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ga를 사용하여 전역 최적화와 국소 최적화 비교

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전역 최솟값 찾기

때때로 최적화의 목표는 함수의 전역 최솟값 또는 전역 최댓값(탐색 공간의 다른 점에서 함수 값이 더 작거나 더 큰 점)을 찾는 것입니다. 그러나 최적화 알고리즘은 때때로 함수 값이 인근 점에서보다는 더 작지만 탐색 공간의 멀리 있는 점에서보다는 더 클 수도 있는 국소 최솟값을 반환합니다. 유전 알고리즘은 때때로 올바른 설정을 통해 이러한 결함을 극복할 수 있습니다.

예를 들어 다음과 같은 함수가 있다고 가정하겠습니다.

f(x)={-exp(-(x100)2)forx≤100,-exp(-1)+(x-100)(x-102)forx>100.

이 함수를 플로팅합니다.

t = -10:.1:103;
for ii = 1:length(t)
    y(ii) = two_min(t(ii));
end
plot(t,y)

함수에는 2개의 국소 최솟값이 있습니다. 하나는 함수 값이 -1인 x = 0에 있고, 다른 하나는 함수 값이 –1 – 1/e인 x = 101에 있습니다. 후자의 값이 작기 때문에 전역 최솟값은 x = 101에서 발생합니다.

디폴트 파라미터를 사용하여 ga 실행하기

two_min 헬퍼 함수의 코드는 이 예제의 마지막 부분에 있습니다. 디폴트 파라미터로 ga를 실행하여 two_min 함수를 최소화합니다. 각 반복에서 ga 모집단의 범위를 플로팅하려면 gaplot1drange 헬퍼 함수(이 예제의 마지막 부분에 포함)를 사용합니다.

rng default % For reproducibility
options = optimoptions('ga','PlotFcn',@gaplot1drange);
[x,fval] = ga(@two_min,1,[],[],[],[],[],[],[],options)
ga stopped because the average change in the fitness value is less than options.FunctionTolerance.


x = -0.0688

fval = -1.0000

유전 알고리즘은 x = 0에서 국소 최솟값에 매우 가까운 점을 반환합니다. 참고로 모든 개체는 –60에서 60 사이에 있습니다. 모집단은 절대로 전역 최솟값 x = 101 근처의 점을 탐색하지 않습니다.

초기 범위 증가시키기

유전 알고리즘이 더 넓은 범위의 점을 탐색하도록, 즉 모집단의 다양성을 늘리는 한 가지 방법은 초기 범위를 늘리는 것입니다. 초기 범위는 점 x = 101을 포함할 필요는 없지만 x = 101 근처에서 개체를 생성할 수 있을 정도로 충분히 커야 합니다. InitialPopulationRange 옵션을 [-10;90]으로 설정하고 솔버를 반환합니다.

options.InitialPopulationRange = [-10;90];
[x,fval] = ga(@two_min,1,[],[],[],[],[],[],[],options)
ga stopped because it exceeded options.MaxGenerations.


x = 100.9783

fval = -1.3674

이번에는 사용자 지정 플롯에서 훨씬 더 광범위한 개체를 보여줍니다. 초반부터 101 근처에 개체가 있고, 모집단 평균은 101로 수렴하기 시작합니다.

헬퍼 함수

다음 코드는 two_min 헬퍼 함수를 생성합니다.

function y = two_min(x)
if x <= 100
    y = -exp(-(x/100)^2);
else
    y = -exp(-1) + (x-100)*(x-102);
end
end

다음 코드는 gaplot1drange 헬퍼 함수를 생성합니다.

function state = gaplot1drange(options,state,flag)
%gaplot1drange Plots the mean and the range of the population.
%   STATE = gaplot1drange(OPTIONS,STATE,FLAG) plots the mean and the range
%   (highest and the lowest) of individuals (1-D only).  
%
%   Example:
%   Create options that use gaplot1drange
%   as the plot function
%     options = optimoptions('ga','PlotFcn',@gaplot1drange);

%   Copyright 2012-2014 The MathWorks, Inc.

if isinf(options.MaxGenerations) || size(state.Population,2) > 1
    title('Plot Not Available','interp','none');
    return;
end
generation = state.Generation;
score = state.Population;
smean = mean(score);
Y = smean;
L = smean - min(score);
U = max(score) - smean;

switch flag

    case 'init'
        set(gca,'xlim',[1,options.MaxGenerations+1]);
        plotRange = errorbar(generation,Y,L,U);
        set(plotRange,'Tag','gaplot1drange');
        title('Range of Population, Mean','interp','none')
        xlabel('Generation','interp','none')
    case 'iter'
        plotRange = findobj(get(gca,'Children'),'Tag','gaplot1drange');
        newX = [get(plotRange,'Xdata') generation];
        newY = [get(plotRange,'Ydata') Y];
        newL = [get(plotRange,'Ldata') L];
        newU = [get(plotRange,'Udata') U];       
        set(plotRange,'Xdata',newX,'Ydata',newY,'Ldata',newL,'Udata',newU);
end
end

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