라이브 편집기를 사용하여 대화형 방식의 교재 만들기

다음은 교실에서 라이브 스크립트를 사용하는 방법에 대한 예제입니다. 이 예제에서는 다음을 어떻게 수행하는지 보여줍니다.

• 수식을 추가하여 기본적인 수학 원리 설명

• MATLAB® 코드의 개별 섹션 실행

• 시각화를 위한 플롯 포함

• 링크와 이미지를 사용하여 추가 정보 제공

• 대화형 방식으로 MATLAB 코드 시험

• 기타 예제로 개념 보강

• 과제에 라이브 스크립트 사용

1의 n제곱근을 구한다는 것은 어떤 의미일까요?

가르치려는 개념에 대한 기본적인 수학 원리를 설명하기 위하여 수식을 추가하십시오. 수식을 추가하려면 삽입 탭으로 이동하여 수식 버튼을 클릭하십시오. 그런 다음 수식 탭에 있는 기호와 구조 중에서 선택합니다.

오늘은 1의 근을 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 1의 n제곱근을 구한다는 것은 어떤 의미일까요? 1의 n제곱근은 방정식 ${\mathit{x}}^{\mathit{n}}-1=0$의 해입니다.

제곱근을 구하는 것은 쉽습니다. 값은 $\mathit{x}=\pm \sqrt{1}=\pm 1$입니다. 근의 차수가 높아질수록 점점 어려워집니다. 1의 세제곱근을 구하려면 방정식 ${\mathit{x}}^3-1=0$을 풀어야 합니다. 이 방정식을 인수 분해하면 다음과 같이 됩니다.

$$\left(\mathit{x}-1\right)\left({\mathit{x}}^2+\mathit{x}+1\right)=0.$$

따라서 첫 번째 세제곱근은 1입니다. 이제 2차 방정식의 근의 공식을 이용하여 두 번째와 세 번째 세제곱근을 구할 수 있습니다.

$$\mathit{x}=\frac{-\mathit{b}\pm \sqrt{{\mathit{b}}^2-4\mathrm{ac}}}{2\mathit{a}}$$

세제곱근 구하기

MATLAB 코드의 개별 섹션을 실행하려면 라이브 편집기 탭으로 이동하여 섹션 실행 버튼을 클릭하십시오. 출력값을 생성한 코드가 출력값과 함께 표시됩니다. 섹션 나누기 버튼을 사용하여 섹션을 생성하십시오.

이 예제에서 a, b, c는 모두 1입니다. 다른 2개의 근은 위의 공식으로 구할 수 있습니다.

a = 1 ; b = 1 ; c = 1;
roots = [];
roots(1) = 1;
roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula
roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

따라서 1의 세제곱근 전체 집합은 다음과 같습니다.

disp(roots')

   1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 + 0.8660i

복소 평면에 근 표시하기

학생들이 중요한 개념을 시각적으로 확인할 수 있도록 라이브 편집기에 플롯을 포함시키십시오.

각 근의 위치를 확인하기 위해 복소 평면에 근을 시각화할 수 있습니다.

range = 0:0.01:2*pi;                              
plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                 
axis square; box off
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold on
plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

높은 차수의 근 구하기

추가 정보를 제공하려면 삽입 탭으로 이동하여 하이퍼링크 버튼이나 이미지 버튼을 클릭하십시오. 학생들은 교실 밖에서 강의 주제를 탐구할 때 이 추가 정보를 활용할 수 있습니다.

$$n=3$$ 이상이 되면 근을 구하기가 훨씬 까다로워집니다. 4제곱근의 경우, 1540년 로도비코 페라리(Lodovico Ferrari)가 발견한 4차 공식을 사용할 수 있습니다. 하지만 이 공식은 길고 사용하기 힘들며, 5제곱근 이상을 구하는 데 도움이 되지 않습니다. 다행히도 17세기 프랑스 수학자 아브라암 드무아브르(Abraham de Moivre)가 더 효과적인 방법을 발견했습니다.

아브라암 드무아브르는 1667년 5월 26일 샹파뉴(Champagne)주의 비트리(Vitry)에서 태어났습니다. 그와 아이작 뉴턴, 에드먼드 핼리(Edmund Halley), 제임스 스털링(James Stirling)은 동시대에 활약한 친구들이었습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

드무아브르는 복소수와 삼각법을 연결한 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)뿐만 아니라 정규분포와 확률론에 대한 업적으로도 유명합니다. 그는 확률론에 대한 저서, The Doctrine of Chances를 집필하여 갬블러들의 찬사를 받았습니다. 드무아브르는 피보나치 수열(Fibonacci number)의 닫힌 형식을 표현하는 비네의 공식(Binet's formula)을 처음으로 발견했습니다(피보나치 수열의 닫힌 형식은 황금비 φ의 n번째 거듭제곱과 n번째 피보나치 수열을 연결함). 또한 그는 확률론의 초석이라고 할 수 있는 중심 극한 정리(Central Limit Theorem) 공준을 처음으로 만들었습니다.

드무아브르의 정리에서는 실수 x와 정수 n에 대해 다음이 성립한다고 명시하고 있습니다.

$${\left(\cos \mathit{x}+\mathit{i}\sin \mathit{x}\right)}^{\mathit{n}}=\cos \left(\mathrm{nx}\right)+\mathit{i}\sin \left(\mathrm{nx}\right).$$

높은 차수의 근을 구하는 데 이 공식이 어떻게 도움이 될까요? 정수 k에 대해 다음이 성립하는 건 자명합니다.

$$1=\cos \left(2\mathit{k}\pi \right)+\mathit{i}\sin \left(2\mathit{k}\pi \right).$$

따라서 드무아브르의 정리를 이용해 다음을 도출할 수 있습니다.

$$1^{1/\mathit{n}}={\left(\cos \left(2\mathit{k}\pi \right)+\mathit{i}\sin \left(2\mathit{k}\pi \right)\right)}^{1/\mathit{n}}=\cos \left(\frac{2\mathit{k}\pi }{\mathit{n}}\right)+\mathit{i}\sin \left(\frac{2\mathit{k}\pi }{\mathit{n}}\right).$$

1의 n제곱근 구하기

대화형 방식으로 MATLAB 코드를 시험하도록 라이브 편집기를 사용하십시오. 컨트롤을 추가하여 학생들에게 파라미터가 분석에 얼마나 중요한 영향을 미치는지를 보여줄 수 있습니다. 컨트롤을 추가하려면 라이브 편집기 탭으로 이동하여 컨트롤 버튼을 클릭한 다음 사용 가능한 옵션 중에서 선택하십시오.

위의 마지막 방정식을 사용하여 1의 n제곱근을 구할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 n 값이든 위 공식에 $\mathit{k}=0\dots \mathit{n}-1$ 값을 대입하여 사용할 수 있습니다. 아래 MATLAB 코드를 사용하여 여러 n 값을 시험해 볼 수 있습니다.

n = 6;
roots = zeros(1, n);
for k = 0:n-1
    roots(k+1) = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);    % Calculate the roots
end
disp(roots')

   1.0000 + 0.0000i
   0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
  -1.0000 - 0.0000i
  -0.5000 + 0.8660i
   0.5000 + 0.8660i

복소 평면에 근을 플로팅하면 근이 단위원 둘레에 $2\pi /\mathit{n}$ 간격마다 균일하게 표시됩니다.

cla
plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle
hold on
plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

-1, i, -i의 n제곱근 구하기

추가 예제를 사용하여 중요한 개념들을 보강하십시오. 강의 중 코드를 수정하여 질문에 답하거나 아이디어를 보다 심층적으로 탐색할 수 있습니다.

위에서 설명한 접근 방식을 확장하여 -1, i, -i의 근을 구할 수 있습니다. 단위원을 살펴보면 값 1, i, -1, -i가 각각 각도 $0$, $\pi /2$, $\pi$, $3\pi /2$에 표시된 것을 알 수 있습니다.

r = ones(1,4);
theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2];
[x,y] = pol2cart(theta,r);
cla
plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle
hold on
plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i
text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels
text(x(2),y(2)+0.1,'i')
text(x(3)-0.1,y(3),'-1')
text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

이 사실에 기반하여 i에 대해 다음과 같은 표현식을 작성할 수 있습니다.

$$\mathit{i}=\cos \left(\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi \right)+\mathit{i}\sin \left(\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi \right).$$

표현식 양쪽에 n제곱근을 취하면 다음과 같은 식이 됩니다.

$${\mathit{i}}^{1/\mathit{n}}={\left(\cos \left(\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi \right)+\mathit{i}\sin \left(\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi \right)\right)}^{1/\mathit{n}}$$

드무아브르의 정리를 이용해 다음을 도출할 수 있습니다.

$${\mathit{i}}^{1/\mathit{n}}={\left(\cos \left(\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi \right)+\mathit{i}\sin \left(\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi \right)\right)}^{1/\mathit{n}}=\cos \left(\frac{\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi }{\mathit{n}}\right)+\mathit{i}\sin \left(\frac{\left(2\mathit{k}+1/2\right)\pi }{\mathit{n}}\right).$$

과제

라이브 스크립트를 기반으로 수행해야 하는 과제를 내십시오. 강의에 사용한 라이브 스크립트를 학생들에게 제공하고, 학생들이 강의 내용을 얼마나 이해했는지 테스트하는 연습문제를 완료해 오도록 하십시오.

위에서 설명한 기법들을 사용하여 다음 연습문제를 완료하십시오.

연습문제 1: MATLAB 코드를 작성하여 i의 세제곱근을 구하십시오.

% Put your code here

연습문제 2: MATLAB 코드를 작성하여 -1의 5제곱근을 구하십시오.

% Put your code here

연습문제 3: 임의 복소수의 n제곱근을 구하는 데 사용할 수학적 접근 방법을 서술하십시오. 접근 방법에 사용되는 방정식도 적어 주십시오.

(여기에 접근 방법 서술.)

관련 항목

• 라이브 편집기에서 라이브 스크립트 만들기
• MATLAB Live Script Gallery