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taylor
테일러 급수
설명
는 위에 열거된 구문의 입력 인수 조합과 함께 하나 이상의 이름-값 인수를 사용하여 옵션을 지정합니다. 예를 들어 테일러 급수 전개의 전개 점, 절단 차수 또는 차수 모드를 지정할 수 있습니다.T
= taylor(___,Name,Value
)
예제
일변량 표현식의 매클로린 급수 구하기
지수, 사인, 코사인 함수의 매클로린 급수 전개를 5차까지 구합니다.
syms x
T1 = taylor(exp(x))
T1 =
T2 = taylor(sin(x))
T2 =
T3 = taylor(cos(x))
T3 =
sympref
함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다. 다항식을 오름차순으로 다시 표시합니다.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend'); T1
T1 =
T2
T2 =
T3
T3 =
sympref
함수를 사용하여 설정한 표시 형식은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB® 세션까지 계속 적용됩니다. 'default'
옵션을 지정하여 디폴트 값을 복원합니다.
sympref('default');
전개 점 지정하기
다음 함수에 대해 에서 테일러 급수 전개를 구합니다. 디폴트 전개 점은 0입니다. 다른 전개 점을 지정하려면 ExpansionPoint
를 사용하십시오.
syms x T = taylor(log(x),x,'ExpansionPoint',1)
T =
또는 전개 점을 taylor
의 세 번째 인수로 지정합니다.
T = taylor(acot(x),x,1)
T =
절단 차수 지정하기
f = sin(x)/x
에 대한 매클로린 급수 전개를 구합니다. 디폴트 절단 차수는 6입니다. 이 표현식의 테일러 급수 근사에는 5차 항이 없으므로 taylor
는 이 표현식을 4차 다항식으로 근사합니다.
syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f,x);
Order
를 사용하여 절단 차수를 제어합니다. 예를 들어, 동일한 표현식을 7차와 9차까지 근사합니다.
T8 = taylor(f,x,'Order',8); T10 = taylor(f,x,'Order',10);
원래 표현식 f
와 그 근사 T6
, T8
, T10
을 플로팅합니다. 근사의 정확도가 절단 차수에 따라 어떻게 달라지는지 확인합니다.
fplot([T6 T8 T10 f]) xlim([-4 4]) grid on legend('approximation of sin(x)/x with error O(x^6)', ... 'approximation of sin(x)/x with error O(x^8)', ... 'approximation of sin(x)/x with error O(x^{10})', ... 'sin(x)/x','Location','Best') title('Taylor Series Expansion')
상대 또는 절대로 절단 차수 지정하기
다음 표현식의 테일러 급수 전개를 구합니다. 기본적으로 taylor
는 절대 차수를 사용합니다. 그리고, 그 차수에 맞춰 급수를 구합니다.
syms x T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,'Order',5)
T =
OrderMode
를 사용하여 상대 절단 차수로 테일러 급수 전개를 구합니다. 일부 표현식의 경우 상대 절단 차수가 보다 정확한 근사를 제공합니다.
T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,'Order',5,'OrderMode','relative')
T =
다변량 표현식의 매클로린 급수 구하기
다음 다변량 표형식의 매클로린 급수 전개를 구합니다. 변수로 구성된 벡터를 지정하지 않으면 taylor
는 f
를 하나의 독립 변수에 대한 함수로 취급합니다.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f)
T =
변수로 구성된 벡터를 지정하여 다변량 매클로린 급수 전개를 구합니다.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f,[x,y,z])
T =
sympref
함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다. 다항식을 오름차순으로 다시 표시합니다.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend'); T
T =
sympref
를 사용하여 설정한 표시 형식은 현재 세션뿐만 아니라 이후의 MATLAB 세션까지 계속 적용됩니다. 'default'
옵션을 지정하여 디폴트 값을 복원합니다.
sympref('default');
다변량 표현식에 대해 전개 점 지정하기
변수로 구성된 벡터와 전개 점을 정의하는 값으로 구성된 벡터를 지정하여 다변량 테일러 급수 전개를 구합니다.
syms x y f = y*exp(x - 1) - x*log(y); T = taylor(f,[x y],[1 1],'Order',3)
T =
전개 점을 스칼라 a
로 지정하면 taylor
는 이 스칼라를 변수로 구성된 벡터와 길이가 같은 벡터로 변환합니다. 전개 벡터의 모든 요소는 a
와 같습니다.
T = taylor(f,[x y],1,'Order',3)
T =
테일러 근사에서의 오차 추정값
테일러 급수 전개를 사용하여 함수 을 근사할 경우의 오차 추정값을 구합니다. 여기서는 전개 점 에서 7차까지의 테일러 근사(절단 차수 포함)를 가정해 보겠습니다.
테일러 근사의 오차 또는 나머지는 라그랑주 형식으로 주어집니다.
오차 추정값의 상한은 와 사이의 모든 에 대해 이 되는 양의 실수 을 구해 계산할 수 있습니다.
Order
를 8
로 지정하여 함수 의 테일러 급수 전개를 7차까지 구합니다.
syms x
f = log(x+1)
f =
T = taylor(f,'Order',8)
T =
테일러 근사의 오차를 추정하려면 먼저 항 를 계산합니다.
syms c
fn(c) = subs(diff(f,8),x,c)
fn(c) =
의 양수 값의 경우 오차 추정값의 상한은 관계 을 사용하여 계산할 수 있습니다(는 과 양수 사이의 양수 값이어야 하기 때문). 다음으로 라그랑주 형식 와 관계 을 사용하여 오차 추정값 Rupper(x)
의 상한을 구합니다.
Rupper(x) = 5040*x^8/factorial(8)
Rupper(x) =
점 에서 테일러 급수 전개를 계산합니다. 테일러 근사에서 오차 추정값의 상한을 구합니다.
Teval = subs(T,x,0.5)
Teval =
Rmax = double(Rupper(0.5))
Rmax = 4.8828e-04
비교를 위해 에서 엄밀한 함수를 계산하고 테일러 근사에서 나머지를 구합니다.
feval = subs(f,x,0.5)
feval =
R = double(abs(feval-Teval))
R = 3.3846e-04
입력 인수
f
— 근사할 입력값
기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬 | 기호 다차원 배열
근사할 입력값으로, 기호 표현식 또는 기호 함수로 지정됩니다. 또한, 기호 표현식 또는 기호 함수로 구성된 벡터, 행렬 또는 다차원 배열일 수 있습니다.
var
— 전개 변수
기호 변수
전개 변수로, 기호 변수로 지정됩니다. var
을 지정하지 않으면 taylor
는 symvar(f,1)
에서 결정된 디폴트 변수를 사용합니다.
a
— 전개 점
0 (디폴트 값) | 숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 함수 | 기호 표현식
전개 점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 표현식으로 지정됩니다. 전개 점은 전개 변수에 종속될 수 없습니다. 전개 점을 이름-값 인수로 지정할 수도 있습니다. 전개 점을 두 가지 방법으로 지정하면 이름-값 인수가 우선합니다.
이름-값 인수
선택적 인수 쌍을 Name1=Value1,...,NameN=ValueN
으로 지정합니다. 여기서 Name
은 인수 이름이고 Value
는 대응값입니다. 이름-값 인수는 다른 인수 뒤에 와야 하지만, 인수 쌍의 순서는 상관없습니다.
R2021a 이전 버전에서는 쉼표를 사용하여 각 이름과 값을 구분하고 따옴표로 Name
을 묶으십시오.
예: taylor(log(x),x,'ExpansionPoint',1,'Order',9)
ExpansionPoint
— 전개 점
0 (디폴트 값) | 숫자 | 기호 숫자 | 기호 변수 | 기호 함수 | 기호 표현식
전개 점으로, 숫자, 기호 숫자, 기호 변수, 기호 함수 또는 기호 표현식으로 지정됩니다. 전개 점은 전개 변수에 종속될 수 없습니다. 입력 인수 a
를 사용하여 전개 점을 지정할 수도 있습니다. 전개 점을 두 가지 방법으로 지정하면 이름-값 인수가 우선합니다.
Order
— 테일러 급수 전개의 절단 차수
6 (디폴트 값) | 양의 정수 | 양의 기호 정수
테일러 급수 전개의 절단 차수로, 양의 정수 또는 양의 기호 정수로 지정됩니다. taylor
는 차수 n - 1
을 사용하여 테일러 급수 근사를 계산합니다. 절단 차수 n
은 O항 즉, O(varn)의 지수입니다.
OrderMode
— 차수 모드 표시자
'absolute'
(디폴트 값) | 'relative'
차수 모드 표시자로, 'absolute'
또는 'relative'
로 지정됩니다. 이 표시자는 테일러 다항식 근사를 구할 때 절대 차수와 상대 차수 중 어느 것을 사용할지 지정합니다.
절대 차수는 어떤 차수에서 잘라 급수를 구할지 나타냅니다. 상대 차수 n
은 계산된 급수에서 var
의 지수 범위가 선행 차수 m
부터 가장 큰 지수 m + n - 1
까지라는 것을 의미합니다. 여기서 m + n
은 O항 즉, O(varm + n)에 있는 var
의 지수입니다.
세부 정보
테일러 급수 전개
테일러 급수 전개는 다음과 같이 전개 점 x = a를 중심으로 하는 항들의 무한 합으로 해석 함수 f(x)를 나타냅니다.
테일러 급수 전개에서는 함수가 전개 점 주위에서 도함수를 무한 차수까지 가져야 합니다.
매클로린 급수 전개
다음과 같이 x = 0을 중심으로 하는 테일러 급수 전개를 매클로린 급수 전개라고 합니다.
팁
세 번째 인수
a
와ExpansionPoint
를 둘 다 사용하여 전개 점을 지정하면ExpansionPoint
로 지정된 값이 우선합니다.var
이 벡터이면 전개 점a
는 스칼라이거나var
과 같은 길이의 벡터여야 합니다.var
이 벡터이고a
가 스칼라이면a
는 모든 요소가a
와 같고 길이가var
과 같은 벡터로 확장됩니다.전개 점이 무한대 또는 음의 무한대이면
taylor
는1/var
의 멱급수인 로랑 급수 전개를 구합니다.sympref
함수를 사용하여 기호 다항식의 출력 순서를 수정할 수 있습니다.taylor
가 테일러 급수 전개를 구할 수 없으면series
를 사용하여 더 일반적인 퓌죠 급수 전개를 구합니다.
버전 내역
R2006a 이전에 개발됨
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