최적화 이론 개요

최적화 기법은 어떤 방법으로든 최적이라고 정의할 수 있는 설계 파라미터 세트 x = {x₁,x₂,...,x_n}을 구하는 데 사용됩니다. 단순한 경우, 이 절차는 x에 종속적인 일부 시스템 특성의 최소화 또는 최대화일 수 있습니다. 더 발전된 정식화에서, 최소화하거나 최대화할 목적 함수 f(x)에는 다음 중 하나 이상의 형식으로 된 제약 조건이 적용될 수 있습니다.

등식 제약 조건, G_i(x) = 0 ( i = 1,...,m_e)
부등식 제약 조건, G_i( x) ≤ 0 (i = m_e + 1,...,m)
파라미터 범위, x_l, x_u(여기서 x_l ≤ x ≤ x_u, 일부 x_l은 -∞일 수 있고 일부 x_u는 ∞일 수 있음)

일반적인 문제(GP) 설명은 다음과 같이 기술됩니다.

\min_{x} f (x),

(1)

여기에는 다음 조건이 적용됩니다.

$\begin{array}{l} \begin{matrix} G_{i} (x) = 0 & i = 1, ..., m_{e} \\ G_{i} (x) \leq 0 & i = m_{e} + 1, ..., m \end{matrix} \\ x_{l} \leq x \leq x_{u}, \end{array}$

여기서 x는 길이 n의 설계 파라미터 벡터이고, f(x)는 (스칼라 값을 반환하는) 목적 함수이며, 벡터 함수 G(x)는 x에서 실행된 등식 제약 조건과 부등식 제약 조건의 값을 포함하는 길이 m의 벡터를 반환합니다.

이 문제의 효율적이고 정확한 해는 제약 조건과 설계 변수의 개수에 관련된 문제의 크기뿐 아니라 목적 함수와 제약 조건의 특성에 따라서도 달라집니다. 목적 함수와 제약 조건이 모두 설계 변수의 선형 함수인 경우 이 문제를 선형 계획법(LP) 문제라고 합니다. 2차 계획법(QP)은 선형 제약 조건이 있는 2차 목적 함수의 최소화 또는 최대화에 관한 것입니다. LP 문제와 QP 문제 모두에서, 신뢰할 수 있는 풀이 절차를 쉽게 사용할 수 있습니다. 목적 함수와 제약 조건이 설계 변수의 비선형 함수일 수 있는 비선형 계획법(NP) 문제는 풀기가 더 어렵습니다. NP 문제의 해는 일반적으로 각 주요 반복에서 탐색 방향을 설정하기 위해 반복 절차를 필요로 합니다. 이 해는 일반적으로 LP, QP 또는 제약 조건이 없는 하위 문제의 해에 의해 달성됩니다.

모든 최적화는 실수부에서 발생합니다. 그러나, 복소 해석 함수를 사용하여 제약 조건이 없는 최소제곱 문제와 방정식 풀이를 정식화하고 풀 수 있습니다. Optimization Toolbox 솔버에서의 복소수 항목을 참조하십시오.