스튜던트 t 분포

개요

스튜던트 t 분포는 1-모수 곡선족입니다. 일반적으로 이 분포는 모집단 표준편차를 알 수 없는 경우 모집단 평균에 관한 가설을 검정하는 데 사용됩니다.

Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 스튜던트 t 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

• 지정된 분포 모수를 이용해 분포 전용 함수(tcdf, tinv, tpdf, trnd, tstat)를 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 스튜던트 t 분포의 모수를 받을 수 있습니다.

• 일반 분포 함수(cdf, icdf, pdf, random)를 지정된 분포 이름('T') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

스튜던트 t 분포는 다음 모수를 사용합니다.

모수	설명	지원
nu(ν)	자유도	ν = 1, 2, 3,...

확률 밀도 함수

스튜던트 t 분포의 pdf는 다음과 같습니다.

$$y=f(x|\nu )=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}\frac{1}{\sqrt{\nu \pi }}\frac{1}{{\left(1+\frac{x^2}{\nu }\right)}^{\frac{\nu +1}{2}}},$$

여기서 ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 y는 자유도가 ν인 스튜던트 t 분포에서 x의 특정 값을 관측할 확률입니다.

예제는 스튜던트 t 분포 pdf를 계산하고 플로팅하기 항목을 참조하십시오.

누적 분포 함수

스튜던트 t 분포의 cdf는 다음과 같습니다.

$$p=F(x|\nu )={\displaystyle {\int }_{-\infty }^x\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}\frac{1}{\sqrt{\nu \pi }}\frac{1}{{\left(1+\frac{t^2}{\nu }\right)}^{\frac{\nu +1}{2}}}dt},$$

여기서 ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 p는 자유도가 ν인 t 분포에서 단일 관측값이 구간 [–∞, x]에 속할 확률입니다.

예제는 스튜던트 t 분포 cdf를 계산하고 플로팅하기 항목을 참조하십시오.

역누적 분포 함수

t 역함수는 다음과 같이 스튜던트 t cdf로 정의됩니다.

$$x=F^{-1}(p|\nu )=\{x:F(x|\nu )=p\},$$

여기서

$$p=F(x|\nu )={\displaystyle {\int }_{-\infty }^x\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}\frac{1}{\sqrt{\nu \pi }}\frac{1}{{\left(1+\frac{t^2}{\nu }\right)}^{\frac{\nu +1}{2}}}dt},$$

ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 x는 확률 p를 제공하는, 적분 방정식의 해입니다.

예제는 스튜던트 t icdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

기술 통계량

스튜던트 t 분포의 평균은 자유도 ν가 1보다 큰 경우 μ = 0입니다. ν가 1인 경우, 평균은 정의되지 않습니다.

스튜던트 t 분포의 분산은 자유도 ν가 2보다 큰 경우 $$\frac{\nu }{\nu -2}$$입니다. ν가 2보다 작거나 같은 경우, 분산은 정의되지 않습니다.

예제

스튜던트 t 분포 pdf를 계산하고 플로팅하기

자유도가 5, 10, 50인 스튜던트 t 분포의 pdf를 계산합니다.

x = [-5:.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,10);
y3 = tpdf(x,50);

3개의 선택 nu에 대한 pdf를 동일한 축에 플로팅합니다.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

스튜던트 t 분포 cdf를 계산하고 플로팅하기

자유도가 5, 10, 50인 스튜던트 t 분포의 cdf를 계산합니다.

x = [-5:.1:5];
y1 = tcdf(x,5);
y2 = tcdf(x,10);
y3 = tcdf(x,50);

3개의 선택 nu에 대한 cdf를 동일한 축에 플로팅합니다.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

스튜던트 t icdf 계산하기

자유도가 50인 스튜던트 t 분포의 95번째 백분위수를 구합니다.

p = .95;   
nu = 50;   
x = tinv(p,nu)

x = 1.6759

스튜던트 t 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기

스튜던트 t 분포는 단일 모수 ν(자유도)에 종속적인 곡선족입니다. 자유도 ν가 무한대에 가까워지면 t 분포는 표준 정규분포에 가까워집니다.

모수 nu = 5를 갖는 스튜던트 t 분포의 pdf와 모수 nu = 15를 갖는 스튜던트 t 분포의 pdf를 계산합니다.

x = [-5:0.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);

표준 정규분포의 pdf를 계산합니다.

z = normpdf(x,0,1);

스튜던트 t pdf와 표준 정규 pdf를 동일한 Figure에 플로팅합니다.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=15', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

표준 정규 pdf의 꼬리가 스튜던트 t pdf의 꼬리보다 짧습니다.

관련 분포

• Beta Distribution — 베타 분포는 모수 a(첫 번째 형태 모수) 및 b(두 번째 형태 모수)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. Y가, 자유도가 ν인 스튜던트 t 분포를 갖는 경우 $$X=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{Y}{\sqrt{\nu +Y^2}}$$는 형태 모수가 a = ν/2 및 b = ν/2인 베타 분포를 갖습니다. 이 관계는 t cdf 및 역함수의 값을 계산하고 t 분포의 난수를 생성하는 데 사용됩니다.

• 코시 분포 — 코시 분포는 모수가 γ(스케일) 및 δ(위치)인 2-모수 연속 분포입니다. 이는 형태 모수가 α = 1 및 β = 0인 Stable Distribution의 특수한 사례입니다. 표준 코시 분포(단위 스케일 및 위치 0)는 자유도 ν가 1인 스튜던트 t 분포입니다. 표준 코시 분포는 정의되지 않은 평균과 분산을 갖습니다.

  예제는 스튜던트 t를 사용하여 코시 난수 생성하기 항목을 참조하십시오.

• 카이제곱 분포 — 카이제곱 분포는 모수 ν(자유도)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. Z가 표준 정규분포를 갖고 χ²이 자유도가 ν인 카이제곱 분포를 갖는 경우 $$\text{t = }\frac{Z}{\sqrt{{\chi }^2/\nu }}$$는 자유도가 ν인 스튜던트 t 분포를 갖습니다.

• Noncentral t Distribution — 비중심 t 분포는 스튜던트 t 분포를 일반화하고 모수 ν(자유도) 및 δ(비중심성)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. δ = 0을 설정하면 스튜던트 t 분포가 산출됩니다.

• 정규분포 — 정규분포는 모수 μ(평균)와 σ(표준편차)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다.

  자유도 ν가 무한대에 가까워지면 스튜던트 t 분포는 표준 정규분포(0 평균 및 단위 표준편차)에 가까워집니다.

  예제는 스튜던트 t 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기 항목을 참조하십시오.

  x가 평균이 μ인 정규분포에서 추출한 크기 n의 임의 표본인 경우, 통계량 $$t=\frac{\overline{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}$$은 자유도가 n —1인 스튜던트 t 분포를 갖습니다. 여기서 $$\overline{x}$$는 표본평균이고 s는 표본 표준편차입니다.

  예제는 스튜던트 t 분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

• t Location-Scale Distribution — t 위치-스케일 분포는 모수가 μ(평균), σ(스케일), ν(형태)인 3-모수 연속 분포입니다. x가, 모수가 µ, σ, ν인 t 위치-스케일 분포를 갖는 경우 $$\frac{x-\mu }{\sigma }$$는 자유도가 ν인 스튜던트 t 분포를 갖습니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[4] Kreyszig, Erwin. Introductory Mathematical Statistics: Principles and Methods. New York: Wiley, 1970.

참고 항목

tcdf | tpdf | tinv | tstat | trnd | ttest | ttest2

관련 항목

• 스튜던트 t를 사용하여 코시 난수 생성하기
• 확률 분포 사용하기
• Supported Distributions