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pade

시간 지연이 있는 모델의 파데 근사

    설명

    pade는 연속시간 LTI 모델의 시간 지연을 근사합니다. 이러한 근사는 연속시간 시스템이라는 맥락에서 전송 및 계산 지연과 같은 시간 지연 효과를 모델링하는 데 유용합니다. 시간 지연 T초의 라플라스 변환은 (–sT)입니다. 이 지수 전달 함수는 [1]의 파데 근사식을 사용하여 유리 전달 함수로 근사됩니다.

    이산시간 모델을 근사하려면 absorbDelay를 사용하십시오.

    시간 지연이 있는 모델에 대한 자세한 내용은 Time Delays in Linear Systems 항목을 참조하십시오.

    예제

    [num,den] = pade(T,N)은 시간 지연 TN차 파데 근사를 전달 함수 형식으로 반환합니다. 출력 행 벡터 numden은 s의 거듭제곱 내림차순으로 정렬된 분자 계수와 분모 계수를 포함합니다. numdenN차 다항식입니다.

    예제

    pade(T,N)N차 파데 근사의 계단 응답과 위상 응답을 플로팅하고 이를 시간 지연 T를 갖는 모델의 정확한 응답과 비교합니다. 결과로 얻은 파데 근사는 모든 주파수에서 단위 이득을 갖습니다.

    예제

    sysx = pade(sys,N)은 연속시간 지연 시스템 sys의 지연 없는 근사 sysx를 생성합니다. 모든 지연은 N차 파데 근사로 대체됩니다.

    예제

    sysx = pade(sys,NU,NY,NINT)는 벡터 NU, NY, NINT를 사용하여 각각의 입력, 출력, I/O 또는 내부 지연에 대해 독립적인 근사 차수를 지정합니다. NU, NY 또는 NINT에 대해 스칼라 값을 사용하여 균일한 근사 차수를 지정할 수 있습니다. NU, NY 또는 NINT의 일부 항목을 Inf로 설정하여 대응하는 지연이 근사되지 않도록 할 수도 있습니다.

    예제

    모두 축소

    이 예제에서는 2차 시스템의 1.8초 시간 지연에 대해 지연 없는 분자 계수와 분모 계수를 계산합니다.

    T = 1.8;
    N = 2;
    [num,den] = pade(T,N)
    num = 1×3
    
        1.0000   -3.3333    3.7037
    
    
    den = 1×3
    
        1.0000    3.3333    3.7037
    
    

    또한 지연 없는 근사와 시간 지연이 있는 원래 시스템의 계단 응답과 위상 응답을 플로팅할 수 있습니다. pade 명령을 출력 인수 없이 사용하여 비교 플롯을 생성합니다.

    pade(T,N)

    Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pade approximation of order 2: step response comparison contains 2 objects of type line. These objects represent Pade approximation, Pure delay. Axes object 2 with title Phase response comparison contains 2 objects of type line.

    이 예제에서는 다음 연속시간 개루프 시스템의 파데 근사를 구합니다.

    example1_open_loop.png

    출력 지연이 있는 개루프 시스템을 만듭니다.

    s = tf('s');
    T = 2.6;
    sys = exp(-T*s)/(s^2+0.9*s+1)
    sys =
     
                           1
      exp(-2.6*s) * ---------------
                    s^2 + 0.9 s + 1
     
    Continuous-time transfer function.
    

    sys는 시간 지연이 있는 2차 전달 함수(tf) 객체입니다.

    다음으로, sys의 1차 파데 근사를 계산합니다.

    sysx = pade(sys,1)
    sysx =
     
                 -s + 0.7692
      ----------------------------------
      s^3 + 1.669 s^2 + 1.692 s + 0.7692
     
    Continuous-time transfer function.
    

    padesys의 모든 시간 지연을 1차 근사로 바꿉니다. 따라서 sysx는 지연 없는 3차 전달 함수입니다.

    또한 지연 없는 근사 모델과 시간 지연이 있는 모델의 계단 응답과 위상 응답을 플로팅하고 비교할 수 있습니다. 시간 지연 값과 차수 값을 사용하여 플롯을 만듭니다.

    pade(T,1)

    Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pade approximation of order 1: step response comparison contains 2 objects of type line. These objects represent Pade approximation, Pure delay. Axes object 2 with title Phase response comparison contains 2 objects of type line.

    0.1초의 I/O 지연으로 3차 파데 근사를 계산합니다.

    s = tf('s');
    sys = exp(-0.1*s);    
    sysx = pade(sys,3)
    sysx =
     
      -s^3 + 120 s^2 - 6000 s + 1.2e05
      --------------------------------
      s^3 + 120 s^2 + 6000 s + 1.2e05
     
    Continuous-time transfer function.
    

    여기서 sys는 정확한 시간 지연 0.1초의 동적 시스템 표현입니다. sysx는 지연을 근사하는 전달 함수입니다.

    실제 지연과 그 근사의 시간 및 주파수 응답을 비교합니다. pade 명령을 출력 인수 없이 호출하면 비교 플롯이 생성됩니다. 여기서 pade의 첫 번째 인수는 시간 지연을 나타내는 동적 시스템이 아니라 정확한 시간 지연의 크기입니다.

    pade(0.1,3)

    Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pade approximation of order 3: step response comparison contains 2 objects of type line. These objects represent Pade approximation, Pure delay. Axes object 2 with title Phase response comparison contains 2 objects of type line.

    이 예제에서는 ssModel.mat에 포함된 MIMO 상태공간 모델 sys가 있다고 가정하겠습니다. sys는 2개의 입력과 3개의 출력을 가지며 입력 지연, 출력 지연, 내부 지연을 포함합니다.

    데이터를 불러와서 sys를 살펴봅니다.

    load('ssModel.mat','sys')
    sys
    sys =
     
      A = 
                x1       x2
       x1    2.893    1.497
       x2  -0.1138  -0.5279
     
      B = 
                 u1        u2
       x1    -1.334    -4.155
       x2     1.127  -0.06161
     
      C = 
                x1       x2
       y1   -2.416  -0.6317
       y2    1.688    1.063
       y3    3.509     1.84
     
      D = 
               u1      u2
       y1   1.019   1.999
       y2       0  -3.658
       y3       0  -5.885
     
      (values computed with all internal delays set to zero)
    
      Input delays (seconds): 1.5  0.3 
      Output delays (seconds): 0.2  0.8  1.3 
      Internal delays (seconds): 2.1  1.3 
     
    Continuous-time state-space model.
    

    입력 지연, 출력 지연, 내부 지연에 대한 근사 차수를 지정하고 파데 근사를 계산합니다. 해당 지연의 근사를 방지하려면 근사 차수를 Inf로 설정합니다.

    NU = [3 Inf];
    NY = [1 Inf 2];
    NINT = [Inf 2];
    sysx = pade(sys,NU,NY,NINT)
    sysx =
     
      A = 
                 x1       x2       x3       x4       x5       x6       x7
       x1       -10        0        0   -9.665   -2.527   -7.305        0
       x2         0   -4.615    -3.55    14.04    7.358    21.51        0
       x3         0        2        0        0        0        0        0
       x4         0        0        0    2.893    1.497    4.115        0
       x5         0        0        0  -0.1138  -0.5279  -0.2169        0
       x6         0        0        0   -8.011   -3.193   -4.615    -3.55
       x7         0        0        0        0        0        2        0
       x8         0        0        0        0        0        0        0
       x9         0        0        0        0        0        0        0
       x10        0        0        0        0        0        0        0
     
                 x8       x9      x10
       x1      16.3        0    4.527
       x2         0        0        0
       x3         0        0        0
       x4    -5.335        0   -1.482
       x5      4.51        0    1.253
       x6         0        0        0
       x7         0        0        0
       x8        -8   -6.667   -2.222
       x9         4        0        0
       x10        0        4        0
     
      B = 
                  u1        u2
       x1     -4.075     7.996
       x2          0    -23.54
       x3          0         0
       x4      1.334    -4.155
       x5     -1.127  -0.06161
       x6          0      10.1
       x7          0         0
       x8          4         0
       x9          0         0
       x10         0         0
     
      C = 
               x1      x2      x3      x4      x5      x6      x7      x8
       y1       5       0       0   2.416  0.6317   1.826       0  -4.075
       y2       0       0       0   1.688   1.063   3.074       0       0
       y3       0  -2.308       0   3.509    1.84   5.377       0       0
     
               x9     x10
       y1       0  -1.132
       y2       0       0
       y3       0       0
     
      D = 
               u1      u2
       y1   1.019  -1.999
       y2       0  -3.658
       y3       0  -5.885
     
      (values computed with all internal delays set to zero)
    
      Input delays (seconds): 0  0.3 
      Output delays (seconds): 0  0.8  0 
      Internal delays (seconds): 2.1 
     
    Continuous-time state-space model.
    

    그 결과로 얻은 근사 sysx에는 여전히 특정 입력 지연, 출력 지연, 내부 지연이 있으며 여기서 해당 근사 차수는 Inf입니다.

    입력 인수

    모두 축소

    시간 지연 값으로, 양의 스칼라로 지정됩니다. 0 지연(T = 0)의 파데 근사는 항상 단위 이득입니다.

    연속시간 근사 모델의 원하는 차수로, 양의 정수로 지정됩니다.

    시간 지연이 있는 동적 시스템으로, SISO 또는 MIMO 동적 시스템 모델로 지정됩니다. 사용 가능한 동적 시스템에는 다음이 포함됩니다.

    • 연속시간 LTI 모델(예: tf, zpk, ss 모델).

    • 희소 모델(예: sparssmechss 모델).

    • 일반화된 모델 또는 불확실 LTI 모델(예: genss, uss (Robust Control Toolbox) 모델). (불확실 모델을 사용하려면 Robust Control Toolbox™ 라이선스가 필요합니다.)

      그 결과로 얻은 모델은 다음을 가정합니다.

      • 조정 가능한 제어 설계 블록의 경우 조정 가능한 구성요소의 현재 값

      • 불확실한 제어 설계 블록의 경우 공칭 모델 값

    • 주파수 응답 frd 모델. 주파수 응답 모델의 경우 delay2z 명령을 사용하여 근사 없이 지연을 주파수 응답에 흡수시킵니다.

    이산시간 모델의 경우 absorbDelay를 사용합니다.

    입력 채널에 대한 근사 차수로, 다음으로 지정됩니다.

    • 스칼라 - 모든 입력에 대해 동일한 근사 차수를 사용합니다.

    • 벡터 - 입력별로 개별적인 근사 차수 값을 지정합니다. 특정 입력에 대해 Inf를 사용하여 해당 지연의 근사를 방지할 수 있습니다.

    출력 채널에 대한 근사 차수로, 다음으로 지정됩니다.

    • 스칼라 - 모든 출력에 대해 동일한 근사 차수를 사용합니다.

    • 벡터 - 출력별로 개별적인 근사 차수 값을 지정합니다. 특정 출력에 대해 Inf를 사용하여 해당 지연의 근사를 방지할 수 있습니다.

    I/O 지연(전달 함수 또는 영점-극점-이득 모델) 또는 내부 지연(상태공간 모델)에 대한 근사 차수로, 다음으로 지정됩니다.

    • 스칼라 - 모든 I/O 지연 또는 내부 지연에 대해 동일한 근사 차수를 사용합니다.

    • 벡터 - I/O 지연 또는 내부 지연별로 개별적인 근사 차수 값을 지정합니다. 특정 I/O에 대해 Inf를 사용하여 해당 지연의 근사를 방지할 수 있습니다.

    출력 인수

    모두 축소

    지연 없는 전달 함수의 분자 계수로, 행 벡터로 반환됩니다.

    지연 없는 전달 함수의 분모 계수로, 행 벡터로 반환됩니다.

    파데 근사화된 시스템으로, sys와 동일한 유형의 모델 객체로 반환됩니다.

    제한 사항

    • 파데 근사는 낮은 주파수에서만 유효하며 시간 영역 근사보다 더 나은 주파수 영역 근사를 제공합니다. 따라서 실제 응답과 근사 응답을 비교하여 올바른 근사 차수를 선택하고 근사의 유효성을 검사하십시오.

    • 고차 파데 근사는 군집화된 극점을 갖는 전달 함수를 생성합니다. 이러한 극점 구성은 섭동에 매우 민감하기 마련이므로, 차수가 N>10인 파데 근사는 피하십시오.

    참고 문헌

    [1] Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. 2nd ed. Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences 3. Baltimore, Md: Johns Hopkins University Press, 1989. pp. 557-558.

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