상태공간 실현

상태공간 실현은 주어진 입력-출력 동작의 구현입니다. 시스템이 전달 행렬 H(s)로 모델링되는 경우 실현은 $$H\left(s\right)=C{\left(sI-A\right)}^{-1}B+D$$와 같은 행렬 A, B, C, D의 집합입니다. 즉, 시스템에 상태 벡터 x가 있는 경우 시스템 동작은 다음 상태 방정식으로 설명할 수 있습니다.

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du.\end{array}$$

시스템의 가능한 실현은 무한히 많습니다. 최소 실현은 A가 가능한 가장 작은 차원을 갖는 실현입니다. 즉, 주어진 실현 A, B, C, D는 A'이 A보다 작은 차원을 갖는 다른 실현 A', B', C', D'이 없다면 최소 실현입니다.

상태 변환은 $$\widehat{x}=Tx$$를 충족하는 가역 행렬 T에 의한 상태 벡터의 회전입니다. 상태 변환은 시스템의 다음과 같은 동등한 상태공간 표현을 생성합니다.

$$\begin{array}{l}\widehat{A}=TA{T}^{-1}\\ \widehat{B}=TB\\ \widehat{C}=C{T}^{-1}\\ \widehat{D}=D.\end{array}$$

표준형으로 알려진 특정 최소 실현은 일부 유형의 동적 시스템 이론 및 분석에 유용할 수 있습니다. 이 항목에서는 이러한 몇몇 표준형과 관련 변환을 요약하여 설명합니다.

모드 표준형

모드 표준형은 시스템 고유값을 분리하는 대각화된 형식입니다. 모드 표준형에서 A 또는 (A,E)는 블록 대각 행렬입니다. 블록 크기는 일반적으로 실수 고유값의 경우 1×1이고 복소수 고유값의 경우 2×2입니다. 하지만 반복되는 고유값이 있거나 서로 가까운 고유값들이 무리지어 있는 경우 그 블록 크기가 더 커질 수 있습니다.

예를 들어 고유값이 $$({\lambda }_1,\sigma \pm j\omega ,{\lambda }_2)$$인 시스템의 경우 모드 A 행렬은 다음과 같은 형식입니다.

$$A_m=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& \sigma & \omega & 0\\ 0& -\omega & \sigma & 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right].$$

모드 표준형 얻기

모드 표준형을 얻으려면 modalreal 명령 [msys,blks] = modalreal(sys)를 사용합니다.

ssest (System Identification Toolbox)를 사용하여 시스템 식별을 수행할 때 Form을 modal로 설정하여 모드 표준형을 얻습니다.

제어 가능 동반형

동반 실현에서 시스템의 특성 다항식은 A 행렬에 명시적으로 나타납니다. 다음과 같은 특성 다항식이 있는 SISO 시스템의 경우

$$P(s)=s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+{\alpha }_{n-2}{s}^{n-2}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0,$$

상응하는 제어 가능 동반형에 다음이 포함됩니다.

$$A_{ccom}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \end{array}\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}-{\alpha }_0\\ -{\alpha }_1\\ -{\alpha }_2\\ -{\alpha }_3\\ ⋮\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{ccom}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right].$$

다중 입력 시스템의 경우 A_ccom의 형식은 동일하며, B_ccom의 첫 번째 열은 표시된 것과 같습니다. 이 형식은 B_ccom의 나머지 부분, 또는 C_ccom 및 D_ccom이 특정한 구조일 것을 요구하지 않습니다.

제어 가능 동반형 얻기

명령 csys = compreal(H,"c")는 상태 변환 T = ctrb(H.A,H.B)를 사용하여 A 행렬을 동반형으로 바꿔 H의 제어 가능 동반형 실현을 계산합니다.

ssest (System Identification Toolbox) 또는 n4sid (System Identification Toolbox)와 같은 명령을 사용하여 시스템 식별을 수행할 때 Form을 companion으로 설정하여 동반형을 얻습니다.

동반 변환을 수행하려면 시스템이 첫 번째 입력부터 제어 가능해야 합니다. 동반형으로의 변환은 중간 범위 차수에 대해 거의 항상 수치적 특이성을 보이는 가제어성 행렬을 기반으로 합니다. 따라서 가능하면 계산에 사용하지 마십시오.

관측 가능 동반형

T = ctrb(H.A,H.B) 대신에 가관측성 상태 변환 T = obsv(H.A,H.B)를 사용하여 관련 형식을 얻습니다. 이 형식은 다음과 같이 제어 가능 동반형의 쌍대(전치)입니다.

$$\begin{array}{l}{A}_{ocom}=A_{ccom}^T\\ B_{ocom}=C_{ccom}^T\\ C_{ocom}=B_{ccom}^T\\ D_{ocom}=D_{ccom}^T.\end{array}$$

특히 다음과 같습니다.

$$A_{ocom}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_0\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_1\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_2\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_3\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \\ \dots \end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],C_{ocom}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\end{array}\right].$$

이 형식을 가관측성 표준형[1]이라고도 하지만, 이는 관측 가능 표준형과는 다릅니다.

관측 가능 동반형 얻기

명령 csys = compreal(H,"o")는 상태 변환 T = ctrb(H.A,H.B)를 사용하여 A 행렬을 동반형으로 바꿔 H의 관측 가능 동반형 실현을 계산합니다.

ssest (System Identification Toolbox) 또는 n4sid (System Identification Toolbox)와 같은 명령을 사용하여 시스템 식별을 수행할 때 Form을 canonical로 설정하여 이 형식을 얻습니다.

제어 가능 표준형

다음과 같은 전달 함수를 갖는 엄격한 적정 시스템의 경우

$$H\left(s\right)=\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0}+d_0,$$

제어 가능 표준형[2]은 다음과 같이 주어집니다.

$$\begin{array}{l}{A}_{cont}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_0\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_1\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_2\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ -{\alpha }_3\end{array}\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \\ \dots \end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{cont}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ \begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\end{array}\right],\\ C_{cont}=\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \dots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right],D_{cont}=d_0.\end{array}$$

이 형식을 위상-변수 표준형이라고도 합니다. 이 형식에서 특성 다항식의 계수는 A_cont의 마지막 행에 나타납니다. 제어 가능 표준형은 모든 모델 상태가 제어 가능 상태인 최소 실현입니다. 동반형 및 관측 가능 표준형처럼 이것도 계산 조건이 나쁠 수 있습니다.

제어 가능 표준형 얻기

제어 가능 표준형을 직접 계산하기 위한 MATLAB^® 명령은 없습니다. 그러나 전달 함수 형식 H(s)로 시스템을 얻을 수 있는 경우 계수 ɑ₀,…,ɑ_n–1, β₀,…,β_n–1, d₀을 사용하여 MATLAB에서 제어 가능 표준형 행렬을 생성할 수 있습니다. 그런 다음, ss 명령으로 시스템을 만듭니다.

관측 가능 표준형

시스템의 관측 가능 표준형은 제어 가능 표준형의 쌍대(전치)입니다. 이 형식에서 시스템의 특성 다항식은 A 행렬의 마지막 열에 명시적으로 나타납니다. 관측 가능 표준형은 다음과 같이 제어 가능 표준형에서 얻을 수 있습니다.

$$\begin{array}{l}{A}_{obs}=A_{cont}^T\\ B_{obs}=C_{cont}^T\\ C_{obs}=B_{cont}^T\\ D_{obs}=D_{cont}^T.\end{array}$$

따라서 다음과 같은 전달 함수를 갖는 시스템의 경우

$$H\left(s\right)=\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +{\alpha }_{1}s+{\alpha }_0}+d_0,$$

관측 가능 표준형[2]은 다음과 같이 주어집니다.

$$\begin{array}{l}{A}_{obs}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ \ddots \\ \dots \end{array}\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}-{\alpha }_0\\ -{\alpha }_1\\ -{\alpha }_2\\ -{\alpha }_3\\ ⋮\\ -{\alpha }_{n-1}\end{array}\end{array}\end{array}\right],B_{obs}=\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ \begin{array}{l}⋮\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\end{array}\right],\\ C_{obs}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \begin{array}{cc}\dots & 0\end{array}& 1\end{array}\right],D_{obs}=d_0.\end{array}$$

동반형과 마찬가지로 이 형식에서 특성 다항식의 계수는 A_obs의 마지막 열에 나타납니다. 관측 가능 표준형은 모든 모델 상태가 관측 가능 상태인 최소 실현입니다.

관측 가능 표준형 얻기

제어 가능 표준형과 마찬가지로 관측 가능 표준형을 직접 계산하는 MATLAB 명령은 없습니다. 그러나 전달 함수 형식 H(s)로 시스템을 얻을 수 있는 경우 계수 ɑ₀,…,ɑ_n–1, β₀,…,β_n–1, d₀을 사용하여 MATLAB에서 관측 가능 표준형 행렬을 생성할 수 있습니다. 그런 다음, ss 명령으로 시스템을 만듭니다.

참고 문헌

[1] Baillieul, John, "Observability Canonical Form and the Theory of Observers," lecture notes, November 15, 2012, accessed June 10, 2022, https://people.bu.edu/johnb/501Lecture19.pdf.

[2] Gillis, James T., "State Space." In Control System Fundamentals., edited by William S. Levine, 2d ed. The Electrical Engineering Handbook Series. Boca Raton: CRC Press, 2011.

참고 항목

modalreal | compreal | ss | ssest (System Identification Toolbox) | n4sid (System Identification Toolbox)

관련 항목

• Scaling State-Space Models