care

(권장되지 않음) 연속시간 대수 리카티 방정식 풀기

care는 권장되지 않습니다. icare를 대신 사용하십시오. 자세한 내용은 버전 내역을 참조하십시오.

구문

[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E)

[X,L,G] = care(A,B,Q)

[X,L,G,report] = care(___)

[X1,X2,D,L] = care(___,'factor')

설명

[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E)는 다음과 같은 일반적인 리카티 방정식을 풉니다.

$$A^{T}XE+E^{T}XA-(E^{T}XB+S)R^{-1}(B^{T}XE+S^T)+Q=0$$

care는 해 X 외에도 이득 행렬 G와 폐루프 고유값으로 구성된 벡터 L을 반환합니다.

[X,L,G] = care(A,B,Q)는 다음과 같은 연속시간 대수 리카티 방정식의 유일한 해 X를 계산합니다.

$$A^{T}X+XA-XB{B}^{T}X+Q=0$$

[X,L,G,report] = care(___)는 진단 리포트도 반환합니다.

이 구문은 X가 존재하지 않는 경우에도 오류 메시지를 생성하지 않습니다.

[X1,X2,D,L] = care(___,'factor')는 리카티 방정식의 분해된 해를 반환합니다.

예제

대수 리카티 방정식 풀기

이 예제에서는 다음과 같은 리카티 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다.

$$A^{T}X+XA-XB{R}^{-1}{B}^{T}X+C^{T}C=0$$

다음과 같이 주어졌을 때

$$A=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 1& 1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]R=3$$

행렬을 정의하고 방정식을 풉니다.

a = [-3 2;1 1]
b = [0 ; 1]
c = [1 -1]
r = 3
[x,l,g] = care(a,b,c'*c,r)

x =

    0.5895    1.8216
    1.8216    8.8188


l =

   -1.4370
   -3.5026


g =

    0.6072    2.9396

a와 a-b*g의 고유값을 비교하여 이 해가 실제로 안정화되고 있음을 확인할 수 있습니다.

[eig(a)   eig(a-b*g)]

ans =
   -3.4495   -3.5026
    1.4495   -1.4370

마지막으로, 변수 l이 폐루프 고유값 eig(a-b*g)를 포함한다는 사실을 확인합니다.

H-무한대 유사 리카티 방정식 풀기

이 예제에서는 다음과 같은 $$H_{\infty }$$ 유사 리카티 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다.

$$A^{T}X+XA+X({\gamma }^{-2}{B}_1{B}_1^T-B_2{B}_2^T)X+C^{T}C=0$$

다음과 같이 care가 지원하는 형식으로 방정식을 다시 작성할 수 있습니다.

$$A^{T}X+XA-X\underset{B}{\underbrace{[B_1,B_2]}}{\underset{R}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}-{\gamma }^{2}I& 0\\ 0& I\end{array}\right]}}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_1^T\\ B_2^T\end{array}\right]X+C^{T}C=0$$

주어진 입력 행렬에 대해, 이제 다음과 같이 안정화 해 $$X$$를 계산할 수 있습니다.

B = [B1 , B2]
m1 = size(B1,2)
m2 = size(B2,2)
R = [-g^2*eye(m1) zeros(m1,m2) ; zeros(m2,m1) eye(m2)]

X = care(A,B,C'*C,R)

입력 인수

A, B, Q, R, S, E — 입력 행렬

행렬

입력 행렬로, 행렬로 지정됩니다. R, S, E를 생략하면 함수는 디폴트 값 R = I, S = 0, E = I를 사용합니다.

출력 인수

X — 리카티 방정식의 해

행렬

연속시간 대수 리카티 방정식의 해로, 행렬로 반환됩니다.

관련 해밀턴 행렬이 허수축에 고유값을 갖는 경우 care는 X에 대해 []을 반환합니다.

L — 폐루프 고유값

벡터

폐루프 고유값으로, 행렬로 반환됩니다.

폐루프 고유값 L은 다음과 같이 계산됩니다.

L=eig(A-B*G,E)

G — 상태-피드백 이득

행렬

상태-피드백 이득으로, 행렬로 반환됩니다.

상태-피드백 이득 G는 다음과 같이 계산됩니다.

$$G=R^{-1}(B^{T}XE+S^T)$$

관련 해밀턴 행렬이 허수축에 고유값을 갖는 경우 care는 G에 대해 []을 반환합니다.

report — 진단 리포트

스칼라

진단 리포트로, 다음 값 중 하나를 가진 스칼라로 반환됩니다.

• -1: 해당 해밀턴 펜슬이 허수축상에 또는 허수축 매우 가까이에 고유값을 갖는 경우(실패).

• -2: 유한한 안정화 해 X가 없는 경우.

• X가 존재하며 유한한 경우 상대 잔차의 프로베니우스 노름

X1, X2, D — 분해된 해

행렬

분해된 해 행렬로, 행렬로 반환됩니다. 함수는 X = D(X₁/X₂)D를 충족하는 X₁, X₂, 대각 스케일링 행렬 D를 반환합니다.

관련 해밀턴 행렬이 허수축에 고유값을 갖는 경우 care는 X1, X2, D를 빈 값으로 반환합니다.

제한 사항

$$(A,B)$$ 쌍은 안정화 가능해야 합니다(즉, 모든 불안정한 모드가 제어 가능해야 함). 또한 관련 해밀턴 행렬 또는 펜슬이 허수축에 고유값을 갖지 않아야 합니다. 이것이 참이 되도록 하는 충분 조건은 $$S=0$$이고 $$R>0$$일 때는 $$(Q,A)$$가 검출 가능한 경우입니다. 또는 다음이 성립하는 경우입니다.

$$\left[\begin{array}{cc}Q& S\\ S^T& R\end{array}\right]>0$$

알고리즘

care는 [1]에 설명되어 있는 알고리즘을 구현합니다. R이 조건이 좋고 $$E=I$$인 경우 해밀턴 행렬을 사용하고, 그렇지 않은 경우 확장 해밀턴 펜슬과 QZ 알고리즘을 사용합니다.

참고 문헌

[1] Arnold, W.F., and A.J. Laub. “Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equations.” Proceedings of the IEEE 72, no. 12 (1984): 1746–54. https://doi.org/10.1109/PROC.1984.13083.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

R2019a: care는 권장되지 않음

R2019a부터는 icare 명령을 사용하여 연속시간 리카티 방정식을 푸십시오. 이 방법은 더 나은 스케일링을 통해 정확도를 개선하며, R의 조건이 나쁠 때 care에 비해 K의 계산이 더 정확합니다. 아울러 icare에는 리카티 방정식의 음함수 해 데이터를 수집하는 선택적 info 구조체가 포함되어 있습니다.

다음 표는 care의 몇 가지 일반적인 용도와 이 대신 코드에서 icare를 사용하도록 업데이트하는 방법을 보여줍니다.

권장되지 않음	권장됨
[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E)	[X,K,L] = icare(A,B,Q,R,S,E,G)는 연속시간 대수 리카티 방정식의 안정화 해 X, 상태-피드백 이득 K, 폐루프 고유값 L을 계산합니다. 자세한 내용은 icare를 참조하십시오.
[X,L,G,report] = care(A,B,Q,R,S,E)	[X,K,L,info] = icare(A,B,Q,R,S,E,G)는 연속시간 대수 리카티 방정식의 안정화 해 X, 상태-피드백 이득 K, 폐루프 고유값 L을 계산합니다. info 구조체는 음함수 해 데이터를 포함합니다. 자세한 내용은 icare를 참조하십시오.

현재로서는 care를 제거할 계획이 없습니다.

참고 항목

icare