정전기학 및 정자기학 방정식

맥스웰 방정식은 전기역학을 다음과 같이 설명합니다.

$$\begin{array}{c}\nabla \cdot D=\rho ,\\ \nabla \cdot B=0,\\ \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t},\\ \nabla \times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}.\end{array}$$

여기서 E와 H는 전기장 강도와 자기장 강도이고, D와 B는 전기 플럭스 밀도와 자기 플럭스 밀도이며, ρ와 J 는 전하 밀도와 전류 밀도입니다.

정전기학

정전기 문제의 경우 맥스웰 방정식은 다음 형식으로 단순화됩니다.

$$\begin{array}{l}\nabla \cdot D=\nabla \cdot \left(\epsilon E\right)=\rho ,\\ \nabla \times E=0,\end{array}$$

여기서 ε은 물질의 전기 유전율입니다.

전기장 E가 전위(전기 퍼텐셜) V의 기울기이므로($$E=-\nabla V.$$) 첫 번째 방정식은 이 PDE를 생성합니다.

$$-\nabla \cdot \left(\epsilon \nabla V\right)=\rho .$$

정전기 문제의 경우 디리클레 경계 조건은 경계에서의 전위(전기 퍼텐셜) V를 지정합니다.

정자기학

정자기 문제의 경우 맥스웰 방정식은 다음 형식으로 단순화됩니다.

$$\begin{array}{l}\nabla \cdot B=0,\\ \nabla \times H=J+\frac{\partial \left(\epsilon E\right)}{\partial t}=J.\end{array}$$

$$\nabla \cdot B=0$$이므로 $$B=\nabla \times A$$를 충족하는 자기 벡터 퍼텐셜 A가 존재합니다. 비강자성 물질의 경우 $$B\text{ = }\mu H$$입니다. 여기서 µ는 물질의 자기 투자율입니다. 그러므로 다음이 성립합니다.

$$\begin{array}{l}H={\mu }^{-1}\nabla \times A,\\ \nabla \times \left({\mu }^{-1}\nabla \times A\right)=J.\end{array}$$

다음 항등식과

$$\nabla \times \left(\nabla \times A\right)=\nabla \left(\nabla \cdot A\right)-{\nabla }^{2}A$$

쿨롱 게이지 $$\nabla ·A=0$$을 사용하여 A에 대한 방정식을 J로 표현한 다음 PDE로 단순화합니다.

$$-{\nabla }^{2}A=-\nabla \cdot \nabla A=\mu J.$$

정자기 문제의 경우 디리클레 경계 조건은 경계에서의 자기 퍼텐셜 A를 지정합니다.

영구 자석을 고려한 정자기학

영구 자석의 경우 B와 H 간의 구성 관계에는 자화 M이 포함됩니다.

$$B=\mu H+{\mu }_{0}M.$$

이때 $$\mu ={\mu }_0{\mu }_r$$이며, 여기서 μ_r은 물질의 상대 자기 투자율이고 μ₀은 진공 투자율입니다.

$$\nabla \cdot B=0$$이므로 $$B=\nabla \times A$$를 충족하는 자기 벡터 퍼텐셜 A가 존재합니다. 그러므로 다음이 성립합니다.

$$\begin{array}{l}H\text{ =}\frac{1}{{\mu }_0{\mu }_r}B-\frac{1}{{\mu }_r}M,\\ \nabla \times H=\nabla \times \left(\frac{1}{{\mu }_0{\mu }_r}\times A-\frac{1}{{\mu }_r}M\right)=J.\end{array}$$

A에 대한 방정식은 전류 밀도 J 및 자화 M을 기준으로 다음과 같습니다.

$$\nabla \times \left(\frac{1}{{\mu }_r{\mu }_0}\nabla \times A\right)=J+\nabla \times \left(\frac{1}{{\mu }_r}M\right).$$