히스토그램 평활화하기

이 예제에서는 Curve Fitting Toolbox™의 스플라인 명령을 사용하여 히스토그램을 평활화하는 방법을 보여줍니다.

다음은 측정을 통해 수집된 데이터를 나타낼 수 있는 일부 난수 값의 히스토그램입니다.

y = randn(1,5001);
hist(y);

이 히스토그램에서 기본 분포에 대한 더 매끄러운 근사를 이끌어 내고자 합니다. 이를 위해 각 막대 구간에서의 함수의 평균값이 그 막대의 높이와 같은 스플라인 함수 f를 생성합니다.

h가 이러한 막대 중 하나의 높이이고 이 막대의 왼쪽과 오른쪽 경계가 L과 R에 있는 경우, 우리는 스플라인 f가 다음을 충족하거나

integral {f(x) : L < x < R}/(R - L) = h

또는 F가 f의 부정적분인 경우(즉, DF = f) 다음을 충족하기를 원합니다.

F(R) - F(L) = h*(R - L)

[heights,centers] = hist(y);
hold on
ax = gca;
ax.XTickLabel = [];
n = length(centers);
w = centers(2)-centers(1);
t = linspace(centers(1)-w/2,centers(end)+w/2,n+1);
p = fix(n/2);
fill(t([p p p+1 p+1]),[0 heights([p p]),0],'w')
plot(centers([p p]),[0 heights(p)],'r:')
h = text(centers(p)-.2,heights(p)/2,'   h');
dep = -70;
tL = text(t(p),dep,'L');
tR = text(t(p+1),dep,'R');
hold off

따라서 n이 막대 개수이고, t(i)가 i번째 막대의 왼쪽 경계이며, dt(i)가 막대의 너비이고, h(i)가 막대의 높이인 경우, 우리는 다음을 원하거나

F(t(i+1)) - F(t(i)) = h(i) * dt(i), for i = 1:n

또는 임의로 F(t(1)) = 0을 설정하여, 다음을 원합니다.

F(t(i)) = sum {h(j)*dt(j) : j=1:i-1}, for i = 1:n+1

dt = diff(t);
Fvals = cumsum([0,heights.*dt]);

여기에 두 개의 끝점 조건 DF(t(1)) = 0 = DF(t(n+1))을 추가하면 완전한 3차 스플라인 보간으로서의 F를 얻는 데 필요한 모든 데이터를 갖추게 됩니다.

F = spline(t, [0, Fvals, 0]);

두 번째 인수의 두 개의 추가 0 값은 끝점 기울기가 0이라는 조건을 나타냅니다.

마지막으로, 스플라인 F의 도함수 f = DF는 히스토그램의 평활화된 버전입니다.

DF = fnder(F);  % computes its first derivative
h.String = 'h(i)';
tL.String = 't(i)';
tR.String = 't(i+1)';
hold on
fnplt(DF, 'r', 2)
hold off
ylims = ylim; 
ylim([0,ylims(2)]);