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bernoulli

베르누이 수와 베르누이 다항식

구문

bernoulli(n)

bernoulli(n,x)

설명

bernoulli(n)은 n번째 베르누이 수를 반환합니다.

bernoulli(n,x)는 n번째 베르누이 다항식을 반환합니다.

예제

홀수 및 짝수 인덱스를 갖는 베르누이 수

0번째 베르누이 수는 1입니다. 다음 베르누이 수는 정의에 따라 -1/2 또는 1/2이 될 수 있습니다. bernoulli 함수는 -1/2을 사용합니다. 짝수 인덱스 n > 1을 갖는 베르누이 수는 부호가 교대로 바뀝니다. 홀수 인덱스 n > 2를 갖는 모든 베르누이 수는 0입니다.

인덱스 0부터 10까지 짝수 인덱스를 갖는 베르누이 수를 계산합니다. 이러한 인덱스는 기호 객체가 아니므로 bernoulli는 부동소수점 결과를 반환합니다.

bernoulli(0:2:10)

ans =
    1.0000    0.1667   -0.0333    0.0238   -0.0333    0.0758

기호 객체로 변환된 인덱스에 대해 동일한 베르누이 수를 계산합니다.

bernoulli(sym(0:2:10))

ans =
[ 1, 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66]

인덱스 1부터 11까지 홀수 인덱스를 갖는 베르누이 수를 계산합니다.

bernoulli(sym(1:2:11))

ans =
[ -1/2, 0, 0, 0, 0, 0]

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 경우, 2개의 입력 인수를 갖는 bernoulli를 사용하십시오.

변수가 각각 x, y, z인 첫 번째, 두 번째, 세 번째 베르누이 다항식을 계산합니다.

syms x y z
bernoulli(1, x)
bernoulli(2, y)
bernoulli(3, z)

ans =
x - 1/2
 
ans =
y^2 - y + 1/6
 
ans =
z^3 - (3*z^2)/2 + z/2

두 번째 인수가 숫자인 경우 bernoulli는 이 숫자에서 다항식을 계산합니다. 여기서, 입력 인수가 기호 숫자가 아니므로 결과는 부동소수점 숫자입니다.

bernoulli(2, 1/3)

ans =
   -0.0556

정확한 기호 결과를 얻으려면 적어도 하나의 숫자를 기호 객체로 변환하십시오.

bernoulli(2, sym(1/3))

ans =
-1/18

베르누이 다항식 플로팅하기

처음 여섯 개의 베르누이 다항식을 플로팅합니다.

syms x
fplot(bernoulli(0:5, x), [-0.8 1.8])
title('Bernoulli Polynomials')
grid on

베르누이 다항식을 포함하는 표현식 처리하기

diff, expand와 같은 여러 함수는 bernoulli를 포함하는 표현식을 처리할 수 있습니다.

베르누이 다항식의 1계 도함수와 2계 도함수를 구합니다.

syms n x
diff(bernoulli(n,x^2), x)

ans =
2*n*x*bernoulli(n - 1, x^2)

diff(bernoulli(n,x^2), x, x)

ans =
2*n*bernoulli(n - 1, x^2) +...
4*n*x^2*bernoulli(n - 2, x^2)*(n - 1)

베르누이 다항식을 포함하는 다음 표현식을 전개합니다.

expand(bernoulli(n, x + 3))

ans =
bernoulli(n, x) + (n*(x + 1)^n)/(x + 1) +...
(n*(x + 2)^n)/(x + 2) + (n*x^n)/x

expand(bernoulli(n, 3*x))

ans =
(3^n*bernoulli(n, x))/3 + (3^n*bernoulli(n, x + 1/3))/3 +...
(3^n*bernoulli(n, x + 2/3))/3

입력 인수

n — 베르누이 수 또는 베르누이 다항식의 인덱스

음이 아닌 정수 | 음이 아닌 기호 정수 | 기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬

베르누이 수 또는 베르누이 다항식의 인덱스로, 음이 아닌 정수, 음이 아닌 기호 정수, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다. n이 벡터 또는 행렬이면 bernoulli는 n의 각 요소에 대해 베르누이 수 또는 베르누이 다항식을 반환합니다. 하나의 입력 인수가 스칼라이고 다른 인수는 벡터 또는 행렬인 경우 bernoulli(n,x)는 스칼라를 다른 인수와 동일한 크기의 벡터 또는 행렬로 확장하는데 이때 모든 요소는 해당 스칼라의 값을 갖습니다.

x — 다항식 변수

기호 변수 | 기호 표현식 | 기호 함수 | 기호 벡터 | 기호 행렬

다항식 변수로, 기호 변수, 기호 표현식, 기호 함수, 기호 벡터 또는 기호 행렬로 지정됩니다. x가 벡터 또는 행렬이면 bernoulli는 x의 각 요소에 대해 베르누이 수 또는 베르누이 다항식을 반환합니다. bernoulli 함수를 사용하여 베르누이 다항식을 구할 경우 적어도 하나의 인수는 스칼라여야 합니다. 그렇지 않으면 두 인수가 동일한 크기의 벡터 또는 행렬이어야 합니다. 하나의 입력 인수가 스칼라이고 다른 인수는 벡터 또는 행렬인 경우 bernoulli(n,x)는 스칼라를 다른 인수와 동일한 크기의 벡터 또는 행렬로 확장하는데 이때 모든 요소는 해당 스칼라의 값을 갖습니다.

세부 정보

베르누이 다항식

베르누이 다항식은 다음과 같이 정의됩니다.

$$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathrm{bernoulli}\left(n,x\right)\frac{t^n}{n!}}$$

베르누이 수

베르누이 수는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\mathrm{bernoulli}\left(n\right)=\mathrm{bernoulli}\left(n,0\right)$$

버전 내역

R2014a에 개발됨

참고 항목

euler