연립미분방정식 풀기

초기 조건의 유무와 상관없이 dsolve 함수를 사용하여 몇 가지 변수로 여러 개의 연립상미분방정식을 풉니다. 단일 미분 방정식을 풀려면 미분 방정식 풀기 항목을 참조하십시오.

연립미분방정식 풀기

다음 1계 선형 연립미분방정식을 풀어 보십시오.

$\begin{array}{l} \frac{du}{dt} = 3 u + 4 v, \\ \frac{dv}{dt} = - 4 u + 3 v . \end{array}$

기호 함수 u(t) 및 v(t)를 생성하려면 우선 syms를 사용하여 $u$ 및 $v$ 를 나타냅니다.

syms u(t) v(t)

==를 사용하여 방정식을 정의하고 diff 함수를 사용하여 미분을 표현합니다.

ode1 = diff(u) == 3*u + 4*v;
ode2 = diff(v) == -4*u + 3*v;
odes = [ode1; ode2]

odes(t) = 
 $(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} u (t) = 3 u (t) + 4 v (t) \\ \frac{\partial}{\partial t} v (t) = 3 v (t) - 4 u (t) \end{array})$

해를 구조체의 요소로 반환하는 dsolve 함수를 사용하여 방정식을 풉니다.

S = dsolve(odes)

S = struct with fields:
    v: C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t)
    u: C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t)

dsolve로 방정식을 풀 수 없다면 수치적으로 방정식을 풀어 보십시오. 수치적으로 2계 미분 방정식 풀기 항목을 참조하십시오.

u(t) 및 v(t)에 액세스하려면 구조체 S의 요소를 참조하십시오.

uSol(t) = S.u

uSol(t) =  $C_{2} \cos (4 t) e^{3 t} + C_{1} \sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) = S.v

vSol(t) =  $C_{1} \cos (4 t) e^{3 t} - C_{2} \sin (4 t) e^{3 t}$

또는 여러 개의 출력 인수를 제공하여 직접 u(t) 및 v(t)를 저장할 수도 있습니다.

[uSol(t),vSol(t)] = dsolve(odes)

uSol(t) =  $C_{2} \cos (4 t) e^{3 t} + C_{1} \sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) =  $C_{1} \cos (4 t) e^{3 t} - C_{2} \sin (4 t) e^{3 t}$

조건을 지정하지 않았기 때문에 상수 C1 및 C2가 나타납니다. 초기 조건 u(0) == 0 및 v(0) == 0을 사용하여 연립방정식을 풉니다. dsolve 함수는 이러한 조건을 만족하는 상수 값을 구합니다.

cond1 = u(0) == 0;
cond2 = v(0) == 1;
conds = [cond1; cond2];
[uSol(t),vSol(t)] = dsolve(odes,conds)

uSol(t) =  $\sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) =  $\cos (4 t) e^{3 t}$

fplot을 사용하여 해를 시각화합니다.

fplot(uSol)
hold on
fplot(vSol)
grid on
legend('uSol','vSol','Location','best')

행렬 형식의 미분 방정식 풀기

dsolve를 사용하여 행렬 형식의 미분 방정식을 풀어 보십시오.

다음 연립미분방정식이 있다고 가정해 보겠습니다.

$\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2 y + 1, \\ \frac{dy}{dt} = - x + y + t . \end{array}$

이 방정식의 행렬 형식은 다음과 같습니다.

$[\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}] .$

다음과 같이 가정하겠습니다.

$Y = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}], A = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}] .$

이 방정식은 이제 $Y^{'} = A Y + B .$ 가 됩니다.

다음 행렬과 행렬 방정식을 정의합니다.

syms x(t) y(t)
A = [1 2; -1 1];
B = [1; t];
Y = [x; y];
odes = diff(Y) == A*Y + B

odes(t) = 
 $(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} x (t) = x (t) + 2 y (t) + 1 \\ \frac{\partial}{\partial t} y (t) = t - x (t) + y (t) \end{array})$

dsolve를 사용하여 행렬 방정식을 풉니다. simplify 함수를 사용하여 해를 단순화합니다.

[xSol(t),ySol(t)] = dsolve(odes);
xSol(t) = simplify(xSol(t))

xSol(t) = 
 $\frac{2 t}{3} + \sqrt{2} C_{2} e^{t} \cos (\sqrt{2} t) + \sqrt{2} C_{1} e^{t} \sin (\sqrt{2} t) + \frac{1}{9}$

ySol(t) = simplify(ySol(t))

ySol(t) = 
 $C_{1} e^{t} \cos (\sqrt{2} t) - \frac{t}{3} - C_{2} e^{t} \sin (\sqrt{2} t) - \frac{2}{9}$

조건을 지정하지 않았기 때문에 상수 C1 및 C2가 나타납니다.

초기 조건 $u (0) = 2$ 및 $v (0) = - 1$ 을 사용하여 연립방정식을 풉니다. 방정식을 행렬 형식으로 지정할 때 초기 조건 역시 행렬 형식으로 지정해야 합니다. dsolve는 이러한 조건을 만족하는 상수 값을 구합니다.

C = Y(0) == [2;-1];
[xSol(t),ySol(t)] = dsolve(odes,C)

xSol(t) = 
 $\begin{array}{l} \sqrt{2} e^{t} σ_{2} (\frac{17 \sqrt{2}}{18} + \frac{e^{- t} (4 σ_{1} + \sqrt{2} σ_{2} + 6 t σ_{1} + 6 \sqrt{2} t σ_{2})}{18}) - \sqrt{2} e^{t} σ_{1} (\frac{e^{- t} (4 σ_{2} - \sqrt{2} σ_{1} + 6 t σ_{2} - 6 \sqrt{2} t σ_{1})}{18} + \frac{7}{9}) \\ where \\ σ_{1} = \sin (\sqrt{2} t) \\ σ_{2} = \cos (\sqrt{2} t) \end{array}$

ySol(t) = 
 $\begin{array}{l} - e^{t} σ_{1} (\frac{17 \sqrt{2}}{18} + \frac{e^{- t} (4 σ_{1} + \sqrt{2} σ_{2} + 6 t σ_{1} + 6 \sqrt{2} t σ_{2})}{18}) - e^{t} σ_{2} (\frac{e^{- t} (4 σ_{2} - \sqrt{2} σ_{1} + 6 t σ_{2} - 6 \sqrt{2} t σ_{1})}{18} + \frac{7}{9}) \\ where \\ σ_{1} = \sin (\sqrt{2} t) \\ σ_{2} = \cos (\sqrt{2} t) \end{array}$

fplot을 사용하여 해를 시각화합니다.

clf
fplot(ySol)
hold on
fplot(xSol)
grid on
legend('ySol','xSol','Location','best')

참고 항목

미분 방정식 풀기