쿡의 거리

용도

쿡의 거리는 피팅된 값의 스케일링된 변화량으로, X 값(예측 변수에 대한 관측값)에서 이상값을 식별하는 데 유용합니다. 쿡의 거리는 각 관측값이 피팅된 응답 변수 값에 미치는 영향을 보여줍니다. 쿡의 거리가 평균 쿡의 거리의 3배보다 큰 관측값은 이상값일 수 있습니다.

정의

쿡의 거리 D의 각 요소는 관측값의 결손으로 인한, 피팅된 응답 변수 값의 정규화된 변화량입니다. 관측값 i의 쿡의 거리는 다음과 같습니다.

$D_{i} = \frac{\sum_{j = 1}^{n} {({\hat{y}}_{j} - {\hat{y}}_{j (i)})}^{2}}{p M S E},$

여기서

${\hat{y}}_{j}$ 는 피팅된 j번째 응답 변수 값입니다.
${\hat{y}}_{j (i)}$ 는 피팅된 j번째 응답 변수 값이며, 이때 피팅은 관측값 i를 포함하지 않습니다.
MSE는 평균제곱오차입니다.
p는 회귀 모델에서 계수의 개수입니다.

쿡의 거리는 대수적으로 다음 표현식과 동일합니다.

$D_{i} = \frac{r_{i}^{2}}{p M S E} (\frac{h_{i i}}{{(1 - h_{i i})}^{2}}),$

여기서 r_i는 i번째 잔차이고 h_ii는 i번째 지렛대값입니다.

방법

모델 mdl을 피팅한 후, 예를 들어 fitlm 또는 stepwiselm을 사용하여 다음을 수행할 수 있습니다.

점 표기법을 사용해 속성의 요소를 참조하여 쿡의 거리 값을 표시합니다.
```
mdl.Diagnostics.CooksDistance
```
CooksDistance는 LinearModel 객체의 Diagnostics 테이블에서 n×1 열 벡터입니다.
쿡의 거리 값을 플로팅합니다.
```
plotDiagnostics(mdl,'cookd')
```
자세한 내용은 LinearModel 객체의 plotDiagnostics 함수를 참조하십시오.

쿡의 거리를 사용하여 이상값 파악하기

라이브 스크립트 열기

이 예제에서는 쿡의 거리를 사용하여 데이터에서 이상값을 파악하는 방법을 보여줍니다.

표본 데이터를 불러오고 독립 변수와 응답 변수를 정의합니다.

load hospital
X = double(hospital(:,2:5));
y = hospital.BloodPressure(:,1);

선형 회귀 모델을 피팅합니다.

mdl = fitlm(X,y);

쿡의 거리 값을 플로팅합니다.

plotDiagnostics(mdl,'cookd')

Figure contains an axes object. The axes object with title Case order plot of Cook's distance, xlabel Row number, ylabel Cook's distance contains 2 objects of type line. One or more of the lines displays its values using only markers These objects represent Cook's distance, Reference Line.

그림에서 파선은 권장되는 임계값 3*mean(mdl.Diagnostics.CooksDistance)에 해당합니다. 플롯에는 쿡의 거리 값이 임계값보다 큰 관측값이 몇 개 있습니다. 이 예제의 경우, 임계값은 3*(0.0108) = 0.0324입니다. 특히 다른 값들보다 상대적으로 높은 쿡의 거리 값이 2개 있으며 이들 값은 임계값을 초과합니다. 데이터에서 이들 값을 찾아 생략하고 모델을 재빌드할 수 있습니다.

쿡의 거리 값이 임계값을 초과하는 관측값을 찾습니다.

find((mdl.Diagnostics.CooksDistance)>3*mean(mdl.Diagnostics.CooksDistance))

쿡의 거리 값이 임계값을 초과하는 관측값 중에서 다른 관측값보다 쿡의 거리 값이 상대적으로 큰 관측값을 찾습니다.

find((mdl.Diagnostics.CooksDistance)>5*mean(mdl.Diagnostics.CooksDistance))

ans = 2×1

     2
    84

참고 문헌

[1] Neter, J., M. H. Kutner, C. J. Nachtsheim, and W. Wasserman. Applied Linear Statistical Models. 4th ed. Chicago: Irwin, 1996.

참고 항목

LinearModel | fitlm | stepwiselm | plotDiagnostics

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