철 막대를 통한 열 전도

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이 예제에서는 한쪽 끝이 뜨거운 베이스에 고정되어 있고 전체 길이와 자유단이 공기에 노출되어 있는 긴 철 막대를 열 블록으로 어떻게 모델링할 수 있는지 보여줍니다. 막대는 표면의 일정 부분이 길게 뻗어 나온 것으로, 길이 방향을 따라 전도가 발생하고 길이와 수직인 방향으로 공기와의 대류가 발생합니다. 이렇게 뻗어 나온 표면은 종종 고체를 냉각시키는 Fin으로 사용됩니다.

이 시나리오에서 베이스는 섭씨 100도인 벽에 고정되어 있습니다 열은 전도를 통해 막대 아래 부분에 전달되어 막대의 열 질량을 서서히 가열합니다. 열은 섭씨 20도인 주변 공기와의 자연 대류를 통해 막대 원통면과 자유단에서 빠져 나갑니다. 처음에 전체 막대 온도는 주변 공기 온도와 같습니다. 막대를 따라 온도는 약 1500초 후에 정상 상태에 도달합니다. 막대는 철로 만들어졌으며 길이는 20cm, 지름은 2.5cm입니다.

이 예제에서는 우선 막대의 기본적인 열 효과, 즉 에너지 보존 법칙, 전도와 대류의 열 전달 메커니즘, 열 질량의 속성을 설명합니다. 그런 다음 열 효과를 조합하여 막대의 두 가지 완전한 열 모델을 살펴봅니다. 첫 번째 열 모델은 단일 집중 질량을 포함하는 반면, 두 번째 열 모델은 다중 집중 질량을 갖는 유한 차분 모델입니다. 이 예제에서는 막대에 대한 서로 다른 두 가지 열 모델의 계산 비용과 충실도 간의 상호 절충을 살펴봅니다. 이 예제에서는 두 모델이 해석적 정상 상태 해로 얼마나 잘 수렴하는지 비교합니다.

% Model parameters

% Thermal conditions
T_air     = 20;        % Air temperature           [degC]
T_base    = 100;       % Base temperature          [degC]
T_init    = T_air;     % Initial rod temperature   [degC]

% Geometric parameters
L         = 0.2;       % Rod length                [m]
D         = 0.025;     % Rod diameter              [m]
A         = pi*D^2/4;  % Rod cross-sectional area  [m^2]
A_cyl     = pi* D * L; % Rod cylindrical surface area [m^2]

% Iron material properties
rho       = 7800;      % Iron density              [Kg/m^3]
k         = 80.2;      % Iron thermal conductivity [W/(K*m)]
h         = 32.1;      % Convective heat transfer coefficient [W/(m^2*K)]
c         = 447;       % Iron specific heat [J/kg/K]

m         = rho*A*L;   % Rod mass [kg]

에너지 보존 법칙

열역학 제1법칙은 고립된 시스템의 총 에너지는 시간이 지나도 일정하게 유지된다는 물리학의 기본 원리입니다. 이 법칙은 파워의 관점에서 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다.

$\frac{d U}{d t} = Q - W$ .

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$\frac{dU}{dt}$ 는 시간에 따른 내부 에너지의 변화율입니다(측정 단위: SI 단위의 W).
$Q$ 는 시스템에 더해지는 열의 비율입니다(측정 단위: W).
$W$ 는 시스템이 하는 일의 비율입니다(측정 단위: W).

일이 발생하지 않는 열 시스템에서 내부 에너지의 변화율은 시스템에 더해지는 열의 비율과 같습니다.

$\frac{d U}{d t} = Q$ .

철 막대에서 전도와 대류 열 전달( $Q$ )은 막대의 열 질량( $U$ )에 저장된 내부 에너지를 변화시킵니다.

전도

열 전도는 물질을 통해 열 전달이 이루어지는 과정입니다. 물질이 가열되면, 물질의 분자는 운동 에너지를 얻어서 움직임이 증가하게 됩니다. 이렇게 활발해진 움직임은 이웃 분자와 충돌을 일으키고 그 과정에서 에너지를 전달합니다. 이 전달은 열 평형에 도달할 때까지 계속되어 물질 전체의 온도를 균일하게 만듭니다.

푸리에의 법칙이라고도 알려진 열 전도 방정식은 물질을 통한 열 전달률을 다음과 같이 설명합니다.

$Q = k \frac{A}{L} (T_{1} - T_{2})$ ,

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$Q$ 는 끝 $1$ 에서 끝 $2$ 까지의 열 유동입니다(측정 단위: J).
$k$ 는 물질의 열전도도입니다(측정 단위: W/(K m)).
$S$ 는 열 유동 방향에 수직인 면적입니다(측정 단위: m^2).
$L$ 은 열 유동 방향에서의 두께입니다(측정 단위: m).
$T_{1}$ 과 $T_{2}$ 는 전도성 열 전달 요소의 양쪽 끝 온도입니다(측정 단위: degC).

예제 1 - 정상 상태 전도

막대에 대한 단순화된 시나리오를 살펴봅니다. 막대는 절연 처리되어 길이 부분에서의 공기를 통한 대류 열 전달은 없습니다. 일정한 18W의 열이 막대를 타고 흐르다가 막대 끝에서 빠져나갑니다. 막대 끝의 온도는 얼마입니까?

열 전도 방정식을 다시 정리하면 막대 끝의 온도는 다음과 같습니다.

$T_{E n d} = T_{B a s e} - \frac{L}{A k} Q$

% Example parameter
Q_case_1  = 18;       % Heat flow rate through rod [W]

% Expected rod tip temperature
T_rod_tip_steady_case_1 = T_base - L/(A*k)*Q_case_1 % [degC]

T_rod_tip_steady_case_1 = 8.5554

모델 HeatConductionThroughInsulatedIronRod를 열어 해석적 해를 확인합니다. 열 모델은 베이스 온도로 설정된 온도 소스, 전도성 열 전달 요소, 18W로 설정된 열 유량 소스로 구성됩니다.

mdl = 'HeatConductionThroughInsulatedIronRod';
open_system(mdl);

모델을 시뮬레이션하여 시뮬레이션 결과를 해석적 해와 비교합니다.

sim(mdl);
% Get the simulation output
T = yout; % [degC]

% Display the temperature 
T_rod_tip_simulated_case_1 = T(end) % [degC]

T_rod_tip_simulated_case_1 = 8.5554

시뮬레이션 결과가 해석적 해와 일치합니다.

대류

대류는 유체의 이동을 통해 열 전달이 이루어지는 과정입니다. 유체의 이동은 전도까지 더해져서 열 에너지를 유체 내의 더 뜨거운 영역에서 더 차가운 영역으로 전달합니다. 유체에서 자연 대류는 온도 기울기로 인한 밀도 차이 때문에 발생합니다. 유체는 가열되면 밀도가 낮아지고 상승하는 경향이 있는 반면, 상대적으로 차갑고 밀도가 높은 유체는 그 자리를 대체하기 위해 빈 공간으로 이동합니다. 이로 인해 열이 더 뜨거운 영역에서 더 차가운 영역으로 운반되는, 유체 내의 순환 패턴이 만들어집니다.

뉴턴의 냉각 법칙으로 알려진 열 대류 방정식은 표면에서 주변 유체로의 열 전달률을 다음과 같이 설명합니다.

$Q = h A_{C o n v} (T_{1} - T_{2})$ ,

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$h$ 는 대류 열 전달 계수입니다(측정 단위: W/(K m^2)).
$A_{Conv}$ 는 표면 면적입니다(측정 단위: m^2).
$T_{1}$ 과 $T_{2}$ 는 각각 표면과 주변 유체의 온도입니다(측정 단위: degC).

예제 2 - 정상 상태 대류

막대에 대한 또 다른 단순화된 시나리오를 살펴봅니다. 전체 막대의 온도는 섭씨 250도로 유지됩니다. 주변 온도는 섭씨 20도이고 막대와 공기 사이의 대류 열 전달 계수는 32.1W/(m^2 K)입니다. 막대의 원통면과 공기 사이의 열 전달률은 얼마일까요?

모델 파라미터를 열 대류 방정식에 대입하여 열 전달률을 계산합니다.

% Example parameter
T_cyl_uniform_case_2 = 55;       % Rod uniform temperature [degC]

% Expected rate of convective heat transfer
Q_conv_case_2 = h * A_cyl * (T_cyl_uniform_case_2 - T_air) % [W]

Q_conv_case_2 = 17.6479

모델 HeatConvectionFromIronRod를 사용하여 해석적 해를 확인합니다. 열 모델은 막대 온도로 설정된 온도 소스와 주변 온도로 설정된 온도 소스 사이의 대류 열 전달 요소로 구성됩니다.

mdl = 'HeatConvectionFromIronRod';
open_system(mdl);

모델을 시뮬레이션하여 시뮬레이션 결과를 해석적 해와 비교합니다.

sim(mdl);

% Get the simulation output
Q = yout; % [W]

% Display the rate of heat transfer
Q_conv_simulated_case_2 = Q(end) % [W]

Q_conv_simulated_case_2 = 17.6479

시뮬레이션된 결과가 해석적 해와 일치합니다.

열 질량

열 질량은 물질이 열 에너지를 저장하고 방출하는 능력을 나타냅니다. 열 질량의 내부 에너지 변화는 다음 방정식으로 표현됩니다.

$\frac{d U}{d t} = c m \frac{d T}{d t}$ ,

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$\frac{dU}{dt}$ 는 시간에 따른 내부 에너지의 변화율입니다(측정 단위: W).
$c$ 는 물질의 비열입니다(측정 단위: J/(Kg K)).
$m$ 은 질량입니다(측정 단위: kg).
$T$ 는 온도입니다(측정 단위: degC 또는 K).

물질의 내부 에너지 변화율 $U$ 는 온도 변화율 $T$ 에 비례합니다. 비열 용량 $c$ 는 물질의 단위 질량의 온도를 1도 변화시키는 데 필요한 에너지의 양을 나타냅니다. 큰 열 질량 $cm$ 은 시스템의 온도 변화를 늦춥니다.

예제 3 - 열 질량의 과도 온도 응답

막대에 대한 단순화된 시나리오를 살펴봅니다. 이 시나리오에서는 18W의 열이 완벽하게 절연된 막대로 흘러 들어갑니다. 단순화하기 위해 막대 전체가 균일하게 가열된다고 가정합니다. 막대 온도는 어떤 비율로 증가할까요?

열역학 제1법칙을 사용하면 절연된 막대로 유입되는 열은 막대의 내부 에너지 변화와 같습니다.

$Q = c m \frac{d T}{d t}$ .

온도 변화율에 대한 해를 구하기 위해 방정식을 다시 정리합니다.

% Example parameter
Q_case_3  = 18;       % Heat flow rate through rod [W]
% Expected rate of temperature change
dT_dt_case_3 = Q_case_3 / (c*m) % Rate of temperature change [degC/sec]

dT_dt_case_3 = 0.0526

모델 ThermalMassIronRod를 사용하여 해석적 해를 확인합니다.

mdl = 'ThermalMassIronRod';
open_system(mdl);

모델을 시뮬레이션하여 시뮬레이션 결과가 해석적 해와 일치하는지 확인합니다.

sim(mdl);

% Get the simulation output
T = yout; % [degC]
t = tout; % [sec]

% Calculate rate of temperature change
dT = T(end) - T(1);
dt = t(end) - t(1);
dT_dt_simulated_case_3 = dT / dt % [degC/sec]

dT_dt_simulated_case_3 = 0.0526

시뮬레이션된 결과가 해석적 해와 일치합니다.

과도 열 동작이 있는 막대

전도성 요소, 대류성 요소, 열 질량 요소를 조합하여 과도 동작이 있는 막대를 완전히 모델링합니다. 막대의 베이스 온도는 섭씨 100도입니다. 막대에서는 길이 방향을 따라 전도가 발생할 뿐만 아니라 길이 부분과 끝부분에서 공기와의 자연 열 대류가 발생합니다. 처음에 막대 온도는 섭씨 20도인 주변 공기 온도와 같습니다.

집중 질량 Rod 모델

막대의 과도 열 동작을 표현하기 위한 단순 모델에는 단일 열 질량이 포함됩니다. 모델 HeatConductionTroughIronRodLumped를 엽니다.

lumped_mass_model = 'HeatConductionThroughIronRodLumped';
open_system(lumped_mass_model)

Rod 서브시스템을 엽니다.

open_system([lumped_mass_model '/Rod'])

Rod 모델에서 동등하게 분할된 두 개의 전도성 열 전달 요소 사이의 중간 노드는 막대의 중간 지점을 나타냅니다. 중간 노드의 단일 열 질량은 중간점 온도를 유지하면서 전체 막대 질량을 모델링합니다. 대류 열 전달 요소는 막대 원통면과 막대 끝점에서 주변 대기로의 대류를 모델링합니다.

열역학 제1법칙을 사용하면 열 질량의 내부 에너지 변화율은 중간 노드를 통과하는 순 열 유동과 같습니다.

$\frac{d U}{d t} = Q$ .

노드로 유입되는 순 열 유동은 베이스로부터의 전도, 원통면을 따라 이루어지는 공기와의 대류, 막대 끝에서의 전도/대류에 기인합니다.

$Q = Q_{L e f t} + Q_{C y l} + Q_{R i g h t}$ .

중간 노드의 왼쪽에서 베이스로부터의 전도로 인해 열이 노드로 유입됩니다.

$Q_{L e f t} = k \frac{2 A}{L} (T_{B a s e} - T)$ ,

여기서 $T$ 는 중간 노드의 온도입니다.

막대의 원통면을 따라 공기와의 대류로 인해 열이 노드 밖으로 흐릅니다.

$Q_{C y l} = h A_{C y l} (T_{A i r} - T)$ .

중간 노드의 오른쪽에서 열은 막대에서의 전도를 통해 흐르다가 막대 끝과 공기 사이의 대류에 의해 밖으로 빠져나갑니다.

$Q_{R i g h t} = k \frac{2 A}{L} (T_{E n d} - T)$ ,

$Q_{R i g h t} = h A (T_{A i r} - T_{E n d})$ ,

여기서 $T_{End}$ 는 Simscape™ 모델에서 Conduction1B B 포트와 Convection End A 포트의 연결점에 대응하는 막대 끝의 온도입니다. $Q_{Right}$ 방정식을 다음과 같이 다시 정리하여 $T_{End}$ 를 제거합니다.

$Q_{R i g h t} = \frac{2 A k h (T_{A i r} - T)}{L h + 2 k}$ .

열 유동 표현식과 열 질량 내부 에너지 변화 표현식을 에너지 보존 방정식에 대입하면 막대의 온도 $T$ 에 적용되는 다음 미분 방정식이 도출됩니다.

$c m \frac{d T}{d t} = k \frac{2 A}{L} (T_{B a s e} - T) + h A_{C y l} (T_{A i r} - T) + \frac{2 A k h (T_{A i r} - T)}{L h + 2 k}$ .

Simscape 네트워크는 노드에서의 열 전달을 합산하며, 이는 이 미분 방정식과 동일합니다.

Segmented Rod 모델

막대의 과도 열 동작을 표현하기 위한 더 복잡한 모델은 여러 열 질량으로 구성됩니다. Segmented Rod 모델을 엽니다.

segmented_mass_model = 'HeatConductionThroughIronRodSegmented';
open_system(segmented_mass_model)

% Model parameters that are not already defined in the live script
num_segments = 9; % [-]

Segmented Rod 서브시스템을 엽니다.

open_system([segmented_mass_model '/Segmented Rod'])

Segmented Rod 모델은 직렬로 연결된 9개 세그먼트의 집합으로 막대를 나타냅니다. 각 세그먼트는 단일 집중 질량 모델과 동일한 구조를 가지며 다음을 포함합니다.

전체 열 질량의 1/9인 1개의 열 질량
각각 막대 길이의 1/18인 2개의 전도성 열 전달 요소
전체 원통면 면적의 1/9을 갖는 1개의 대류 열 전달 요소

이 예제에서 반드시 9개의 세그먼트를 선택할 필요는 없습니다. 홀수 개수의 세그먼트를 선택하면 중간점에 노드가 배치됩니다. 일반적으로 세그먼트 개수를 늘리면 해가 해석적 해에 더 가깝게 수렴됩니다. 세그먼트 개수가 충분히 많아진 후에는 세그먼트를 더 추가하더라도 수렴에 별다른 영향을 미치지 않습니다. 이 예제를 수정하여 세그먼트를 더 추가할 수 있습니다.

열역학 제1법칙을 사용하여 각 세그먼트의 노드 온도에 적용되는 방정식을 정의합니다. 각 세그먼트에서 내부 에너지의 변화율은 세그먼트를 통과하는 순 열 유동과 같습니다.

$\frac{d U_{i}}{d t} = Q_{i}$ .

i번째 세그먼트에 저장된 내부 에너지의 변화율은 다음과 같습니다.

$\frac{d U_{i}}{d t} = c m_{S e g m e n t} \frac{d T_{i}}{d t}$ ,

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$T_{i}$ 는 i번째 노드의 온도입니다.
$m_{Segment} = \frac{m}{9}$ 은 각 세그먼트의 열 질량입니다.

세그먼트 1~8을 통과하는 열 유동은 왼쪽으로부터의 전도, 원통면을 따라 흐르는 공기로의 대류, 오른쪽으로의 전도로 인해 발생합니다. 9번째 세그먼트의 경우, 오른쪽으로 향하는 열 유동에 막대 끝에서의 대류도 포함됩니다.

$Q_{i} = Q_{L e f t, i} + Q_{C y l, i} + Q_{R i g h t, i}$ .

왼쪽으로부터 i번째 세그먼트로의 열 전도는 다음과 같습니다.

$Q_{L e f t, i} = k \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{i - 1} - T_{i})$ ,

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$L_{Segment} = \frac{L}{9}$ 은 각 세그먼트의 길이입니다.

i번째 세그먼트 원통면으로부터의 열 대류는 다음과 같습니다.

$Q_{C y l, i} = h A_{C y l} (T_{A i r} - T_{i})$ .

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$A_{Cyl, Segment} = \frac{A_{Cyl}}{9}$ 은 각 세그먼트의 원통면 면적입니다.

첫 번째 세그먼트부터 8번째 세그먼트까지, 이들에 대한 오른쪽 방향 열 전도는 다음과 같습니다.

$Q_{R i g h t, i} = k \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{i + 1} - T_{i})$ ,

9번째 세그먼트에 대한 오른쪽 방향 열 전도와 대류는 다음과 같습니다.

$Q_{R i g h t, 9} = k \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{E n d} - T_{9})$ ,

$Q_{R i g h t, 9} = h A (T_{A i r} - T_{E n d})$ ,

여기서 $T_{End}$ 는 Simscape 모델에서 Conduction9B B 포트와 Convection End A 포트의 연결점에 대응하는 막대 끝의 온도입니다. $T_{End}$ 를 제거하기 위해 $Q_{Right, 9}$ 방정식을 다시 정리한 후의 9번째 세그먼트에 대한 오른쪽 방향 열 유동은 다음과 같습니다.

$Q_{R i g h t, 9} = \frac{2 A k h (T_{A i r} - T_{9})}{L h + 2 k}$ .

열 유동 표현식과 열 질량 내부 에너지 변화 표현식을 에너지 보존 방정식에 대입하면 막대를 따라 전달되는 온도 $T_{i}$ 에 적용되는 미분 방정식이 다음과 같이 도출됩니다.

$i = 1$ 의 경우 $c m_{S e g m e n t} \frac{d T_{i}}{d t} = k \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{B a s e} - T_{i}) + h A_{C y l, S e g m e n t} (T_{A i r} - T_{i}) + \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{i + 1} - T_{i})$

$i = 2 to 8$ 의 경우 $c m_{S e g m e n t} \frac{d T_{i}}{d t} = k \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{i - 1} - T_{i}) + h A_{C y l, S e g m e n t} (T_{A i r} - T_{i}) + \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{i + 1} - T_{i})$

$i = 9$ 의 경우 $c m_{S e g m e n t} \frac{d T_{i}}{d t} = k \frac{2 A}{L_{S e g m e n t}} (T_{i - 1} - T_{i}) + h A_{C y l, S e g m e n t} (T_{A i r} - T_{i}) + \frac{2 A k h (T_{A i r} - T_{i})}{L h + 2 k}$

Simscape 네트워크는 노드에서의 열 전달을 합산하며, 이는 이러한 미분 방정식과 동일합니다.

i번째 노드 온도의 변화율은 인접 노드(즉, i-1 노드와 i+1 노드)의 온도에 따라 달라집니다. 각 세그먼트의 열 질량은 세그먼트의 온도 변화율을 늦춥니다. 이러한 특성 덕분에 모델은 막대를 따라 점차 감소하는 열 파동의 효과를 표현할 수 있습니다.

Rod 모델을 시뮬레이션하고 비교하기

모델을 시뮬레이션하여 시뮬레이션 출력을 얻습니다.

% Simulate the single lumped mass model
open_system(lumped_mass_model);
sim(lumped_mass_model);

% Get the simulation outputs
T_Lumped = yout_lumped_mass_model(:,1); % Sensed temperature [degC]
Q_Lumped = yout_lumped_mass_model(:,2); % Sensed base heat transfer rate [W]
time_Lumped = tout_lumped_mass_model;   % [sec]

% Simulate the segmented mass model
open_system(segmented_mass_model);
sim(segmented_mass_model);

% Get the simulation outputs
T_Segmented = yout_segmented_mass_model(:,1:5); % Sensed temperatures [degC]
Q_Segmented = yout_segmented_mass_model(:,6);   % Sensed base heat transfer rate [W]
time_Segmented = tout_segmented_mass_model;     % [sec]

시뮬레이션된 온도

시뮬레이션된 온도를 플로팅합니다.

figure;
clf;
hold on;
plot(time_Lumped, T_Lumped, '--', 'Color', [0.49 0.18 0.56])
plot(time_Segmented, T_Segmented);
xlabel('Time (sec)')
title('Temperature (degC)')
legend('Lumped rod (midpoint)', 'Segment 1', 'Segment 3', 'Segment 5 (midpoint)', 'Segment 7', 'Segment 9', 'Location', 'best')

이 플롯은 단일 집중 질량 Rod 모델과 Segmented Rod 모델에서 열 질량의 시뮬레이션된 온도를 보여줍니다.

Segmented Rod 모델은 단일 질량 Rod 모델에서 무시되는 몇 가지 효과를 표현합니다. 뜨거운 베이스에서 더 멀리 떨어진 세그먼트일수록 온도 상승이 시작되기 전까지의 지연 시간이 더 깁니다. 여러 세그먼트를 사용하면 막대를 따라 온도 기울기도 측정할 수 있습니다. 뜨거운 베이스에서 더 멀리 떨어진 세그먼트는 뜨거운 베이스에 더 가까운 세그먼트보다 정상 상태 온도가 더 낮습니다.

반면에, 훨씬 단순한 단일 집중 질량 모델은 막대 중간점의 일반 온도 동작을 표현하며 시뮬레이션 비용이 더 적게 듭니다. 플롯은 단일 집중 질량 모델이 정상 상태 중간점 온도를 과소 추정함을 보여줍니다. 정상 상태 중간점 온도가 서로 다른 이유는 단일 집중 질량 시스템이 전체 원통면 온도를 중간점 온도와 동일하게 모델링하는 방식이기 때문이며, 따라서 베이스와 중간점 사이의 대류 열 전달은 과소 추정되는 반면 중간점과 끝부분 사이의 대류 열 전달은 과대 추정됩니다.

베이스 열 전달

시뮬레이션된 베이스 열 전달률을 플로팅합니다.

figure;
clf;
hold on;
plot(time_Lumped, Q_Lumped, '--')
plot(time_Segmented, Q_Segmented);
xlabel('Time (sec)')
title('Base Heat Flow')
legend('Lumped rod', 'Segmented rod', 'Location', 'best')

이 플롯은 두 모델 모두에 대해 베이스에서 막대로의 시뮬레이션된 열 전달을 보여줍니다. 단일 집중 질량 모델은 Segmented Rod 모델에 비해 열 전달을 과소 추정합니다. 단일 집중 질량 모델은 분산된 막대 점들과 공기 사이가 아니라 막대 중간점과 공기 사이에서 전체 원통면 대류를 모델링하기 때문에 막대 열 저항을 과대 추정합니다. 뜨거운 베이스에 가까운 막대 점은 온도가 더 높으므로 베이스에서 멀리 떨어진 점보다 대류 열 전달이 더 많이 이루어집니다.

계산 비용

단일 집중 질량 Rod 모델은 1개의 미분 변수를 포함하는 반면, Segmented Rod 모델은 9개의 미분 변수를 포함합니다. 즉, 시스템의 각 열 질량(자유도)마다 미분 변수가 하나씩 대응됩니다. 미분 변수가 더 많은 모델은 계산 비용이 더 높고 시뮬레이션을 위해 더 많은 연산 능력이 필요한 경향이 있습니다.

Simscape 통계량 뷰어는 각 모델의 미분 변수 개수를 확인합니다. 모델 통계량을 보려면 디버그 탭에서 Simscape > 통계량 뷰어를 클릭합니다.

시뮬레이션 충실도를 높이기 위해 세그먼트 개수를 9개보다 더 많이 확장할 수 있습니다.

정상 상태 해석적 해와의 비교

길이를 따라 전도와 대류의 영향을 받는 일정한 단면적을 갖는 막대의 경우, 막대 방향의 정상 상태 온도에 적용되는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

$\frac{d^{2} T}{d x^{2}} - \frac{h π D x}{k A} (T - T_{A i r}) = 0$ ,

여기서 $x$ 는 베이스로부터의 종방향 거리입니다.

이 예제에서는 다음과 같은 경계 조건을 갖는 막대를 살펴봅니다.

베이스가 고정 온도 $T (0) = T_{B}$ 를 가집니다.
막대 끝에서, 전도로 인한 열 전달은 대류로 인한 열 전달과 같습니다.

$hA (T_{Air} - T (L)) = kA \frac{dT (L)}{dx}$

주어진 경계 조건이 적용되는 선형 동차 2계 미분 방정식의 해는 [1]이며, 다음과 같습니다.

$T (x) = \frac{cosh m (L - x) + (h / m k) sinh m (L - x)}{cosh m L + (h / m k) sinh m L} (T_{B} - T_{A i r}) + T_{A i r}$ ,

여기서 각각은 다음과 같습니다.

$m^{2} = \frac{h π D}{kA}$ .

막대 베이스를 통한 열 전달률은 다음과 같습니다.

$Q_{B a s e} = \sqrt{h π D k A} (T_{B} - T_{A i r}) \frac{sinh m L + (h / m k) cosh m L}{cosh m L + (h / m k) sinh m L}$

[1] Incropera, DeWitt, Bergman, Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer. 6th Ed, Section 3.6. John Wiley & Sons, 2006.

막대 파라미터에 대한 해석적 정상 상태 온도 및 열 유동을 계산합니다.

% Temperature at the mid-point
x = L/2;
m_eqn = sqrt(h*pi*D/(k*A));
T_mid_analytical_ss = ( cosh(m_eqn*(L-x)) + h/(m_eqn*k) * sinh(m_eqn*(L-x)) ) / ( cosh(m_eqn*L) + h/(m_eqn*k) * sinh(m_eqn*L) ) * (T_base - T_air) + T_air % [degC]

T_mid_analytical_ss = 60.9884

% heat flow out the base
Q_base_analytical_ss = sqrt(h*pi*D*k*A)*(T_base-T_air) * ( sinh(m_eqn*L) + h/(m_eqn*k) * cosh(m_eqn*L) ) / ( cosh(m_eqn*L) + h/(m_eqn*k) * sinh(m_eqn*L) ) % [W]

Q_base_analytical_ss = 23.4123

시뮬레이션된 해와 함께 해석적 정상 상태 해를 플로팅합니다. 아래 플롯은 9개 세그먼트로 분할된 모델은 해석적 해에 거의 수렴하는 반면, 단일 집중 질량 모델은 오차가 유지되는 것을 보여줍니다. 세그먼트 개수를 늘리면 해석적 예측값으로의 수렴이 더욱 향상됩니다.

figure;
clf;
hold on;
plot([1000 2500], T_mid_analytical_ss*[1 1], 'LineWidth', 2)
plot(time_Lumped, T_Lumped, '--', 'Color', [0 0.6 0])
plot(time_Segmented, T_Segmented);
xlabel('Time (sec)')
title('Steady-State Temperature (degC)')
legend('Analytical solution', 'Lumped rod (midpoint)', 'Segment 1', 'Segment 3', 'Segment 5 (midpoint)', 'Segment 7', 'Segment 9', 'Location', 'best')
xlim([1000 2500]) % Zoom into the steady-state time region

% Plot the base heat transfer rate
figure;
clf;
hold on;
plot([1000 2500], Q_base_analytical_ss*[1 1], 'LineWidth', 2)
plot(time_Lumped, Q_Lumped, '--')
plot(time_Segmented, Q_Segmented);
xlabel('Time (sec)')
title('Steady-State Base Heat Flow')
legend('Analytical solution', 'Lumped rod', 'Segmented rod', 'Location', 'best')
xlim([1000 2500]) % Zoom into the steady-state time region