

thegenerator = 2×1

     1
     2

발전기가 시동되는 주기는 플롯과 일치합니다.

시동에 더 낮은 비용이 드는 경우와 비교하기

startCost에 더 작은 값을 지정하면 해에 여러 개의 발전 주기가 포함됩니다.

startCost = 500; % Choose a lower penalty for starting the generators
startingCost = z*startCost;
profit = sum(sum(sum(revenue))) - fuelCost - sum(sum(startingCost));
dispatch.Objective = profit;
[dispatchsolnew,fvalnew,exitflagnew,outputnew] = solve(dispatch,'options',options);
Solving problem using intlinprog.

Optimal solution found.

Intlinprog stopped because the objective value is within a gap tolerance of the
optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default value). The intcon
variables are integer within tolerance, options.IntegerTolerance = 1e-05 (the
default value).
subplot(3,1,1)
bar(dispatchsolnew.y(:,1,1)*gen(1,1)+dispatchsolnew.y(:,1,2)*gen(1,2),.5,'g')
xlim([.5,48.5])
ylabel('MWh')
title('Generator 1 Optimal Schedule','FontWeight','bold')
subplot(3,1,2)
bar(dispatchsolnew.y(:,2,1)*gen(1,1)+dispatchsolnew.y(:,2,2)*gen(1,2),.5,'c')
title('Generator 2 Optimal Schedule','FontWeight','bold')
xlim([.5,48.5])
ylabel('MWh')
subplot(3,1,3)
bar(poolPrice,.5)
xlim([.5,48.5])
title('Energy Price','FontWeight','bold')
xlabel('Period')
ylabel('$ / MWh')

Figure contains 3 axes. Axes 1 with title Generator 1 Optimal Schedule contains an object of type bar. Axes 2 with title Generator 2 Optimal Schedule contains an object of type bar. Axes 3 with title Energy Price contains an object of type bar.

starttimes = find(round(dispatchsolnew.z) == 1); % Use round for noninteger results
[theperiod,thegenerator] = ind2sub(size(dispatchsolnew.z),starttimes)
theperiod = 3×1

    22
    16
    45

thegenerator = 3×1

     1
     2
     2

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