zscore

표준화된 z-점수

구문

Z = zscore(X)

Z = zscore(X,flag)

Z = zscore(X,flag,'all')

Z = zscore(X,flag,dim)

Z = zscore(X,flag,vecdim)

[Z,mu,sigma] = zscore(___)

설명

Z = zscore(X)는 X의 각 요소에 대한 z-점수를 반환합니다. X의 열은 평균 0을 갖도록 중심화되고 표준편차 1을 갖도록 크기가 조정됩니다. 즉, 정규화됩니다. Z는 X와 크기가 같습니다.

• X가 벡터이면 Z는 z-점수로 구성된 벡터입니다.

• X가 행렬이면 Z는 X와 같은 크기의 행렬이고, Z의 각 열은 평균이 0이고 표준편차가 1입니다.

• 다차원 배열의 경우 Z의 z-점수는 X의 첫 번째 비한원소 차원을 따라 계산됩니다.

Z = zscore(X,flag)는 flag가 지시하는 표준편차를 사용하여 X의 크기를 조정합니다.

• flag가 0(디폴트 값)이면 zscore가 표준편차 공식의 분모를 n - 1로 하고 표본 표준편차를 사용하여 X의 크기를 조정합니다. zscore(X,0)은 zscore(X)와 같습니다.

• flag가 1이면 zscore가 표준편차 공식의 분모를 n으로 하고 모집단 표준편차를 사용하여 X의 크기를 조정합니다.

Z = zscore(X,flag,'all')은 X에 포함된 모든 값에 대한 평균 및 표준편차를 사용하여 X를 표준화합니다.

Z = zscore(X,flag,dim)은 연산 차원 dim을 따라 X를 표준화합니다. 예를 들어, 행렬 X에 대해 dim = 1이면 zscore는 X의 열을 따라 평균과 표준편차를 사용하고, dim = 2이면 zscore는 X의 행을 따라 평균과 표준편차를 사용합니다.

Z = zscore(X,flag,vecdim)은 벡터 vecdim으로 지정된 차원을 따라 X를 표준화합니다. 예를 들어, X가 행렬이면 행렬의 모든 요소가 차원 1과 차원 2로 정의된 배열 슬라이스에 포함되기 때문에 zscore(X,0,[1 2])는 zscore(X,0,'all')과 같습니다.

[Z,mu,sigma] = zscore(___)는 정규화에 사용되는 평균과 표준편차를 각각 mu와 sigma로 반환합니다. 위에 열거된 구문의 모든 입력 인수와 사용할 수 있습니다.

예제

두 데이터 벡터의 Z-점수

두 데이터 벡터의 $$z$$-점수를 계산하고 플로팅한 후 결과를 비교합니다.

표본 데이터를 불러옵니다.

load lawdata

두 변수 gpa와 lsat가 작업 공간에 들어옵니다.

동일한 좌표축에 두 변수를 모두 플로팅합니다.

plot([gpa,lsat])
legend('gpa','lsat','Location','East')

이 두 측정값은 척도가 매우 다르므로 비교하기가 어렵습니다.

gpa와 lsat의 $$z$$-점수를 동일한 좌표축에 플로팅합니다.

Zgpa = zscore(gpa);
Zlsat = zscore(lsat);
plot([Zgpa, Zlsat])
legend('gpa z-scores','lsat z-scores','Location','Northeast')

이제, gpa 결과 및 lsat 결과와 관련하여 개인의 상대적인 성과를 볼 수 있습니다. 예를 들어, 세 번째 개인의 gpa 결과와 lsat 결과는 모두 표본평균보다 1 표준편차 아래에 있습니다. 11번째 개인의 gpa는 표본평균에 가깝지만, lsat 점수는 표본평균보다 거의 1.25 표준편차 위에 있습니다.

생성한 $$z$$-점수의 평균과 표준편차를 확인합니다.

 mean([Zgpa,Zlsat])

ans = 1×2
10-14 ×

   -0.1088    0.0357

 std([Zgpa,Zlsat])

ans = 1×2

     1     1

정의에 따라 gpa 및 lsat의 $$z$$-점수는 평균이 0이고 표준편차가 1입니다.

표본에 대한 모집단의 Z-점수

표본 데이터를 불러옵니다.

load lawdata

두 변수 gpa와 lsat가 작업 공간에 들어옵니다.

모집단 표준편차 공식을 사용하여 gpa의 $$z$$-점수를 계산합니다.

Z1 = zscore(gpa,1); % population formula
Z0 = zscore(gpa,0); % sample formula
disp([Z1 Z0])

    1.2554    1.2128
    0.8728    0.8432
   -1.2100   -1.1690
   -0.2749   -0.2656
    1.4679    1.4181
   -0.1049   -0.1013
   -0.4024   -0.3888
    1.4254    1.3771
    1.1279    1.0896
    0.1502    0.1451
    0.1077    0.1040
   -1.5076   -1.4565
   -1.4226   -1.3743
   -0.9125   -0.8815
   -0.5724   -0.5530

모집단에서 추출한 표본의 경우, 분모로 $$n$$을 갖는 모집단 표준편차 공식은 모집단 표준편차의 최대가능도 추정값에 대응되고 편향적일 수 있습니다. 반면, 표본 표준편차 공식은 표본에 대한 모집단 표준편차의 무편향 추정량입니다.

데이터 행렬의 Z-점수

데이터 행렬의 열 또는 행을 따라 계산된 평균 및 표준편차를 사용하여 $$z$$-점수를 계산합니다.

표본 데이터를 불러옵니다.

load flu

dataset형 배열 flu가 작업 공간에 들어옵니다. flu는 11개 변수에 대한 52개의 관측값을 가집니다. 첫 번째 변수는 날짜(단위: 주)를 포함합니다. 나머지 변수는 미국의 여러 지역에 대한 독감 추정값을 포함합니다.

dataset형 배열을 데이터 행렬로 변환합니다.

flu2 = double(flu(:,2:end));

새 데이터 행렬 flu2는 52×10 double형 데이터 행렬입니다. 데이터 세트 배열 flu에서 행은 주에 대응되고 열은 미국 지역에 대응됩니다.

각 지역(flu2의 열)에 대한 독감 추정값을 표준화합니다.

Z1 = zscore(flu2,[ ],1);

작업 공간에 생성된 행렬 Z1을 더블 클릭하여 변수 편집기에서 $$z$$-점수를 확인할 수 있습니다.

각 주(flu2의 행)에 대한 독감 추정값을 표준화합니다.

Z2 = zscore(flu2,[ ],2);

다차원 배열의 Z-점수

여러 차원을 따라 데이터를 표준화하도록 지정하여 다차원 배열의 z-점수를 구합니다. 'all', dim, vecdim 입력 인수를 사용하는 경우의 결과를 비교합니다.

3×4×2 배열을 생성합니다.

X = reshape(1:24,[3 4 2])

X = 
X(:,:,1) =

     1     4     7    10
     2     5     8    11
     3     6     9    12


X(:,:,2) =

    13    16    19    22
    14    17    20    23
    15    18    21    24

X에 포함된 모든 값에 대한 평균 및 표준편차를 사용하여 X를 표준화합니다.

Zall = zscore(X,0,'all')

Zall = 
Zall(:,:,1) =

   -1.6263   -1.2021   -0.7778   -0.3536
   -1.4849   -1.0607   -0.6364   -0.2121
   -1.3435   -0.9192   -0.4950   -0.0707


Zall(:,:,2) =

    0.0707    0.4950    0.9192    1.3435
    0.2121    0.6364    1.0607    1.4849
    0.3536    0.7778    1.2021    1.6263

결과로 생성되는, z-점수로 구성된 다차원 배열은 평균이 0이고 표준편차가 1입니다. 예를 들어, Zall의 평균 및 표준편차를 계산합니다.

mZall = mean(Zall(:,:,:),'all')

mZall = -9.2519e-18

sZall = std(Zall(:,:,:),0,'all')

sZall = 1.0000

이제, 두 번째 차원을 따라 X를 표준화합니다.

Zdim = zscore(X,0,2)

Zdim = 
Zdim(:,:,1) =

   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619


Zdim(:,:,2) =

   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619

Zdim의 각 페이지에서 각 행의 요소는 평균이 0이고 표준편차가 1입니다. 예를 들어, Zdim의 두 번째 페이지에서 첫 번째 행의 평균 및 표준편차를 계산합니다.

mZdim = mean(Zdim(1,:,2),'all')

mZdim = 0

sZdim = std(Zdim(1,:,2),0,'all')

sZdim = 1

마지막으로, 두 번째 차원과 세 번째 차원을 기준으로 X를 표준화합니다.

Zvecdim = zscore(X,0,[2 3])

Zvecdim = 
Zvecdim(:,:,1) =

   -1.4289   -1.0206   -0.6124   -0.2041
   -1.4289   -1.0206   -0.6124   -0.2041
   -1.4289   -1.0206   -0.6124   -0.2041


Zvecdim(:,:,2) =

    0.2041    0.6124    1.0206    1.4289
    0.2041    0.6124    1.0206    1.4289
    0.2041    0.6124    1.0206    1.4289

각 Zvecdim(i,:,:) 슬라이스의 요소는 평균이 0이고 표준편차가 1입니다. 예를 들어, Zvecdim(1,:,:)에 포함된 요소의 평균과 표준편차를 계산해 봅니다.

mZvecdim = mean(Zvecdim(1,:,:),'all')

mZvecdim = 2.7756e-17

sZvecdim = std(Zvecdim(1,:,:),0,'all')

sZvecdim = 1

Z-점수, 평균, 표준편차

$$z$$-점수를 계산하는 데 사용된 평균과 표준편차를 반환합니다.

표본 데이터를 불러옵니다.

load lawdata

두 변수 gpa와 lsat가 작업 공간에 들어옵니다.

gpa의 $$z$$-점수, 평균, 표준편차를 반환합니다.

[Z,gpamean,gpastdev] = zscore(gpa)

Z = 15×1

    1.2128
    0.8432
   -1.1690
   -0.2656
    1.4181
   -0.1013
   -0.3888
    1.3771
    1.0896
    0.1451
      ⋮

gpamean = 3.0947

gpastdev = 0.2435

입력 인수

X — 입력 데이터

벡터 | 행렬 | 다차원 배열

입력 데이터로, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 지정됩니다.

데이터형: double | single

flag — 표준편차를 지시하는 표시자

0 (디폴트 값) | 1

z-점수를 계산하는 데 사용되는 표준편차를 지시하는 표시자로, 0 또는 1로 지정됩니다.

• flag가 0(디폴트 값)이면 zscore가 표본 표준편차를 사용하여 X의 크기를 조정합니다. zscore(X,0)은 zscore(X)와 같습니다.

• flag가 1이면 zscore가 모집단 표준편차를 사용하여 X의 크기를 조정합니다.

dim — 차원

양의 정수 스칼라

X의 z-점수를 계산할 차원으로, 양의 정수 스칼라로 지정됩니다. 값을 지정하지 않으면 디폴트 값은 크기가 1이 아닌 첫 번째 배열 차원이 됩니다.

예를 들어, 행렬 X에 대해 dim = 1이면 zscore는 X의 열을 따라 평균과 표준편차를 사용하고, dim = 2이면 zscore는 X의 행을 따라 평균과 표준편차를 사용합니다.

vecdim — 차원의 벡터

양의 정수 벡터

X의 z-점수를 계산할 차원으로 구성된 벡터로, 양의 정수 벡터로 지정됩니다. vecdim의 각 요소는 입력 배열 X의 차원을 나타냅니다. 출력값 Z는 X와 동일한 차원을 가지지만, 평균 mu 및 표준편차 sigma는 각각 연산 차원에서 길이가 1입니다. 다른 차원 길이는 X, mu, sigma에서 같습니다.

예를 들어, X가 2×3×3 배열이면 zscore(X,0,[1 2])는 X의 페이지를 따라 평균 및 표준편차를 사용하여 X의 값을 표준화합니다.

데이터형: single | double

출력 인수

Z — z-점수

벡터 | 행렬 | 다차원 배열

z-점수로, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 반환됩니다. Z는 X와 동일한 차원을 가집니다.

Z의 값은 사용자가 'all', dim 또는 vecdim 중 무엇을 지정하는지에 따라 달라집니다. 이러한 입력 인수를 지정하지 않을 경우 다음 조건이 적용됩니다.

• X가 벡터이면 Z는 평균이 0이고 분산이 1인 z-점수로 구성된 벡터입니다.

• X가 배열이면 zscore는 X의 첫 번째 비한원소 차원을 따라 표준화합니다.

'all', dim, vecdim을 사용할 때 Z의 차이를 보여주는 예는 다차원 배열의 Z-점수 항목을 참조하십시오.

mu — 평균

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

z-점수를 계산하는 데 사용되는 X의 평균으로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 반환됩니다. mu는 지정된 연산 차원에서 길이가 1입니다. 다른 차원 길이는 X 및 mu에서 같습니다.

예를 들어, X가 2×3×3 배열이고 vecdim이 [1 2]이면 mu는 평균으로 구성된 1×1×3 배열입니다. mu의 각 값은 X의 페이지의 평균에 해당합니다.

sigma — 표준편차

스칼라 | 벡터 | 행렬 | 다차원 배열

z-점수를 계산하는 데 사용되는 X의 표준편차로, 스칼라, 벡터, 행렬 또는 다차원 배열로 반환됩니다. sigma는 지정된 연산 차원에서 길이가 1입니다. 다른 차원 길이는 X 및 sigma에서 같습니다.

예를 들어, X가 2×3×3 배열이고 vecdim이 [1 2]이면 sigma는 표준편차로 구성된 1×1×3 배열입니다. sigma의 각 값은 X의 페이지의 표준편차에 해당합니다.

세부 정보

Z-점수

평균 μ 및 표준편차 σ를 갖는 확률 변수 X에 대해 값 x의 z-점수는 다음과 같습니다.

$$z=\frac{\left(x-\mu \right)}{\sigma }.$$

평균 $$\overline{X}$$ 및 표준편차 S를 갖는 표본 데이터에 대해 데이터 점 x의 z-점수는 다음과 같습니다.

$$z=\frac{\left(x-\overline{X}\right)}{S}.$$

z-점수(Z-Score)는 표준편차 측면에서 데이터 점이 평균으로부터 떨어진 거리를 측정합니다. 이를 데이터의 표준화(Standardization)라고도 합니다. 표준화된 데이터 세트는 평균 0 및 표준편차 1을 가지며 원래 데이터 세트의 형태 속성(동일한 왜도 및 첨도)을 유지합니다.

z-점수를 사용하면 추가 분석을 수행하기 전에 동일한 척도로 데이터를 배치할 수 있습니다. 이렇게 하면 단위가 서로 다른 둘 이상의 데이터 세트를 비교할 수 있습니다.

다차원 배열

다차원 배열(multidimensional array)은 3차원 이상을 갖는 배열입니다. 예를 들어, X가 1×3×4 배열이면 X는 3차원 배열입니다.

첫 번째 비한원소 차원

첫 번째 비한원소 차원(first nonsingleton dimension)은 배열에서 크기가 1이 아닌 첫 번째 차원입니다. 예를 들어, X가 1×2×3×4 배열이면 두 번째 차원이 X의 첫 번째 비한원소 차원입니다.

표본 표준편차

표본 표준편차 S는 다음으로 지정됩니다.

$$S=\sqrt{\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{X}\right)}^2}}{n-1}}.$$

S는 X가 똑같이 분산된 독립된 표본으로 구성된 경우에 한해 X가 추출된 모집단의 분산에 대한 무편향 추정량의 제곱근입니다. $$\overline{X}$$는 표본평균입니다.

여기서 이 분산 공식의 분모는 n – 1입니다.

모집단 표준편차

데이터가 전체 모집단 값인 경우 다음과 같은 모집단 표준편차를 사용할 수 있습니다.

$$\sigma =\sqrt{\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}}{n}}.$$

X가 모집단에서 추출한 임의 표본인 경우 μ는 표본평균에 의해 추정되고 σ는 모집단 표준편차에 대한 편향 최대가능도 추정량입니다.

여기서 이 분산 공식의 분모는 n입니다.

알고리즘

zscore는 NaN을 포함하는 표본에 대해 NaN을 반환합니다.

zscore는 상수(모든 값이 동일함)인 표본에 대해 0을 반환합니다. 예를 들어, X가 동일한 숫자형 값으로 구성된 벡터이면 Z는 0으로 구성된 벡터가 됩니다.

확장 기능

tall형 배열

메모리에 담을 수 없을 정도로 많은 행을 가진 배열을 계산할 수 있습니다.

이 함수는 tall형 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 tall형 배열 항목을 참조하십시오.

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 'all' 및 vecdim 입력 인수는 지원되지 않습니다.

• dim 입력 인수는 컴파일타임 상수여야 합니다.

• dim 입력 인수를 지정하지 않으면 작업(또는 연산) 차원이 생성된 코드와 다를 수 있습니다. 그 결과 런타임 오류가 발생할 수 있습니다. 자세한 내용은 Automatic dimension restriction (MATLAB Coder) 항목을 참조하십시오.

코드 생성에 대한 자세한 내용은 Introduction to Code Generation 항목 및 General Code Generation Workflow 항목을 참조하십시오.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• 'all' 및 vecdim 입력 인수는 지원되지 않습니다.

자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

mean | std | normalize | rescale