정전기학 및 정자기학 방정식

R2025b

맥스웰 방정식은 전기역학을 다음과 같이 설명합니다.

$\begin{matrix} \nabla \cdot D = ρ, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t} . \end{matrix}$

여기서 E와 H는 전기장 강도와 자기장 강도이고, D와 B는 전기 플럭스 밀도와 자기 플럭스 밀도이며, ρ와 J 는 전하 밀도와 전류 밀도입니다.

정전기학

정전기 문제의 경우 맥스웰 방정식은 다음 형식으로 단순화됩니다.

$\begin{array}{l} \nabla \cdot D = \nabla \cdot (ε E) = ρ, \\ \nabla \times E = 0, \end{array}$

여기서 ε은 물질의 전기 유전율입니다.

전기장 E가 전위(전기 퍼텐셜) V의 기울기이므로( $E = - \nabla V .$ ) 첫 번째 방정식은 이 PDE를 생성합니다.

$- \nabla \cdot (ε \nabla V) = ρ .$

정전기 문제의 경우 디리클레 경계 조건은 경계에서의 전위(전기 퍼텐셜) V를 지정합니다.

정자기학

정자기 문제의 경우 맥스웰 방정식은 다음 형식으로 단순화됩니다.

$\begin{array}{l} \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times H = J + \frac{\partial (ε E)}{\partial t} = J . \end{array}$

$\nabla \cdot B = 0$ 이므로 $B = \nabla \times A$ 를 충족하는 자기 벡터 퍼텐셜 A가 존재합니다. 비강자성 물질의 경우 $B = μ H$ 입니다. 여기서 µ는 물질의 자기 투자율입니다. 그러므로 다음이 성립합니다.

$\begin{array}{l} H = μ^{- 1} \nabla \times A, \\ \nabla \times (μ^{- 1} \nabla \times A) = J . \end{array}$

다음 항등식과

$\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A$

쿨롱 게이지 $\nabla \cdot A = 0$ 을 사용하여 A에 대한 방정식을 J로 표현한 다음 PDE로 단순화합니다.

$- \nabla^{2} A = - \nabla \cdot \nabla A = μ J .$

정자기 문제의 경우 디리클레 경계 조건은 경계에서의 자기 퍼텐셜 A를 지정합니다.

영구 자석을 고려한 정자기학

영구 자석의 경우 B와 H 간의 구성 관계에는 자화 M이 포함됩니다.

$B = μ H + μ_{0} M .$

이때 $μ = μ_{0} μ_{r}$ 이며, 여기서 μ_r은 물질의 상대 자기 투자율이고 μ₀은 진공 투자율입니다.

$\nabla \cdot B = 0$ 이므로 $B = \nabla \times A$ 를 충족하는 자기 벡터 퍼텐셜 A가 존재합니다. 그러므로 다음이 성립합니다.

$\begin{array}{l} H = \frac{1}{μ_{0} μ_{r}} B - \frac{1}{μ_{r}} M, \\ \nabla \times H = \nabla \times (\frac{1}{μ_{0} μ_{r}} \times A - \frac{1}{μ_{r}} M) = J . \end{array}$

A에 대한 방정식은 전류 밀도 J 및 자화 M을 기준으로 다음과 같습니다.

$\nabla \times (\frac{1}{μ_{r} μ_{0}} \nabla \times A) = J + \nabla \times (\frac{1}{μ_{r}} M) .$