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pole

동적 시스템의 극점

구문

P = pole(sys)

P = pole(sys,J1,...,JN)

설명

P = pole(sys)는 SISO 또는 MIMO 동적 시스템 모델 sys의 극점을 반환합니다. 출력은 sys.TimeUnit에 지정된 시간 단위의 역수로 표현됩니다. 동적 시스템의 극점은 시스템의 안정성과 응답을 결정합니다.

개루프 선형 시불변 시스템은 다음과 같은 경우에 안정적입니다.

• 연속시간에서, 전달 함수의 모든 극점이 음의 실수부를 갖는 경우. 극점을 복소수 s 평면상에서 시각화했을 때 안정성을 보장하기 위해 모두 좌반면(LHP)에 있어야 합니다.

• 이산시간에서, 모든 극점이 1보다 엄격하게 작은 크기를 가져야 합니다. 즉, 모든 극점이 단위원 안에 있어야 합니다.

P = pole(sys,J1,...,JN)은 모델 배열 sys의 항목의 극점 P를 아래 첨자 (J1,...,JN)을 사용하여 반환합니다.

예제

이산시간 전달 함수의 극점

다음 이산시간 전달 함수의 극점을 계산합니다.

$$sys\left(z\right)=\frac{0.0478z-0.0464}{z^2-1.81z+0.9048}$$

sys = tf([0.04798 0.0464],[1 -1.81 0.9048],0.1);
P = pole(sys)

P = 2×1 complex

   0.9050 + 0.2929i
   0.9050 - 0.2929i

안정적인 이산 시스템의 경우, 모든 극점이 1보다 엄격하게 작은 크기를 가져야 합니다. 즉, 모든 극점이 단위원 안에 있어야 합니다. 이 예제의 극점은 켤레 복소수 쌍이며, 단위원 안에 있습니다. 따라서 시스템 sys는 안정적입니다.

전달 함수의 극점

다음 전달 함수의 극점을 계산합니다.

$$sys\left(s\right)=\frac{4.2s^2+0.25s-0.004}{s^2+9.6s+17}$$

sys = tf([4.2,0.25,-0.004],[1,9.6,17]);
P = pole(sys)

P = 2×1

   -7.2576
   -2.3424

안정적인 연속 시스템의 경우, 모든 극점이 음의 실수부를 가져야 합니다. sys는 극점이 음수이므로, 즉 복소 평면의 좌반면에 있으므로 안정적입니다.

배열에 있는 모델의 극점

이 예제에서는 역진자 모델로 구성된 3×3 배열을 포함하는 invertedPendulumArray.mat를 불러옵니다. sys에서 한 열을 따라 모델을 변경하면 진자의 질량이 달라지고 한 행을 따라 모델을 변경하면 진자의 길이가 달라집니다. 사용된 질량 값은 100g, 200g, 300g이고 사용된 진자 길이는 3m, 2m, 1m입니다.

$$\begin{array}{cccc}& Column1& Column2& Column3\\ Row1& 100g,3m& 100g,2m& 100g,1m\\ Row2& 200g,3m& 200g,2m& 200g,1m\\ Row3& 300g,3m& 300g,2m& 300g,1m\end{array}$$

load('invertedPendulumArray.mat','sys');
size(sys)

3x3 array of transfer functions.
Each model has 1 outputs and 1 inputs.

모델 배열의 극점을 찾습니다.

P = pole(sys);
P(:,:,2,1)

ans = 3×1

    2.1071
   -2.1642
   -0.1426

P(:,:,2,1)은 진자의 무게가 200g이고 길이가 3m인 모델의 극점에 해당합니다.

입력 인수

sys — 동적 시스템

동적 시스템 모델 | 모델 배열

동적 시스템으로, SISO 또는 MIMO 동적 시스템 모델이나 SISO 또는 MIMO 동적 시스템 모델로 구성된 배열로 지정됩니다. 사용 가능한 동적 시스템에는 tf (Control System Toolbox), zpk (Control System Toolbox) 또는 ss (Control System Toolbox) 모델과 같은 연속시간 또는 이산시간 수치적 LTI 모델이 포함됩니다.

sys가 일반화된 상태공간 모델 genss 또는 불확실 상태공간 모델 uss인 경우 pole은 sys의 현재 값 또는 공칭 값의 극점을 반환합니다. sys가 모델로 구성된 배열인 경우 pole은 sys에서 아래 첨자 J1,...,JN에 대응하는 모델의 극점을 반환합니다. 모델 배열에 대한 자세한 내용은 모델 배열 (Control System Toolbox) 항목을 참조하십시오.

J1,...,JN — 배열에서 그 극점을 추출하려는 모델의 인덱스

양의 정수

배열에서 그 극점을 추출하려는 모델의 인덱스로, 양의 정수로 지정됩니다. sys의 배열 차원 개수만큼 인덱스를 제공할 수 있습니다. 예를 들어, sys가 동적 시스템 모델로 구성된 4×5 배열인 경우 다음 명령은 배열의 요소 (2,3)에 대한 극점을 추출합니다.

P = pole(sys,2,3);

출력 인수

P — 동적 시스템의 극점

열 벡터 | 배열

동적 시스템의 극점으로, 스칼라 또는 배열로 반환됩니다. sys가

• 단일 모델인 경우, P는 동적 시스템 모델 sys의 극점으로 구성된 열 벡터입니다.

• 모델 배열인 경우, P는 sys의 각 모델의 극점으로 구성된 배열입니다.

P는 sys.TimeUnit에 지정된 시간 단위의 역수로 표현됩니다. 예를 들어, sys.TimeUnit = 'minutes'이면 극점은 1/분으로 표현됩니다.

극점은 시스템 모델의 유형에 따라 다음과 같은 방법으로 계산됩니다.

• 상태공간 모델의 경우, 극점은 A 행렬의 고유값 또는 설명자의 경우 A – λE의 일반 고유값입니다.

• SISO 전달 함수 또는 영점-극점-이득 모델의 경우, 극점은 분모의 근입니다. 자세한 내용은 roots를 참조하십시오.

• MIMO 전달 함수(또는 영점-극점-이득 모델)의 경우, 극점은 각 SISO 항목에 대한 극점의 합집합으로 반환됩니다. 공통 분모를 갖는 I/O 쌍이 있는 경우 해당 I/O 쌍 분모의 근은 한 번만 산정됩니다.

제한 사항

• 여러 극점은 수치적으로 민감하며 높은 정확도로 계산될 수 없습니다. 중복도가 m인 극점 λ는 일반적으로 중심이 λ이고 반지름이 다음과 같은 차원을 갖는 원 위에 분포된, 계산된 극점으로 이루어진 군집을 야기합니다.

  $$\rho \approx {\epsilon }^{1/m},$$

  여기서 ε은 상대 기계 정밀도(eps)입니다.

  여러 극점에 대한 자세한 내용은 Sensitivity of Multiple Roots (Control System Toolbox) 항목을 참조하십시오.

• sys에 내부 지연이 있는 경우 먼저 시스템이 유한한 개수의 극점을 갖도록 모든 내부 지연을 0으로 설정하여 0차 파데 근사를 생성함으로써 극점이 구해집니다. 일부 시스템의 경우 지연을 0으로 설정하면 특이 대수 루프가 생성되고, 이는 올바르지 않거나 정의되지 않은 0지연 근사를 야기합니다. 이러한 시스템의 경우 pole은 오류를 반환합니다.

  내부 지연이 있는 모델의 안정성을 평가하려면 step 또는 impulse를 사용하십시오.

버전 내역

R2012a에 개발됨

참고 항목

damp | pzmap | zero | step | impulse | pzplot

도움말 항목

• 극점 및 영점 위치 (Control System Toolbox)
• Sensitivity of Multiple Roots (Control System Toolbox)

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