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B-스플라인 및 평활화 스플라인

이 툴박스에서 매듭 tj, ..., tj+k를 갖는 B-스플라인의 정의는 다음과 같이 지정됩니다.

Bj,k(x)=B(x|tj,...,tj+k)=(tj+ktj)[tj,...,tj+k](x)+k1.

이는 B-스플라인의 적절한 정규화 7개 중 하나에 불과합니다. 이 정의는 다음이 성립하도록 선택되었습니다.

j=1nBj,k(x)=1,tkxtn+1.

그러나 B-스플라인에 대한 위 수식을 이해하려고 노력하는 것보다 GUI bspligui의 도움말 페이지에서 B-스플라인의 기본적인 속성을 살펴보고 이 GUI를 사용하여 함수에 대한 실습 경험을 쌓는 것이 도움이 될 것입니다. 이 툴박스에서 이 함수가 갖는 가장 중요한 속성은 이름에 문자 B가 들어가는 이유이기도 합니다.

주어진 위수의 (일변량) 조각별 다항식의 모든 공간은 B-스플라인으로 이루어진(여기에서 B-스플라인의 “B”가 나옵니다) 기저를 갖습니다.

스플라인 속성

Bj,k가 구간 (tj..tj+k)에서는 0이 아니므로 보간이나 최소제곱 근사법을 통해 또는 미분 방정식의 근사해로 스플라인의 B-스플라인 계수를 결정하는 데 있어서 선형 시스템의 대역이 지정되어 선형 시스템을 푸는 것이 쉬워집니다. 예를 들어, i=1, ..., n에 대해 s(xi)=yi가 되도록 매듭 시퀀스가 t1 ≤ t2 ≤··· ≤ tn+k이고 위수가 k인 스플라인 s를 생성하려면 다음 선형 시스템을 사용하십시오.

j=1nBj,k(xi)aj=yii=1:n

여기서 aj는 알 수 없는 B-스플라인 계수이고, 각 수식에서 최대 k개의 0이 아닌 요소를 갖습니다.

스플라인에 관한 다수의 이론은 B-스플라인으로 가장 쉽게 설명 및 증명됩니다. 예를 들어, 모든 j에 대해 Bj,k(xj)≠0인 경우에만(Schoenberg-Whitney 조건) 매듭 시퀀스가 (t1, ..., tn+k)이고 위수가 k인 스플라인에 의해 지점 x1<<xn에서 임의의 데이터를 고유하게 매칭할 수 있습니다. B-스플라인을 사용한 계산은 다음과 같은 안정적인 되풀이 관계로 인해 용이해집니다.

Bj,k(x)=xtjtj+k1tjBj,k1(x)+tj+kxtj+ktj+1Bj+1,k1(x)

이는 B-form을 ppform으로 변환할 때도 도움이 됩니다. 다음 쌍대 범함수는

aj(s):=i<k(D)ki1Ψj(τ)Dis(τ)

스플라인 s의 j번째 B-스플라인 계수에 대해 tj와 tj+k 사이의 임의 지점 τ에서 스플라인의 값과 도함수를 사용하여, 그리고 ψj(t):=(tj+1–t)··· (tj+k–1–t)/(k–1)!을 사용하여 유용한 표현을 제공합니다. aj(s)는 구간 [tj..tj+k]에서 s와 긴밀하게 관련되어 있음을 보일 수 있으며, 이에 따라 ppform을 B-form으로 변환하는 데 가장 효율적인 수단인 것으로 보입니다.

변분 방식과 평활화 스플라인

스플라인에 위와 같은 추정적인 방식만 있는 것이 아닙니다. 변분 방식에서는 스플라인이 가장 좋은 보간 함수(예: 특정 지점에서 미리 지정된 함수 값과 일치하는 모든 도함수 중에서 가장 작은 m번째 도함수를 갖는 함수)로 얻어집니다. 이러한 조건을 충족하는 여러 스플라인 중에서 조각별 다항식인 스플라인 또는 조각별 지수인 스플라인만이 가장 많은 용도를 갖습니다. 그중에서도 특히 평활화 스플라인 s = sp가 실용적인 용도를 갖습니다. 평활화 스플라인은 모든 i에 대해 x∊[a..b]인 데이터 (xi,yi), 그에 대응하는 양의 가중치 wi평활화 파라미터 p가 주어졌을 때

piwi|yif(xi)|2+(1p)ab|Dmf(t)|2dt

m개 도함수를 갖는 모든 함수 f에 대해 위 방정식을 최소화합니다. 평활화 스플라인 s는 모든 데이터 지점에 절점이 있는 위수가 2m인 스플라인입니다. 평활화 파라미터 p는 다음 오차 측도를 작게 만드는 한편

E(s)=iwi|yis(xi)|2

다음 거칠기 측도를 작게 만들어야 한다는

F(Dms)=ab|Dms(t)|2dt

두 가지 요건을 균형 있게 고려하여 선택됩니다. 목표는 s가 가급적 많은 양의 정보를 포함하는 동시에 데이터에 가급적 적은 잡음이 포함되도록 하는 것입니다. 이를 위한 한 가지 방법은 (spaps에서 사용됨) E(f)가 미리 지정된 허용오차보다 크지 않다는 조건하에서 F(Dmf)를 가급적 작게 만드는 것입니다. 계산상의 이유로, spaps는 (이에 상응하는) 평활화 파라미터 ρ=p/(1–p)를 사용합니다. 즉, ρE(f) + F(Dmf)를 최소화합니다. 또한, 때로는 다음과 같이 보다 유연한 거칠기 측도를 사용하는 것이 유용할 수 있으며,

F(Dms)=abλ(t)|Dms(t)|2dt

이때 λ는 적당한 양의 가중치 함수가 됩니다.

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