직렬 RLC 회로 모델링하기

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물리 시스템은 음함수 형식의 미분 방정식 $F\left(t,x,\dot{\left\lbrace x\right\rbrace } \right)=0$ 또는 묵시적 상태공간 형식 $E\dot{x} =A\;x+B\;u\;$ 로 설명할 수 있습니다.

$E$ 가 정칙이면 시스템은 쉽게 연립상미분방정식(ODE)으로 변환될 수 있고 다음과 같이 해를 구할 수 있습니다.

$\dot{x} =\left(E^{-1} A\right)x+\left(E^{-1} B\right)u$

많은 경우 시스템 상태는 해당 도함수와 직접적인 관계가 없는 것처럼 보이며 대개 물리적 보존 법칙을 나타냅니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$\begin{array}{l}\dot{x_1 } =x_2 \\0\;=x_1 +x_2 \end{array}$

이 경우 $E$ 는 특이 행렬이며 역행렬을 구할 수 없습니다. 이러한 유형의 시스템을 일반적으로 설명자 시스템이라고 하며 해당 방정식을 미분대수 방정식(DAE)이라고 합니다.

직렬 RLC 회로

다음과 같은 간단한 직렬 RLC 회로를 가정해 보겠습니다.

키르히호프의 전압 법칙에 따르면, 회로 전체에 발생한 전압 강하는 각 요소에서의 전압 강하의 합과 같습니다.

$V_{AC} = V_R+V_L+V_C$

키르히호프의 전류 법칙에 따르면 다음과 같습니다.

$I_{AC}=I_R=I_L=I_C$

여기서 첨자 $R$ , $L$ , $C$ 는 각각 저항, 인덕턴스, 커패시턴스를 의미합니다.

$V_{R} =I\left(t\right)R$

$V_L =L\dot{I_L }$ 또는 $\dot{I_L } = \frac{1}{L}V_L$

$V_C =V_{AC} \left(0\right)+\int_0^t I_C \left(\tau \right)d\tau$ 또는 $\dot{V_c } =\frac{1}{C}I_c$

묵시적 상태공간 형식

$R=10\;\Omega$ , $L=1\times {10}^{-6} \;H$ , $C=1\times {10}^{-4} F$ 를 사용하여 Simulink®에서 시스템을 모델링해 저항기 $V_R$ 을 통과하는 전압을 구합니다. Descriptor State-Space 블록을 사용하려면 아래와 같이 시스템을 묵시적(또는 설명자) 상태공간 형식 $E\dot{x}=Ax+Bu$ 로 작성하면 됩니다.

$\left\lbrack \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0
& 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right\rbrack
\left\lbrack \begin{array}{c}\dot{V_C } \\\dot{V_L } \\\dot{V_R } \\\dot{I_L
} \\\dot{I_{AC} } \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0
& 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & R & 0\\0 & \frac{1}{L}
& 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}V_C
\\V_L \\V_R \\I_L \\I_{AC} \end{array}\right\rbrack +\left\lbrack \begin{array}{c}0\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right\rbrack
V_{AC}$

여기서 $x = {\left\lbrack \begin{array}{ccccc}V_C &V_L& V_R& I_L& I_{AC}\end{array}\right\rbrack}^T$ 는 상태 벡터입니다.

저항기를 통과하는 전압이 측정되므로 $C=\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0&0& 1& 0&0\end{array}\right\rbrack$ 를 설정합니다.

$V_R$ 을 구하기 위해 대수 루프를 사용하는 시스템 모델링과 비교합니다.

두 모델의 시뮬레이션 모두 동일한 결과를 생성합니다. 그러나, Descriptor State-Space 블록을 사용하면 더 간단한 블록 다이어그램을 만들고 대수 루프를 피할 수 있습니다.

참고 항목

대수 루프 개념

Model Differential Algebraic Equations