B-스플라인 및 평활화 스플라인

위수 k와 비감소 매듭 시퀀스 $$t=(t_0,t_1,\dots ,t_n)$$을 가진 j번째 B-스플라인 $$B_{j,k}\left(x\right)$$의 Cox-de Boor 재귀 정의는 다음 공식으로 지정됩니다.

$$\begin{array}{l}{B}_{j,1}(x)=\{\begin{array}{cc}1& t_j\le x<t_{j+1}\\ 0& x<t_j,t_{j+1}\le x\end{array}\\ B_{j,k+1}(x)=\frac{x-t_j}{t_{j+k-1}-t_j}{B}_{j,k-1}\left(x\right)+\frac{t_{j+k}-x}{t_{j+k}-t_{j+1}}{B}_{j+1,k-1}\left(x\right)\end{array}$$

bspligui 인터페이스에 대한 함수 도움말 페이지에는 B-스플라인의 기본 속성 중 일부가 나열되어 있습니다. 이 인터페이스를 사용하여 B-스플라인에 대한 경험을 쌓을 수 있습니다. B-스플라인의 가장 중요한 속성은 이름에 문자 B가 들어가는 이유이기도 합니다.

주어진 위수의 (일변량) 조각별 다항식의 모든 공간은 B-스플라인으로 이루어진 기저(Basis)를 갖습니다.

스플라인 속성

B_j,k가 구간 $$(t_j,t_{j+k})$$에서만 0이 아니므로 B-스플라인 계수에 대한 선형 시스템의 대역이 지정되어 선형 시스템을 푸는 것이 쉬워집니다. 예를 들어, i=1, ..., n에 대해 s(x_i)=y_i가 되도록 매듭 시퀀스가 t₁ ≤ t₂ ≤··· ≤ t_n+k이고 위수가 k인 스플라인 s를 생성하려면 다음 선형 시스템을 사용하십시오.

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{B}_{j,k}}\left(x_i\right)a_j=y_i& i=1:n\end{array}$$

여기서 a_j는 알 수 없는 B-스플라인 계수이고, 각 수식에서 최대 k개의 0이 아닌 요소를 갖습니다.

또한 스플라인에 관한 많은 이론적 사실은 B-스플라인으로 가장 쉽게 설명되거나 증명됩니다. 예를 들어, 모든 j에 대해 B_j,k(x_j)≠0인 경우에만(Schoenberg-Whitney 조건) 매듭 시퀀스가 (t₁, ..., t_n+k)이고 위수가 k인 스플라인에 의해 지점 $$x_1<\cdots <x_n$$에서 임의의 데이터를 고유하게 매칭할 수 있습니다. B-스플라인의 안정적인 재귀 관계 덕분에 B-스플라인을 사용한 계산이 용이해지며, 이는 B-form을 ppform으로 변환할 때도 유용합니다. 다음 쌍대 범함수는

$$a_j\left(s\right):={\displaystyle \sum _{i<k}{\left(-D\right)}^{k-i-1}{\Psi }_j\left(\tau \right)}{D}^{i}s\left(\tau \right)$$

스플라인 s의 j번째 B-스플라인 계수에 대해 t_j와 t_j+k 사이의 임의 지점 τ에서 스플라인의 값과 도함수를 사용하여, 그리고 ψ_j(t):=(t_j+1–t)··· (t_j+k–1–t)/(k–1)!을 사용하여 유용한 표현을 제공합니다. a_j(s)는 구간 [t_j..t_j+k]에서 s와 긴밀하게 관련되어 있음을 보일 수 있으며, 이에 따라 ppform을 B-form으로 변환하는 데 가장 효율적인 수단인 것으로 보입니다.

변분 방식과 평활화 스플라인

스플라인에 위와 같은 추정적인 방식만 있는 것이 아닙니다. 변분 방식에서는 스플라인이 가장 좋은 보간 함수(예: 특정 지점에서 미리 지정된 함수 값과 일치하는 모든 도함수 중에서 가장 작은 m번째 도함수를 갖는 함수)로 얻어집니다. 이러한 조건을 충족하는 여러 스플라인 중에서 조각별 다항식인 스플라인 또는 조각별 지수인 스플라인만이 가장 많은 용도를 갖습니다. 그중에서도 특히 평활화 스플라인 s = s_p가 실용적인 용도를 갖습니다. 평활화 스플라인은 모든 i에 대해 x∊[a..b]인 데이터 (x_i,y_i), 그에 대응하는 양의 가중치 w_i 및 평활화 파라미터 p가 주어졌을 때

$$p{\displaystyle \sum _i{w}_i}{\left|y_i-f\left(x_i\right)\right|}^2+\left(1-p\right){\displaystyle {\int }_a^b{\left|D^{m}f(t)\right|}^{2}dt}$$

m개 도함수를 갖는 모든 함수 f에 대해 위 방정식을 최소화합니다. 평활화 스플라인 s는 모든 데이터 지점에 절점이 있는 위수가 2m인 스플라인입니다. 평활화 파라미터 p는 다음 오차 측도를 작게 만드는 한편

$$E\left(s\right)={\displaystyle \sum _i{w}_i{\left|y_i-s\left(x_i\right)\right|}^2}$$

다음 거칠기 측도를 작게 만들어야 한다는

$$F\left(D^{m}s\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\left|D^{m}s\left(t\right)\right|}^{2}dt}$$

두 가지 요건을 균형 있게 고려하여 선택됩니다. 목표는 s가 가급적 많은 양의 정보를 포함하는 동시에 데이터에 가급적 적은 잡음이 포함되도록 하는 것입니다. 이를 위한 한 가지 방법은 (spaps에서 사용됨) E(f)가 미리 지정된 허용오차보다 크지 않다는 조건하에서 F(D^mf)를 가급적 작게 만드는 것입니다. 계산상의 이유로, spaps는 (이에 상응하는) 평활화 파라미터 ρ=p/(1–p)를 사용합니다. 즉, ρE(f) + F(D^mf)를 최소화합니다. 또한, 때로는 다음과 같이 보다 유연한 거칠기 측도를 사용하는 것이 유용할 수 있으며,

$$F\left(D^{m}s\right)={\displaystyle {\int }_a^b\lambda \left(t\right){\left|D^{m}s(t)\right|}^{2}dt}$$

이때 λ는 적당한 양의 가중치 함수가 됩니다.

관련 항목

• Constructing and Working with B-form Splines